التفرد (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُعرف النقطة الشاذة بأنها نقطة لا يكون عندها كائن رياضي معين مُعرَّفاً، أو نقطة يتوقف عندها الكائن الرياضي عن التصرف بشكل جيد بطريقة معينة، كأن يفقد قابليته للتفاضل أو التحليلية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

على سبيل المثال، الدالة المقلوبة${\displaystyle f(x)=1/x}$لها نقطة تفرد عند${\displaystyle x=0}$حيث لا تكون قيمة الدالة محددة ، كما هو الحال عند القسمة على صفر . دالة القيمة المطلقة${\displaystyle g(x)=|x|}$كما أن لها نقطة تفرد عند${\displaystyle x=0}$^{[ 4 ]} لأنه غير قابل للتفاضل هناك.

المنحنى الجبري المحدد بواسطة${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$في${\displaystyle (x,y)}$يحتوي نظام الإحداثيات على نقطة تفرد (تسمى نقطة انعطاف ) عند${\displaystyle (0,0)}$للاطلاع على النقاط الشاذة في الهندسة الجبرية ، انظر النقطة الشاذة لمتنوعة جبرية . للاطلاع على النقاط الشاذة في الهندسة التفاضلية ، انظر نظرية النقاط الشاذة .

في التحليل الحقيقي ، تُعرف النقاط الشاذة إما بانقطاعات ، أو بانقطاعات في المشتقة (وأحيانًا بانقطاعات في مشتقات من رتب أعلى). وهناك أربعة أنواع من الانقطاعات: النوع  الأول ، الذي ينقسم إلى نوعين فرعيين، والنوع الثاني  ، الذي يمكن تقسيمه أيضًا إلى نوعين فرعيين (مع أنه لا يُقسم عادةً).

لوصف كيفية استخدام هذين النوعين من النهايات، افترض أن${\displaystyle f(x)}$هي دالة لمتغير حقيقي${\displaystyle x}$وبغض النظر عن قيمة حجته، على سبيل المثال${\displaystyle c}$ثم الحد الأقصى لليساريين ،${\displaystyle f(c^{-})}$والحد الأيمن ،${\displaystyle f(c^{+})}$، ويتم تعريفها من خلال:

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$، مقيد بـ${\displaystyle x<c}$و

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$، مقيد بـ${\displaystyle x>c}$.

القيمة${\displaystyle f(c^{-})}$هي القيمة التي تمثلها الدالة${\displaystyle f(x)}$يميل نحو القيمة${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle c}$من الأسفل ، والقيمة${\displaystyle f(c^{+})}$هي القيمة التي تمثلها الدالة${\displaystyle f(x)}$يميل نحو القيمة${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle c}$من الأعلى ، بغض النظر عن القيمة الفعلية للدالة عند النقطة التي${\displaystyle x=c}$ .

هناك بعض الدوال التي لا توجد لها هذه الحدود على الإطلاق. على سبيل المثال، الدالة

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

لا يميل إلى أي شيء مثل${\displaystyle x}$الأساليب${\displaystyle c=0}$الحدود في هذه الحالة ليست لانهائية، بل غير محددة : لا توجد قيمة${\displaystyle g(x)}$يستقر على. وبالاستعارة من التحليل المركب، يُطلق على هذا أحيانًا اسم التفرد الأساسي .

الحالات الممكنة عند قيمة معينة${\displaystyle c}$أما بالنسبة للحجة فهي كالتالي.

• نقطة الاستمرارية هي قيمة لـ${\displaystyle c}$والتي${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$كما هو متوقع بالنسبة لدالة سلسة. يجب أن تكون جميع القيم محدودة. إذا${\displaystyle c}$إذا لم تكن نقطة استمرارية، فإن نقطة الانقطاع تحدث عند${\displaystyle c}$.
• يحدث انقطاع من النوع  الأول عندما يكون كلا${\displaystyle f(c^{-})}$و${\displaystyle f(c^{+})}$موجودة ومحدودة، ولكن ينطبق شرط واحد على الأقل من الشروط الثلاثة التالية أيضًا:
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$؛
  • ${\displaystyle f(x)}$غير مُعرَّف في حالة${\displaystyle x=c}$؛ أو
  • ${\displaystyle f(c)}$له قيمة محددة، إلا أنها لا تتطابق مع قيمة الحدين.

  يمكن تمييز الانقطاعات من النوع الأول بشكل أكبر على أنها أحد الأنواع الفرعية التالية:

  • يحدث انقطاع القفز عندما${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$بغض النظر عما إذا${\displaystyle f(c)}$يتم تعريفها، وبغض النظر عن قيمتها إذا تم تعريفها.
  • يحدث انقطاع قابل للإزالة عندما${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$، بغض النظر عما إذا${\displaystyle f(c)}$يتم تعريفها، وبغض النظر عن قيمتها إذا تم تعريفها (ولكنها لا تتطابق مع قيمة الحدين).
• يحدث انقطاع من النوع  الثاني عندما إما${\displaystyle f(c^{-})}$أو${\displaystyle f(c^{+})}$غير موجود (ربما كلاهما). لهذا نوعان فرعيان، لا يتم عادةً النظر إليهما بشكل منفصل:
  • الانقطاع اللانهائي هو حالة خاصة عندما لا توجد نهاية من جهة اليسار أو اليمين، تحديدًا لأنها لانهائية، بينما تكون النهاية الأخرى إما لانهائية أيضًا، أو عددًا محدودًا محددًا. بعبارة أخرى، يكون للدالة انقطاع لانهائي عندما يكون لمنحناها خط تقارب رأسي .
  • التفرد الجوهري مصطلح مستعار من التحليل المركب (انظر أدناه). ويحدث هذا عندما يكون أحد الحدين أو الآخر${\displaystyle f(c^{-})}$أو${\displaystyle f(c^{+})}$لا وجود لها، ولكن ليس لأنها انقطاع لانهائي . فالنقاط الشاذة الأساسية لا تقترب من أي حد، حتى لو تم توسيع الإجابات الصحيحة لتشمل${\displaystyle \pm \infty }$.

في التحليل الحقيقي، تُعتبر النقطة الشاذة أو عدم الاستمرارية خاصيةً للدالة وحدها. وأي نقاط شاذة قد توجد في مشتقة دالة ما تُعتبر تابعةً للمشتقة، وليس للدالة الأصلية.

في التحليل المركب ، توجد عدة فئات من النقاط الشاذة. وتشمل هذه النقاط الشاذة المعزولة، والنقاط الشاذة غير المعزولة، ونقاط التفرع.

تحدث حالة التفرد في زمن محدود عندما يكون أحد متغيرات الإدخال هو الزمن، بينما يتزايد متغير الإخراج نحو اللانهاية خلال زمن محدود. تُعد هذه الحالات مهمة في علم الحركة والمعادلات التفاضلية الجزئية ، إذ لا تحدث اللانهاية فعليًا، ولكن السلوك بالقرب من حالة التفرد غالبًا ما يكون ذا أهمية. رياضيًا، أبسط حالات التفرد في زمن محدود هي قوانين القوى لأسس مختلفة على الصورة التالية:${\displaystyle x^{-\alpha },}$وأبسطها هو النمو الزائدي ، حيث يكون الأس (سالب) 1:${\displaystyle x^{-1}.}$وبشكل أدق، للحصول على نقطة تفرد عند الزمن الموجب مع تقدم الزمن (بحيث ينمو الناتج إلى ما لا نهاية)، يتم استخدام${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$(باستخدام t للدلالة على الوقت، عكس الاتجاه إلى${\displaystyle -t}$بحيث يزداد الزمن إلى ما لا نهاية، ونقل نقطة التفرد للأمام من الصفر إلى زمن ثابت${\displaystyle t_{0}}$).

من الأمثلة على ذلك حركة ارتداد كرة غير مرنة على سطح مستوٍ. إذا افترضنا حركة مثالية، حيث تُفقد نفس نسبة الطاقة الحركية في كل ارتداد، يصبح تردد الارتدادات لانهائيًا، إذ تتوقف الكرة في زمن محدود. ومن الأمثلة الأخرى على حالات التفرد ذات الزمن المحدود، الأشكال المختلفة لمفارقة بانليفيه (على سبيل المثال، ميل الطباشير إلى الانزلاق عند جره على سبورة)، وكيف يتسارع معدل ترنح عملة معدنية تدور على سطح مستوٍ نحو اللانهاية قبل أن يتوقف فجأة (كما دُرِس باستخدام لعبة قرص أويلر ).

وتشمل الأمثلة الافتراضية معادلة "يوم القيامة " الساخرة لهاينز فون فورستر (النماذج المبسطة تؤدي إلى عدد لا نهائي من السكان في وقت محدود).

في الهندسة الجبرية ، تُعرف نقطة التفرد في المتنوع الجبري بأنها نقطة في هذا المتنوع لا يمكن تعريف فضاء المماس فيها بشكل منتظم. أبسط مثال على نقاط التفرد هو المنحنيات التي تتقاطع مع نفسها. ولكن هناك أنواع أخرى من نقاط التفرد ، مثل النقاط المدببة . على سبيل المثال، تُعرّف المعادلة y² ^- x³ = 0 منحنى له نقطة مدببة عند نقطة الأصل x = y = 0. يمكن تعريف المحور x كمماس عند هذه النقطة، ولكن هذا التعريف لا يمكن ^أن يكون مطابقًا للتعريف عند نقاط أخرى. في الواقع، في هذه الحالة، يكون المحور x "مماسًا مزدوجًا".

بالنسبة للأصناف الأفينية والإسقاطية ، فإن النقاط الشاذة هي النقاط التي يكون فيها لمصفوفة جاكوبي رتبة أقل من النقاط الأخرى في الصنف.

يمكن تقديم تعريف مكافئ من حيث الجبر التبادلي ، والذي يمتد إلى الأصناف والمخططات المجردة : تكون النقطة شاذة إذا لم تكن الحلقة المحلية عند هذه النقطة حلقة محلية منتظمة .

• نظرية الكوارث
• محدد وغير محدد
• الانحطاط (الرياضيات)
• النمو الزائدي
• التفرد المتحرك
• علم الأمراض (الرياضيات)
• التفرد المنتظم
• حل منفرد