الاتحاد (نظرية المجموعات)

في نظرية المجموعات ، اتحاد (يرمز له بـ ∪) مجموعة من المجموعات هو مجموعة جميع العناصر الموجودة في تلك المجموعة. ^{[ 1 ]} وهو إحدى العمليات الأساسية التي يمكن من خلالها دمج المجموعات وربطها ببعضها البعض.يشير مصطلح الاتحاد الصفري إلى اتحادالصفر ( ⁠${\displaystyle 0}$) مجموعات وهي بحكم تعريفها تساويالمجموعةالفارغة.

للحصول على شرح للرموز المستخدمة في هذه المقالة، يرجى الرجوع إلى جدول الرموز الرياضية .

اتحاد مجموعتين A و B هو مجموعة العناصر الموجودة في A ، أو في B ، أو في كل من A و B. ^{[ 2 ]} في تدوين بناء المجموعة ،

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$[ ^{3 ]​}

على سبيل المثال، إذا كانت A = {1، 3، 5، 7} و B = {1، 2، 4، 6، 7} فإن A ∪ B = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7}. مثال أكثر تفصيلاً (يتضمن مجموعتين غير منتهيتين) هو:

أ = { س عدد زوجي أكبر من 1}

ب = { س عدد صحيح فردي أكبر من 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

كمثال آخر، فإن الرقم 9 لا يقع ضمن اتحاد مجموعة الأعداد الأولية {2، 3، 5، 7، 11، ...} ومجموعة الأعداد الزوجية {2، 4، 6، 8، 10، ...} ، لأن 9 ليس عددًا أوليًا ولا زوجيًا.

لا يمكن أن تحتوي المجموعات على عناصر مكررة، ^{[ 3 ] [ 4 ]} لذا فإن اتحاد المجموعتين {1، 2، 3} و {2، 3، 4} هو {1، 2، 3، 4} .

يمكن أن تختلف الرموز المستخدمة للتعبير عن المفهوم العام اختلافًا كبيرًا. بالنسبة لاتحاد محدود من المجموعات${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$يكتب المرء غالباً${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$أو${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$تتضمن الرموز الشائعة المختلفة للاتحادات العشوائية ما يلي:${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$،${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$، و${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$تشير آخر هذه الرموز إلى اتحاد المجموعة${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$حيث I هي مجموعة فهارس و${\displaystyle A_{i}}$مجموعة لكل${\displaystyle i\in I}$في حالة كون مجموعة الفهارس I هي مجموعة الأعداد الطبيعية ، يتم استخدام الترميز التالي :${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$وهو ما يشبه المجاميع اللانهائية في المتسلسلات. ^{[ 7 ]}

عندما يتم وضع الرمز "∪" قبل الرموز الأخرى (بدلاً من وضعها بينها)، فإنه عادة ما يتم عرضه بحجم أكبر.

المفهوم الأكثر عمومية هو اتحاد مجموعة عشوائية من المجموعات، ويُسمى أحيانًا الاتحاد اللانهائي . إذا كانت M مجموعة أو فئة عناصرها مجموعات، فإن x يكون عنصرًا في اتحاد M إذا وفقط إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل A من M بحيث ^يكون x عنصرًا من A. [ ^{7 ]} بالرموز:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

تشمل هذه الفكرة الأقسام السابقة - على سبيل المثال، A ∪ B ∪ C هو اتحاد المجموعة { A , B , C } . كذلك، إذا كانت M هي المجموعة الفارغة، فإن اتحاد M هو المجموعة الفارغة.

الاتحاد الثنائي هو عملية تجميعية ؛ أي أنه لأي مجموعات${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$،​ $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ وبالتالي، يمكن حذف الأقواس دون أي لبس: يمكن كتابة أي من العبارتين أعلاه على النحو التالي :${\displaystyle A\cup B\cup C}$كذلك ، فإن عملية الاتحاد تبديلية ، لذا يمكن كتابة المجموعات بأي ترتيب. ^{[ 9 ]} المجموعة الفارغة هي عنصر محايد لعملية الاتحاد. أي أن${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$، لأي مجموعة${\displaystyle A}$كذلك ، فإن عملية الاتحاد عملية متكررة النتائج :${\displaystyle A\cup A=A}$. كل هذه الخصائص تنبع من حقائق مماثلة حول الفصل المنطقي .

يتم توزيع التقاطع على الاتحاد $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ ويتم توزيع الاتحاد على التقاطع ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ مجموعة القوى لمجموعة​${\displaystyle U}$تُعدّ ، إلى جانب العمليات المُعطاة من خلال الاتحاد والتقاطع والمُكمِّل ،جبرًا بوليانيًا . في هذا الجبر البولياني، يُمكن التعبير عن الاتحاد بدلالة التقاطع والمُكمِّل بالصيغة التالية: $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ حيث يكون النص العلوي${\displaystyle {}^{\complement }}$يرمز إلى المتمم في المجموعة الشاملة${\displaystyle U}$. بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن التقاطع من حيث الاتحاد والتتميم بطريقة مماثلة:${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$يُطلق على هذين التعبيرين معًا اسم قوانين دي مورغان . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

كلمة "union" الإنجليزية مشتقة من مصطلح في اللغة الفرنسية الوسطى يعني "الاجتماع معًا"، وهو بدوره مشتق من الكلمة اللاتينية ما بعد الكلاسيكية unionem ، التي تعني "الوحدة". ^{[ 13 ]} كان المصطلح الأصلي للاتحاد في نظرية المجموعات هو Vereinigung (بالألمانية) ، والذي قدمه جورج كانتور عام 1895. ^{[ 14 ]} بدأ استخدام مصطلح " اتحاد مجموعتين" في الرياضيات باللغة الإنجليزية بحلول عام 1912 على الأقل، على يد جيمس بيربونت . ^{[ 15 ] [ 16 ]} الرمز${\displaystyle \cup }$استُخدمت هذه الرموز للدلالة على الاتحاد في الرياضيات، وقد أدخلها جوزيبي بيانو في كتابه "الأصول الرياضية للحساب" عام 1889، إلى جانب رموز التقاطع.${\displaystyle \cap }$، تحديد العضوية${\displaystyle \in }$، والمجموعات الفرعية${\displaystyle \subset }$[ ^{17 ]​}

• جبر المجموعات – الهويات والعلاقات التي تتضمن المجموعات 
• التناوب (نظرية اللغة الرسمية) - اتحاد مجموعات من السلاسل
• بديهية الاتحاد – مفهوم في نظرية المجموعات البديهية 
• الاتحاد المنفصل - في الرياضيات، عملية على المجموعات 
• مبدأ الإدراج والاستبعاد – أسلوب العد في التوافقية 
• التقاطع (نظرية المجموعات) - مجموعة العناصر المشتركة بين جميع بعض المجموعات 
• العملية الثنائية المتكررة – تطبيق عملية ما بشكل متكرر على سلسلة من العمليات 
• قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها – معادلات لتراكيب المجموعات 
• نظرية المجموعات البسيطة – نظريات المجموعات غير الرسمية 
• الفرق المتناظر – العناصر الموجودة في مجموعة واحدة فقط من المجموعتين 

• "اتحاد المجموعات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• الاتحاد اللانهائي والتقاطع في ProvenMath: تم إثبات قوانين دي مورغان رسميًا من بديهيات نظرية المجموعات.