جلب التغيير الجذري

يمكن اختزال الصيغة الخماسية العامة إلى ما يُعرف بالصيغة الخماسية الرئيسية ، مع إزالة الحدود الرباعية والتكعيبية: $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

إذا كانت جذور معادلة من الدرجة الخامسة العامة ومعادلة من الدرجة الخامسة الرئيسية مرتبطة بتحويل تشيرنهاوس التربيعي$${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ المعاملات${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$يمكن تحديدها باستخدام المحصلة ، أو عن طريق مجموع قوى الجذور ومتطابقات نيوتن . وهذا يؤدي إلى نظام من المعادلات في${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تتكون من معادلة تربيعية ومعادلة خطية ، ويمكن استخدام أي من مجموعتي الحلول للحصول على المعاملات الثلاثة المقابلة للصيغة الخماسية الرئيسية. ^{[ 1 ]}

يستخدم هذا الشكل في حل فيليكس كلاين للمعادلة الخماسية. ^{[ 2 ]}

من الممكن تبسيط المعادلة الخماسية بشكل أكبر وإزالة الحد التربيعي، مما ينتج عنه الشكل الطبيعي لـ Bring – Jerrard : $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ إن استخدام صيغ مجموع القوى مرة أخرى مع تحويل تكعيبي كما حاول تشيرنهاوس لا يُجدي نفعاً، لأن نظام المعادلات الناتج يُؤدي إلى معادلة من الدرجة السادسة. ولكن في عام 1796، وجد برينغ حلاً لهذه المشكلة باستخدام تحويل تشيرنهاوس من الدرجة الرابعة لربط جذور معادلة من الدرجة الخامسة الرئيسية بجذور معادلة برينغ - جيرارد من الدرجة الخامسة. $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

أتاحت المعلمة الإضافية التي يوفرها هذا التحويل من الرتبة الرابعة لبرينغ تقليل درجات المعلمات الأخرى. وينتج عن ذلك نظام من خمس معادلات بستة مجاهيل، مما يستلزم حل معادلة تكعيبية ومعادلة تربيعية . وقد اكتشف جيرارد هذه الطريقة أيضًا عام 1852، ^{[ 3 ]} ولكن من المرجح أنه لم يكن على دراية بأعمال برينغ السابقة في هذا المجال. ^{[ 1 ] (ص 92-93)} يمكن إنجاز التحويل الكامل بسهولة باستخدام حزمة جبر حاسوبية مثل Mathematica ^{[ 4 ]} أو Maple . ^{[ 5 ]} وكما هو متوقع من تعقيد هذه التحويلات، يمكن أن تكون التعبيرات الناتجة ضخمة، لا سيما عند مقارنتها بالحلول الجذرية لمعادلات من درجات أقل، حيث تتطلب عدة ميغابايتات من مساحة التخزين لمعادلة خماسية عامة ذات معاملات رمزية. ^{[ 4 ]}

باعتبارها دالة جبرية، فإن حلول $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ تتضمن هذه المعادلة متغيرين، d1 و d0 _؛ ومع ذلك، فإن الاختزال في الواقع يكون إلى دالة جبرية لمتغير واحد، وهو مشابه جدًا للحل في الجذور، حيث يمكننا اختزال صيغة برينغ - جيرارد بشكل أكبر. على سبيل المثال _، إذا وضعنا $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ ثم نختزل المعادلة إلى الشكل التالي $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ والتي تتضمن z كدالة جبرية لمتغير واحد${\displaystyle a}$، أين${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$. هذا الشكل مطلوب من قبل طريقة هيرميت-كرونيكر-بريوشي، وطريقة جلاسر، وطريقة كوكل-هارلي للمذيبات التفاضلية الموضحة أدناه.

يتم الحصول على شكل بديل عن طريق تحديد ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ لهذا السبب. ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ أين${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$يُستخدم هذا الشكل لتعريف جذر Bring أدناه.

يوجد شكل طبيعي آخر ذو مُعامل واحد للمعادلة من الدرجة الخامسة، يُعرف باسم شكل بريوشي الطبيعي$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ والتي يمكن اشتقاقها باستخدام تحويل تشيرنهاوس النسبي $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ لربط جذور معادلة خماسية عامة بمعادلة بريوشي خماسية. قيم المعاملات${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$يمكن اشتقاقها باستخدام الدوال متعددة السطوح على كرة ريمان ، وهي مرتبطة بتقسيم جسم ذي تناظر عشريني الوجوه إلى خمسة أجسام ذات تناظر رباعي الوجوه . ^{[ 6 ]}

يُعدّ تحويل تشيرنهاوس هذا أبسط بكثير من التحويل المعقد المستخدم لتحويل معادلة خماسية رئيسية إلى صيغة برينغ - جيرارد. وتُستخدم هذه الصيغة المعيارية في طريقة دويل - ماكمولين التكرارية وطريقة كيبرت.

في عام 1858، نشر تشارلز هيرميت ^{[ 7 ]} أول حل معروف للمعادلة الخماسية العامة بدلالة "الدوال المتسامية الإهليلجية"، وفي نفس الفترة تقريبًا، توصل فرانشيسكو بريوشي ^{[ 8 ]} وليوبولد كرونكر ^{[ 9 ]} إلى حلول مكافئة. توصل هيرميت إلى هذا الحل بتعميم الحل المعروف للمعادلة التكعيبية بدلالة الدوال المثلثية، ووجد حلًا للمعادلة الخماسية بصيغة برينغ - جيرارد. $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

والتي يمكن اختزال أي معادلة من الدرجة الخامسة إليها باستخدام تحويلات تشيرنهاوس كما هو موضح. ولاحظ أن للدوال الإهليلجية دورًا مماثلًا في حل معادلة برينغ - جيرارد من الدرجة الخامسة كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية في حل المعادلة من الدرجة الثالثة.${\displaystyle K}$و${\displaystyle K',}$اكتبها على شكل تكاملات إهليلجية كاملة من النوع الأول : $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$$${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ أين $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ عرّف "المتساميين الإهليلجيين": ^{[ ملاحظة 1 ]}$${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$$${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ ويمكن تعريفها بشكل مكافئ بواسطة متسلسلات لانهائية: ^{[ ملاحظة 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

إذا كان n عددًا أوليًا ، فيمكننا تحديد قيمتين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$على النحو التالي: $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ و $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

عندما يكون n عددًا أوليًا فرديًا، فإن المعاملات${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$ترتبط هذه العناصر بمعادلة من الدرجة n  +  1 في${\displaystyle u}$، ^{[ ملاحظة 3 ]}${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$، والمعروفة باسم المعادلة المعيارية ، والتي${\displaystyle n+1}$جذور في${\displaystyle u}$يتم تحديدها بواسطة: ^{[ 10 ] [ ملاحظة 4 ]}$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ و $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ أين${\displaystyle \varepsilon (n)}$تكون القيمة 1 أو -1 اعتمادًا على ما إذا كان 2 باقيًا تربيعيًا modulo n أم لا، على التوالي، ^{[ ملاحظة 5 ]} و${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$بالنسبة لـ n  =  5، لدينا المعادلة المعيارية: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ بستة جذور في${\displaystyle u}$كما هو موضح أعلاه.

المعادلة المعيارية مع${\displaystyle n=5}$قد تكون مرتبطة بـ Bring – Jerrard quintic من خلال الوظيفة التالية للجذور الستة للمعادلة المعيارية (في Hermite's Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré ، تم إعطاء العامل الأول بشكل غير صحيح كـ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$): ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

أو بدلاً من ذلك، الصيغة ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ يُعد مفيدًا للتقييم العددي لـ${\displaystyle \Phi (\tau )}$بحسب هيرميت، فإن معامل${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$في التوسع، يكون الصفر لكل${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$[ ^{14 ]​}

الكميات الخمس${\displaystyle \Phi (\tau )}$،${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$،${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$،${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$،${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$هي جذور معادلة من الدرجة الخامسة بمعاملات نسبية في${\displaystyle \varphi (\tau )}$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ والتي يمكن تحويلها بسهولة إلى صيغة برينغ – جيرارد عن طريق الاستبدال: $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ مما يؤدي إلى خماسية برينغ – جيرارد: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$ أين

$${\displaystyle a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

*

وتتلخص طريقة هيرميت – كرونكر – بريوشي في إيجاد قيمة لـ${\displaystyle \tau }$وهذا يتوافق مع قيمة${\displaystyle a}$ثم باستخدام تلك القيمة من${\displaystyle \tau }$للحصول على جذور المعادلة المعيارية المقابلة. يمكننا استخدام خوارزميات إيجاد الجذور لإيجاد${\displaystyle \tau }$من المعادلة (*) (أي احسب معكوسًا جزئيًا لـ${\displaystyle a}$). تربيع (*) يعطي معادلة من الدرجة الرابعة فقط في${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$(استخدام${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$كل حل (في${\displaystyle \tau }$) من (*) هو حل للمعادلة الرباعية ولكن ليس كل حل للمعادلة الرباعية هو حل لـ (*).

تُعطى جذور معادلة برينغ – جيرارد الخماسية على النحو التالي:$${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ل${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

أما النهج البديل "التكاملي" فهو كالتالي:

يعتبر${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$أين${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ثم $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ هو حل لـ $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ أين $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,}$$

**

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

جذور المعادلة (**) هي: $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ أين${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$^{[ 13 ]} (لاحظ أن بعض المراجع المهمة تذكرها خطأً على أنها${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$^{[ 6 ] [ 7 ]} ). يمكن استخدام أحد هذه الجذور كمعامل إهليلجي.${\displaystyle k}$.

تُعطى جذور معادلة برينغ – جيرارد الخماسية على النحو التالي:$${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ل${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

يمكن ملاحظة أن هذه العملية تستخدم تعميمًا للجذر النوني ، والذي يمكن التعبير عنه على النحو التالي: $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ أو بتعبير أدق، كما $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ تستبدل طريقة هيرميت – كرونكر – بريوشي بشكل أساسي الدالة الأسية بدالة "متسامية إهليلجية"، والتكامل${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$(أو عكس${\displaystyle \exp }$على خط الأعداد الحقيقية) بواسطة تكامل إهليلجي (أو بواسطة معكوس جزئي لـ "دالة إهليلجية متسامية"). اعتقد كرونكر أن هذا التعميم حالة خاصة من نظرية أكثر عمومية، قابلة للتطبيق على المعادلات ذات الدرجة العالية كيفما كانت. هذه النظرية، المعروفة بصيغة توماي ، صاغها هيروشي أوميمورا ^{[ 16 ]} بالكامل عام 1984، مستخدمًا صيغ سيجل النمطية بدلًا من الدوال الأسية/الإهليلجية المتسامية، واستبدل التكامل بتكامل فوق إهليلجي .

هذا الاشتقاق الذي يعود إلى م. لورانس جلاسر ^{[ 17 ]} يعمم طريقة السلسلة المقدمة سابقًا في هذه المقالة لإيجاد حل لأي معادلة ثلاثية الحدود من الشكل التالي: $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

على وجه الخصوص، يمكن اختزال المعادلة من الدرجة الخامسة إلى هذا الشكل باستخدام تحويلات تشيرنهاوس كما هو موضح أعلاه. ليكن${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$، ويصبح الشكل العام كالتالي: $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ أين $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

تنص صيغة لاغرانج على أنه لأي دالة تحليلية${\displaystyle f\,}$، في جوار جذر المعادلة العامة المحولة بدلالة${\displaystyle \zeta \,}$يمكن التعبير عن ما سبق على أنه سلسلة لانهائية : $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

إذا سمحنا${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$في هذه الصيغة، يمكننا التوصل إلى الجذر: $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$$${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

باستخدام نظرية جاوس للضرب، يمكن تقسيم السلسلة اللانهائية أعلاه إلى سلسلة منتهية من الدوال فوق الهندسية : $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

والثلاثية الحدودية لهذا الشكل لها جذور $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$$${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن جذر المعادلة كمجموع على الأكثر${\displaystyle N-1}$الدوال فوق الهندسية. بتطبيق هذه الطريقة على دالة برينغ - جيرارد الخماسية المختزلة، عرّف الدوال التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ وهي الدوال فوق الهندسية التي تظهر في صيغة المتسلسلة أعلاه. وبالتالي، فإن جذور الدالة من الدرجة الخامسة هي: $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

هذه هي النتيجة نفسها التي تم الحصول عليها بالطريقة التالية.

قام جيمس كوكل ^{[ 18 ]} وروبرت هارلي ^{[ 19 ]} ، في عام 1860، بتطوير طريقة لحل المعادلة الخماسية باستخدام المعادلات التفاضلية. ويعتبران الجذور دوالًا للمعاملات، ويحسبان مُحلِّلًا تفاضليًا بناءً على هذه المعادلات. وتُعبَّر معادلة برينغ - جيرارد الخماسية كدالة: $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ ووظيفة${\displaystyle \,\phi (a)\,}$يتم تحديد ذلك بحيث: $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

الوظيفة${\displaystyle \phi }$يجب أيضًا أن تحقق المعادلات التفاضلية الأربع التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

يؤدي توسيع هذه العناصر ودمجها معًا إلى الحصول على المُحلِّل التفاضلي: $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

يعتمد حل المعادلة التفاضلية، وهي معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الرابعة، على أربعة ثوابت للتكامل ، يجب اختيارها بحيث تحقق المعادلة الأصلية من الدرجة الخامسة. هذه معادلة تفاضلية عادية من نوع فوكسيان، من النوع الهندسي الفائق، ^{[ 20 ]} ويتضح أن حلها مطابق لسلسلة الدوال الهندسية الفائقة التي ظهرت في اشتقاق جلاسر أعلاه. ^{[ 5 ]}

يمكن تعميم هذه الطريقة لتشمل المعادلات ذات الدرجات العالية كيفما كانت، والتي تكون حلولها عبارة عن معادلات تفاضلية جزئية ، وتتضمن حلولها دوالًا فوق هندسية لعدة متغيرات. ^{[ 21 ] [ 22 ]} وتُعطى صيغة عامة للحلول التفاضلية لكثيرات الحدود أحادية المتغير كيفما كانت بواسطة صيغة مجموع القوى لناهاي . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

في عام 1989، اشتق بيتر دويل وكورت ماكمولين طريقة تكرارية ^{[ 25 ]} تحل معادلة من الدرجة الخامسة في شكل بريوشي الطبيعي: $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$ تتم عملية التكرار على النحو التالي:

1. تعيين${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. احسب الدالة الكسرية$${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$أين${\displaystyle g(Z,w)}$هي دالة متعددة الحدود معطاة أدناه، و${\displaystyle g'}$هو مشتق من${\displaystyle g(Z,w)}$بالنسبة إلى${\displaystyle w}$
3. أعاد${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ابدأ بتخمين عشوائي حتى يتقارب. سمِّ هذه النقطة بالنقطة النهائية .${\displaystyle w_{1}}$ودع${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
4. الحوسبة$${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$أين${\displaystyle h(Z,w)}$دالة كثيرة الحدود معطاة أدناه. قم بذلك لكليهما${\displaystyle w_{1}\,}$و${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
5. وأخيرًا، احسب$${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$لـ i = 1، 2. هذان هما اثنان من جذور معادلة بريوشي الخماسية.

الدالتان متعددتا الحدود${\displaystyle g(Z,w)\,}$و${\displaystyle h(Z,w)\,}$وهي كالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

تُنتج هذه الطريقة التكرارية جذرين للمعادلة من الدرجة الخامسة. ويمكن الحصول على الجذور الثلاثة المتبقية باستخدام القسمة التركيبية لفصل هذين الجذرين، مما ينتج عنه معادلة من الدرجة الثالثة. ونظرًا لصياغة التكرار، يبدو أن هذه الطريقة تجد دائمًا جذرين مترافقين مركبين للمعادلة من الدرجة الخامسة حتى عندما تكون جميع معاملات المعادلة من الدرجة الخامسة حقيقية، وكذلك القيمة الابتدائية. هذه الطريقة التكرارية مشتقة من تناظرات المجسم العشري الوجوه ، وهي وثيقة الصلة بالطريقة التي وصفها فيليكس كلاين في كتابه. ^{[ 2 ]}