مقياس مفرد

في الرياضيات ، مقياسان موجبان (أو مُوَقَّعان أو مُرَكَّبان ).${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$محدد على مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$تُسمى المجموعات مجموعات قابلة للقياس منفصلة إذا وُجدت مجموعتان قابلتان للقياس منفصلتان${\displaystyle A,B\in \Sigma }$اتحادهم هو​$أوميغا$بحيث${\displaystyle \mu }$يساوي صفرًا على جميع المجموعات الفرعية القابلة للقياس من${\displaystyle B}$بينما${\displaystyle \nu }$يساوي صفرًا على جميع المجموعات الفرعية القابلة للقياس من${\displaystyle A.}$ويرمز إلى ذلك بـ${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

يقوم شكل محسن من نظرية تفكيك ليبيغ بتفكيك مقياس مفرد إلى مقياس متصل مفرد ومقياس منفصل .

كحالة خاصة، مقياس معرف على الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُطلق عليه اسم "مقياس منفرد" إذا كان منفردًا بالنسبة لمقياس ليبيغ على هذا الفضاء. على سبيل المثال، دالة ديراك دلتا هي مقياس منفرد.

مثال: مقياس منفصل .

دالة هيفسايد المتدرجة على خط الأعداد الحقيقية ، $${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ له توزيع ديراك دلتا${\displaystyle \delta _{0}}$باعتبارها مشتقة توزيعية . هذا مقياس على خط الأعداد الحقيقية، " كتلة نقطية " عند${\displaystyle 0.}$ومع ذلك، فإن مقياس ديراك${\displaystyle \delta _{0}}$لا يكون متصلاً بشكل مطلق فيما يتعلق بمقياس ليبيغ${\displaystyle \lambda ,}$ولا${\displaystyle \lambda }$بشكل مستمر تماماً فيما يتعلق بـ${\displaystyle \delta _{0}:}$${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$لكن${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$لو${\displaystyle U}$إذا كانت أي مجموعة مفتوحة غير فارغة لا تحتوي على الصفر، فإن${\displaystyle \lambda (U)>0}$لكن${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

مثال: مقياس متصل مفرد.

يحتوي توزيع كانتور على دالة توزيع تراكمية متصلة ولكنها ليست متصلة بشكل مطلق ، وفي الواقع فإن الجزء المتصل بشكل مطلق هو صفر: إنه متصل بشكل منفرد.

مثال. مقياس متصل منفرد على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

حدود فريشيه-هوفدينغ العليا والسفلى هي توزيعات مفردة في بعدين.

• الاستمرارية المطلقة (نظرية القياس) – شكل من أشكال استمرارية الدوال. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظرية تفكيك لوبيغ – نظرية في نظرية القياس الرياضي 
• التوزيع المنفرد – توزيع يتركز على مجموعة من القيم ذات القياس الصفري 

• إريك دبليو وايسشتاين، موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات ، دار نشر سي آر سي، 2002. رقم ISBN 1-58488-347-2.
• ج. تايلور، مقدمة في القياس والاحتمال ، سبرينغر، 1996. ISBN 0-387-94830-9.

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع "singular measure" على موقع "PlanetMath" ، وهو مرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي "نسب المصنف/المشاركة بالمثل" .