ست عمليات

في الرياضيات ، تُعرف عمليات غروتينديك الست ، نسبةً إلى ألكسندر غروتينديك ، بأنها شكلية في الجبر التماثلي ، وتُعرف أيضًا باسم شكلية الدوال الست . ^{[ 1 ]} وقد انبثقت في الأصل من العلاقات في علم التماثل الإيتالي التي تنشأ من تشاكل المخططات f : X → Y. وكانت الفكرة الأساسية هي أن العديد من الحقائق الأولية المتعلقة بعلم التماثل على X و Y هي نتائج شكلية لعدد قليل من البديهيات. وتتحقق هذه البديهيات في كثير من الحالات بغض النظر عن السياق الأصلي، وبالتالي فإن النتائج الشكلية تتحقق أيضًا. وقد ثبت منذ ذلك الحين أن شكلية العمليات الست قابلة للتطبيق على سياقات مثل وحدات D على المتنوعات الجبرية ، والحزم على الفضاءات الطوبولوجية المدمجة محليًا ، والدوافع . 

العمليات عبارة عن ستة دوال . عادةً ما تكون هذه الدوال بين الفئات المشتقة ، وبالتالي فهي في الواقع دوال مشتقة يسارية ويمينية .

• الصورة المباشرة${\displaystyle f_{*}}$
• الصورة المعكوسة${\displaystyle f^{*}}$
• الصورة المباشرة المناسبة (أو الاستثنائية)${\displaystyle f_{!}}$
• الصورة المعكوسة الصحيحة (أو غير العادية)${\displaystyle f^{!}}$
• حاصل ضرب الموتر الداخلي
• هوم داخلي

الدوال${\displaystyle f^{*}}$و${\displaystyle f_{*}}$يشكلان زوجًا من الدوال المرافقة ، كما يفعلان${\displaystyle f_{!}}$و${\displaystyle f^{!}}$[ ^{2 ] وبالمثل، فإن} حاصل الضرب الموتري الداخلي هو المرافق الأيسر للهوم الداخلي.

ليكن f  : X → Y تشاكلاً بين المخططات. يُنتج التشاكل f عدة دوال. تحديداً، يُعطي دوالاً مرافقة .${\displaystyle f^{*}}$و${\displaystyle f_{*}}$بين فئات الحزم على X و Y ، ويعطي ذلك الدالة${\displaystyle f_{!}}$صورة مباشرة ذات دعم مناسب. في الفئة المشتقة ، تقبل Rf _! مرافقًا يمينيًا.${\displaystyle f^{!}}$وأخيرًا، عند التعامل مع الحزم الأبيلية، يوجد مُعامل ضرب موتر ⊗ ومُعامل Hom داخلي، وهما مُرافقان. العمليات الست هي المُعاملات المُقابلة على الفئة المُشتقة : Lf ^* ، Rf _* ، Rf _!، f !، ⊗L ، و ^{RHom .}

لنفترض أننا نقتصر على فئة من${\displaystyle \ell }$بكرات الالتواء -adic ، حيث${\displaystyle \ell }$يكون أوليًا نسبيًا مع خاصية X و Y. في SGA 4 III، أثبت غروتينديك وأرتين أنه إذا كانت f دالة ملساء ذات بُعد نسبي d ، فإن${\displaystyle Lf^{*}}$متماثل مع f ^! ( − d )[ − 2 d ] ، حيث يرمز ( − d ) إلى الالتواء العكسي من الرتبة d لتيت ، و [ − 2 d ] إلى إزاحة في الدرجة بمقدار − 2 d . علاوة على ذلك، لنفترض أن f منفصلة ومن نوع محدود . إذا كان g : Y ′ → Y تشاكلًا آخر بين المخططات، وإذا كان X ′ يرمز إلى تغيير أساس X بواسطة g ، وإذا كان f ′ و g ′ يرمزان إلى تغيير أساس f و g بواسطة g و f على التوالي، فإنه توجد تشاكلات طبيعية: 

${\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}$

${\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}$

بافتراض أن f منفصلة وذات نوع محدود، فإنه بالنسبة لأي كائنين M في الفئة المشتقة من X و N في الفئة المشتقة من Y ، توجد تماثلات طبيعية:

${\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}$

${\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

إذا كان i عبارة عن غمر مغلق لـ Z في S مع غمر مفتوح مكمل j ، فإن هناك مثلثًا مميزًا في الفئة المشتقة:

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

حيث تمثل الخريطتان الأوليان الوحدة المرافقة والوحدة، على التوالي، للوصلات. إذا كانت Z و S منتظمتين ، فإنه يوجد تماثل بينهما.

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

حيث يمثل 1Z _و 1 _S وحدات عمليات الضرب الموتري (والتي تختلف باختلاف فئة${\displaystyle \ell }$(يتم النظر في استخدام بكرات الالتواء الأديكية).

إذا كانت S منتظمة و g  : X → S ، وإذا كان K كائنًا قابلًا للعكس في الفئة المشتقة على S بالنسبة إلى ⊗ ^L ، فنُعرّف D _X على أنها الدالة RHom(—, g ^! K ) . عندئذٍ، بالنسبة للكائنين M و M ′ في الفئة المشتقة على X ، تكون التطبيقات القانونية:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

هي تماثلات. وأخيرًا، إذا كان f  : X → Y تشاكلًا بين مخططات S ، وإذا كان M و N كائنين في الفئات المشتقة من X و Y ، فإن هناك تماثلات طبيعية:

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

• الازدواجية المتماسكة
• ازدواجية غروتينديك المحلية
• دوال الصور للحزم
• ازدواجية فيردييه
• تغيير الخواتم

• لازلو، إيف ؛ أولسون، مارتن (2005). "العمليات الست للحزم على أكوام آرتين I: المعاملات المحدودة". arXiv : math/0512097 .
• أيوب، يوسف. Les six opérations de Grothendieck et leformisme des الدورات المتلاشية في العالم الدافع (PDF) (أطروحة).
• سيسينسكي، دينيس-شارل؛ ديغليز، فريدريك (2019). فئات مثلثية للدوافع المختلطة . سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات. arXiv : 0912.2110 . doi : 10.1007/978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9. S2CID 115163824 . 
• مبخوت، زغمان (1989). شكليات عمليات Grothendieck الستة لوحدات _DX المتماسكة . العمل في كورس. المجلد.  35. باريس: هيرمان. رقم ISBN 2-7056-6049-6.

• ست عمليات في مختبر ن
• ما الذي يوحد (إن وجد) نظرية التماثل المستقر وشكلية الدوال الستة لغروتينديك؟