رقم سميث

في نظرية الأعداد ، يُعرف عدد سميث بأنه عدد مركب يكون فيه مجموع أرقامه ، في نظام عد معين ، مساويًا لمجموع أرقام تحليله إلى عوامله الأولية في نفس النظام. أما في حالة الأعداد غير الخالية من المربعات ، فيُكتب التحليل إلى عواملها الأولية بدون أسس، مع كتابة العامل المكرر حسب الحاجة.

أطلق ألبرت ويلانسكي من جامعة ليهاي اسم سميث على الأرقام ، حيث لاحظ وجود خاصية في رقم الهاتف (493-7775) الخاص بصهره هارولد سميث:

4937775  =  3 × 5 × 5 × 65837

بينما

4  +  9  +  3  +  7  +  7  +  7  +  5  = 3 + 5 + 5 + (6  +  5  +  8  +  3  +  7)

بالنظام العشري . ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا طبيعيًا . للأساس${\displaystyle b>1}$، دع الدالة${\displaystyle F_{b}(n)}$ليكن مجموع أرقام${\displaystyle n}$في القاعدة${\displaystyle b}$عدد طبيعي${\displaystyle n}$مع التحليل إلى العوامل الأولية $${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$$ هو رقم سميث إذا $${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{\stackrel {p\mid n,}{p{\text{ prime}}}}v_{p}(n)F_{b}(p).}$$ هنا الأس${\displaystyle v_{p}(n)}$تعددية${\displaystyle p}$كعامل رئيسي في${\displaystyle n}$(المعروف أيضًا باسم التقييم p -adic لـ${\displaystyle n}$).

على سبيل المثال، في النظام العشري، 378 = 2 ¹ · 3 ³ · 7 ¹ هو عدد سميث لأن 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1، و22 = 2 ¹ · 11 ¹ هو عدد سميث، لأن 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1.

الأرقام القليلة الأولى لسميث في النظام العشري هي

4 ، 22 ، 27 ، 58 ، 85 ، 94 ، 121 ، 166 ، 202 ، 265 ، 274 ، 319 ، 346 ، 355 ، 378 ، 382 ، 391 ، 438 ، 454 ، 483 ، 517 ، 526 ، 535 ، 562 ، 576 ، 588 ، 627 ، 634 ، 636 ، 645 ، 648 ، 654 ، 663 ، 666 ، 690 ، 706 ، 728 ، 729 ، 762 ، 778 ، 825 ، 852​ 861 ، 895 ، 913 ، 915 ، 922 ، 958 ، 985. ( التسلسل A006753 في OEIS )

أثبت دبليو إل ماكدانيال في عام 1987 وجود عدد لا نهائي من أعداد سميث. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُعطى عدد أعداد سميث في النظام العشري (الأساس 10 ) الأقل من ^10ⁿ، حيث n = 1، 2، ...، بالعلاقة التالية:

1، 6، 49، 376، 3294، 29928، 278411، 2632758، 25154060، 241882509، ... (التسلسل A104170 في OEIS ) .

يُطلق على عددين متتاليين من أعداد سميث (على سبيل المثال، 728 و729، أو 2964 و2965) اسم "أشقاء سميث" . ^{[ 3 ]} ولا يُعرف عدد أشقاء سميث. أما العناصر الأولية لأصغر مجموعة سميث من n عدد (أي n عدد متتالي من أعداد سميث) في النظام العشري، حيث n = 1، 2، ... فهي ^{[ 4 ]}

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905, ... (التسلسل A059754 في OEIS ) .

يمكن بناء أرقام سميث من معاملات إعادة التوزيع المُحللة . ^{[ 5 ]} اعتبارًا من عام 2010أكبر عدد معروف لسميث في النظام العشري هو

9 × R ₁₀₃₁ × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}

حيث R _{1031 هو} العدد العشري (10 ¹⁰³¹ − 1)/9. ^{[ 6 ]}

• عدد متساوي الأرقام

• غاردنر، مارتن (1988). بلاطات بنروز إلى شفرات الباب الخلفي . ص 299-300 . 
• هوفمان، بول (1998). الرجل الذي أحب الأرقام فقط: قصة بول إيردوس والبحث عن الحقيقة الرياضية . نيويورك: هايبريون.
• ساندور، جوزيف؛ كرستيسي، بوريسلاف (2004). دليل نظرية الأعداد II . دوردريخت: كلوير أكاديمي. ص 32 – 36. رقم ISBN  1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 . 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد سميث" . عالم الرياضيات .
• كوبلاند، إد (22 ديسمبر 2012). "4937775 - أرقام سميث" . نمبرفايل . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-12-2021.