معامل ارتباط رتبة سبيرمان

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 71 صور
الموسوعة الحرة
معامل ارتباط سبيرمان لـ1{\textstyle 1}النتائج عندما يكون المتغيران اللذان تتم مقارنتهما مرتبطين بشكل رتيب، حتى لو لم تكن علاقتهما خطية. وهذا يعني أن جميع نقاط البيانات ذات القيم الأكبرx{\textstyle x}ستكون القيم التي تختلف عن قيمة نقطة بيانات معينة أكبر.y{\textstyle y}القيم أيضًا. في المقابل، هذا لا يعطي ارتباط بيرسون مثاليًا.
عندما تكون البيانات موزعة بشكل بيضاوي تقريبًا ولا توجد قيم متطرفة بارزة، فإن معامل ارتباط سبيرمان ومعامل ارتباط بيرسون يعطيان قيمًا متشابهة.
يُعدّ معامل ارتباط سبيرمان أقل حساسية من معامل ارتباط بيرسون للقيم المتطرفة القوية الموجودة في ذيول كلتا العينتين. وذلك لأن معامل ارتباط سبيرمان ( ρ) يُقيّد القيمة المتطرفة بقيمة رتبتها.

في الإحصاء ، يُعرف معامل ارتباط رتب سبيرمان ( ρ ) بأنه قيمة تتراوح بين -1 و1، وتشير إلى قوة الارتباط بين مجموعتين من الرتب. يُستخدم هذا المعامل في الحالات التي يكون فيها ترتيب البيانات مهمًا، كما هو الحال في الرياضة. فإذا أراد إحصائي معرفة ما إذا كان الأشخاص ذوو التصنيف العالي في سباقات السرعة يتمتعون أيضًا بتصنيف عالٍ في سباقات المسافات الطويلة، فإنه سيستخدم معامل ارتباط رتب سبيرمان.

سُمّي المعامل نسبةً إلى تشارلز سبيرمان [ 1 ] ، ويُرمز إليه غالبًا بالحرف اليونانيρ{\displaystyle \rho }(رو) أو كمارs{\displaystyle r_{s}}هو مقياس لا معلمي لارتباط الرتب ( الاعتماد الإحصائي بين ترتيب متغيرين ). وهو يقيم مدى إمكانية وصف العلاقة بين متغيرين باستخدام دالة رتيبة .

معامل ارتباط سبيرمان بين متغيرين يساوي معامل ارتباط بيرسون بين رتب هذين المتغيرين؛ فبينما يقيس معامل ارتباط بيرسون العلاقات الخطية، يقيس معامل ارتباط سبيرمان العلاقات الرتيبة (سواء كانت خطية أم لا). في حال عدم وجود قيم بيانات مكررة، يكون معامل ارتباط سبيرمان مثاليًا (+1 أو -1) عندما يكون كل متغير دالة رتيبة مثالية للآخر.

بشكل بديهي، سيكون معامل ارتباط سبيرمان بين متغيرين مرتفعًا عندما يكون للملاحظات رتبة مماثلة (أو متطابقة لمعامل ارتباط 1) (أي، تسمية الموضع النسبي للملاحظات داخل المتغير: الأول، الثاني، الثالث، إلخ) بين المتغيرين، ومنخفضًا عندما يكون للملاحظات رتبة مختلفة (أو متعارضة تمامًا لمعامل ارتباط -1) بين المتغيرين.

يُعد معامل سبيرمان مناسبًا لكل من المتغيرات الترتيبية المستمرة والمتقطعة . [ 2 ] [ 3 ]ρ{\displaystyle \rho }وكيندال​τ{\displaystyle \tau }يمكن صياغتها كحالات خاصة لمعامل ارتباط أكثر عمومية .

التطبيقات

يمكن استخدام المعامل لتحديد مدى ملاءمة البيانات للنموذج، [ 4 ] كما هو الحال عند تحديد مدى تشابه المستندات النصية. [ 5 ]

التعريف والحساب

يُعرَّف معامل ارتباط سبيرمان بأنه معامل ارتباط بيرسون بين متغيرات الرتبة . [ 6 ]

لعينة بحجم ن ،{\displaystyle \ n\ ,}ال ن {\displaystyle \ n\ }أزواج من الدرجات الخام (Xأنا،Yأنا) {\displaystyle \ \left(X_{i},Y_{i}\right)\ }يتم تحويلها إلى رتب R⁡[Xأنا]،R⁡[Yأنا] ،{\displaystyle \ \operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\ ,}و رs {\displaystyle \ r_{s}\ }يتم حسابها على النحو التالي

رs=ρ⁡[ R⁡[X]،R⁡[Y] ]= كوف⁡[ R⁡[X]،R⁡[Y] ]  σR⁡[X] σR⁡[Y] ،{\displaystyle r_{s}=\operatorname {\rho } {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}={\frac {\ \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }{\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }},}

أين

ρ⁡ {\displaystyle \operatorname {\rho } \ }يشير إلى معامل ارتباط بيرسون التقليدي ، ولكن يتم تطبيقه على متغيرات الرتبة.
كوف⁡[ R⁡[X]،R⁡[Y] ] {\displaystyle \operatorname {cov} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }يمثل التباين المشترك لمتغيرات الرتبة،
σR⁡[X] {\displaystyle \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ }و σR⁡[Y] {\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }تمثل هذه القيم الانحرافات المعيارية لمتغيرات الرتبة.

فقط عندما يكون الجميع ن {\displaystyle \ n\ }الرتب عبارة عن أعداد صحيحة مميزة (لا توجد تعادلات)، ويمكن حسابها باستخدام الصيغة الشائعة

رs=1-6∑دأنا2ن(ن2-1) ،{\displaystyle r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}\ ,}

أين

دأنا≡R⁡[Xأنا]-R⁡[Yأنا] {\displaystyle d_{i}\equiv \operatorname {R} [X_{i}]-\operatorname {R} [Y_{i}]\ }هو الفرق بين رتبتي كل ملاحظة،
 ن {\displaystyle \ n\ }يمثل عدد المشاهدات.
[دليل]

لنفترض عينة ثنائية المتغيرات (Xأنا،Yأنا) ، أنا=1،... ن {\displaystyle \ (X_{i},Y_{i})\ ,\ i=1,\ldots \ n\ }مع أزواج الرتب المقابلة (R⁡[Xأنا]،R⁡[Yأنا])=(Rأنا،Sأنا) .{\displaystyle \ \left(\operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\right)=(R_{i},S_{i})~.} ثم معامل ارتباط سبيرمان لـ (X،Y) {\displaystyle \ (X,Y)\ }يكون

رs= 1 ن ∑أنا=1نRأنا Sأنا-R¯ S¯σRσS ،{\displaystyle r_{s}={\frac {{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}\ S_{i}-{\overline {R}}\ {\overline {S}}}{\sigma _{R}\sigma _{S}}}\ ,}

حيث، كالعادة،

R¯= 1 ن∑أنا=1نRأنا،S¯= 1 ن∑أنا=1نSأنا،σR2= 1 ن∑أنا=1ن(Rأنا-R¯)2،{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {R}}&={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i},\\[6pt]{\overline {S}}&={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i},\\[6pt]\sigma _{R}^{2}&={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(R_{i}-{\overline {R}}\right)^{2},\end{aligned}}}

و

σS2= 1 ن∑أنا=1ن(Sأنا-S¯)2 .{\displaystyle \sigma _{S}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(S_{i}-{\overline {S}}\right)^{2}~.}

سنبين ذلك رs {\displaystyle \ r_{s}\ }يمكن التعبير عنها بشكل كامل من حيث دأنا≡Rأنا-Sأنا ،{\displaystyle \ d_{i}\equiv R_{i}-S_{i}\ ,}بشرط أن نفترض عدم وجود أي تعادلات داخل كل عينة.

وبناءً على هذا الافتراض، لدينا أن R،S {\displaystyle \ R,S\ }يمكن اعتبارها متغيرات عشوائية موزعة مثل متغير عشوائي منفصل موزع بشكل منتظميو{\displaystyle U}على { 1،2، ...، ن }.{\displaystyle \ \{\ 1,2,\ \ldots ,\ n\ \}.}لذلك  R¯=S¯=هـ⁡[ يو ] {\displaystyle \ {\overline {R}}={\overline {S}}=\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]\ } و  σR2=σS2=متغير⁡[ يو ]=هـ⁡[يو2]-هـ⁡[ يو ]2 ،{\displaystyle \ \sigma _{R}^{2}=\sigma _{S}^{2}=\operatorname {var} [\ U\ ]=\operatorname {\mathbb {E} } [U^{2}]-\operatorname {E} [\ U\ ]^{2}\ ,} أين

هـ⁡[يو]= 1 ن∑أنا=1نأنا= ن+1 2،هـ⁡[يو2]= 1 ن∑أنا=1نأنا2= (ن+1)(2ن+1) 6،{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [U]&={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {\ n+1\ }{2}},\\[6pt]\operatorname {E} [U^{2}]&={\frac {\ 1\ }{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {\ (n+1)(2n+1)\ }{6}},\end{aligned}}}

وبالتالي

متغير⁡[ يو]= (ن+1)(2ن+1) 6-( ن+1 2)2= ن2-1 12 .{\displaystyle \operatorname {var} [\ U]={\frac {\ (n+1)(2n+1)\ }{6}}-\left({\frac {\ n+1\ }{2}}\right)^{2}={\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}~.}

(يمكن حساب هذه المجاميع باستخدام صيغ الأعداد المثلثية والأعداد الهرمية المربعة ، أو نتائج الجمع الأساسية من حساب التفاضل والتكامل الظلي .)

لاحظ الآن أن

 1 ن ∑أنا=1نRأناSأنا-R¯S¯= 1 ن ∑أنا=1ن 1 2(Rأنا2+Sأنا2-دأنا2)-R¯2= 1 2 1 ن ∑أنا=1نRأنا2+ 1 2 1 ن ∑أنا=1نSأنا2- 1 2ن ∑أنا=1ندأنا2-R¯2=( 1 ن ∑أنا=1نRأنا2-R¯2)- 1 2ن ∑أنا=1ندأنا2=σR2- 1 2ن ∑أنا=1ندأنا2=σR σS- 1 2ن ∑أنا=1ندأنا2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ 1\ }{n}}\ &\sum _{i=1}^{n}R_{i}S_{i}-{\overline {R}}{\overline {S}}\\[6pt]&={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ 1\ }{2}}(R_{i}^{2}+S_{i}^{2}-d_{i}^{2})-{\overline {R}}^{2}\\[6pt]&={\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}+{\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\\[6pt]&=\left({\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\right)-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\[6pt]&=\sigma _{R}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\[6pt]&=\sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\end{aligned}}}

وبذلك ينتج عن جمع كل هذا

رs= σR σS- 1 2ن ∑أنا=1ندأنا2 σR σS=1- ∑أنا=1ندأنا2 2ن⋅ ن2-1 12=1- 6 ∑أنا=1ندأنا2 ن(ن2-1)  .{\displaystyle {\begin{aligned}r_{s}&={\frac {\ \sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{\sigma _{R}\ \sigma _{S}}}\\[6pt]&=1-{\frac {\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{2n\cdot {\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}}}\\[6pt]&=1-{\frac {\ 6\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{\ n(n^{2}-1)\ }}~.\end{aligned}}}

عادة ما يتم تعيين رتب كسرية لكل قيمة متطابقة [ 7 ] تساوي متوسط ​​مواقعها في الترتيب التصاعدي للقيم، وهو ما يعادل حساب المتوسط ​​على جميع التباديل الممكنة.

إذا وُجدت قيم متساوية في مجموعة البيانات، فإن الصيغة المبسطة أعلاه تُعطي نتائج غير صحيحة: فقط إذا كانت جميع الرتب متميزة في كلا المتغيرين، فحينها σR⁡[X] σR⁡[Y]{\displaystyle \ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}}=متغير⁡[ R⁡[X] ]{\displaystyle {}=\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X]\ {\bigr ]}}=متغير⁡[ R⁡[Y] ]{\displaystyle =\operatorname {var} {\bigl [}\ \operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}}= 1 12(ن2-1) {\displaystyle ={\tfrac {\ 1\ }{12}}(n^{2}-1)\ }(محسوبة وفقًا للتباين المتحيز). يمكن استخدام المعادلة الأولى - التي تعتمد على التطبيع بالانحراف المعياري - حتى عند تطبيع الرتب إلى [0،  1] ("الرتب النسبية") لأنها غير حساسة لكل من الترجمة والتحجيم الخطي.

كما لا ينبغي استخدام الطريقة المبسطة في الحالات التي تكون فيها مجموعة البيانات مقطوعة؛ أي عندما يكون معامل ارتباط سبيرمان مطلوبًا لأعلى X سجلات (سواء حسب الترتيب قبل التغيير أو الترتيب بعد التغيير، أو كليهما)، يجب على المستخدم استخدام صيغة معامل ارتباط بيرسون المذكورة أعلاه. [ 8 ]

توجد عدة مقاييس عددية أخرى تُستخدم لتحديد مدى الارتباط الإحصائي بين أزواج من المشاهدات. وأكثرها شيوعًا هو معامل ارتباط بيرسون ، وهو طريقة ارتباط مشابهة لمعامل ارتباط رتبة سبيرمان، حيث يقيس العلاقات "الخطية" بين الأرقام الخام وليس بين رتبها.

يُعرف معامل ارتباط رتبة سبيرمان أيضًا باسم "معامل ارتباط الدرجة"؛ [ 9 ] حيث يُستبدل "رتبة" المشاهدة بـ "درجتها". في التوزيعات المستمرة، تكون درجة المشاهدة، اصطلاحًا، دائمًا أقل بنصف من رتبتها، وبالتالي يكون معامل ارتباط الدرجة ومعامل ارتباط الرتبة متطابقين في هذه الحالة. وبشكل أعم، تتناسب "درجة" المشاهدة مع تقدير نسبة أفراد المجتمع الذين تقل قيمهم عن قيمة معينة، مع تعديل نصف المشاهدة عند القيم المرصودة. وهذا يُمثل أحد الحلول الممكنة للرتب المتساوية. وعلى الرغم من ندرة استخدام مصطلح "معامل ارتباط الدرجة"، إلا أنه لا يزال شائع الاستخدام. [ 10 ]

تفسير

معاملات ارتباط رتبة سبيرمان الإيجابية والسلبية
يشير معامل ارتباط سبيرمان الإيجابي إلى وجود اتجاه رتيب متزايد بين X و Y.
يتوافق معامل ارتباط سبيرمان السلبي مع اتجاه تناقصي رتيب بين X و Y.

تشير إشارة معامل ارتباط سبيرمان إلى اتجاه العلاقة بين X (المتغير المستقل) و Y (المتغير التابع). إذا كان Y يميل إلى الزيادة مع زيادة X ، يكون معامل ارتباط سبيرمان موجبًا. وإذا كان Y يميل إلى النقصان مع زيادة X ، يكون معامل ارتباط سبيرمان سالبًا. يشير معامل ارتباط سبيرمان الصفري إلى عدم وجود ميل لـ Y للزيادة أو النقصان مع زيادة X. يزداد معامل ارتباط سبيرمان كلما اقترب X و Y من أن يكونا دالتين رتيبتين تمامًا لبعضهما البعض. عندما يكون X و Y مرتبطين بشكل رتيب تمامًا، يصبح معامل ارتباط سبيرمان 1. تعني العلاقة الرتيبة المتزايدة أنه لأي زوجين من قيم البيانات Xᵢ , Yᵢ و Xⱼ , Yⱼ ، فإن الفرق بين Xᵢ و Yᵢ - Yⱼ يكون دائمًا بنفس الإشارة. بينما تعني العلاقة الرتيبة المتناقصة أن هذه الفروق دائمًا ما تكون بإشارات متعاكسة .

يُوصف معامل ارتباط سبيرمان غالبًا بأنه "غير معلمي". وهذا الوصف يحمل معنيين. أولًا، ينتج ارتباط سبيرمان مثالي عندما ترتبط المتغيرات X و Y بأي دالة رتيبة . على عكس ارتباط بيرسون، الذي لا يُعطي قيمة مثالية إلا عندما ترتبط المتغيرات X و Y بدالة خطية . أما المعنى الآخر لعدم معلمية ارتباط سبيرمان فهو إمكانية الحصول على توزيع المعاينة الدقيق له دون الحاجة إلى معرفة (أي معرفة المعلمات) التوزيع الاحتمالي المشترك للمتغيرين X و Y.

تُعدّ قوة الارتباطات عاملاً هاماً في تفسير تحليلات الارتباط، إلا أن أوصاف قوة الارتباط ليست مُتفقاً عليها عالمياً. فقد يكون معامل الارتباط الصغير، المحسوب لعينة كبيرة جداً، ذا دلالة إحصائية دون أن يُقدّم علاقة كمية بين المتغيرات. وبالمثل، قد يُشير معامل الارتباط الكبير، المحسوب لعينة صغيرة، إلى إمكانية وجود معادلة كمية بين المتغيرات، حتى وإن لم يكن معامل الارتباط ذا دلالة إحصائية. وقد أشار أكوغلو (2018) [ 11 ] إلى ضرورة وجود أوصاف متسقة لقوة الارتباط، وقدّم مُعرّفات مختلفة لقوة الارتباط في علم النفس والسياسة والطب، تتميّز كل منها بخصائص وعتبات مختلفة. نظراً لعدم وجود إجماع عام حول قوة الارتباط، وضع غرانوتو (2014) [ 12 ] تعريفات عملية للقيم المطلقة لمعاملات الارتباط، وهي: ضعيف (أقل من 0.5)، متوسط ​​(أكبر من أو يساوي 0.5 وأقل من 0.75)، شبه قوي (أكبر من أو يساوي 0.75 وأقل من 0.85)، وقوي (أكبر من أو يساوي 0.85)، وذلك لاستخدامها في التحليلات الهيدرولوجية لإحصاءات معالجة مياه الأمطار. وبالمثل، يشير شوبر وآخرون (2018) [ 13 ] إلى أن "...نقاط القطع تعسفية وغير متسقة، ويجب استخدامها بحذر...". وعلى الرغم من تحذيرهم، يقدم شوبر وآخرون (2018) جدولاً يوضح أن الارتباطات الأقل من أو تساوي 0.1 ضئيلة، بينما الارتباطات الأكبر من 0.1 والأقل من أو تساوي 0.39 ضعيفة. تُعتبر الارتباطات التي تتراوح بين 0.39 و0.69 متوسطة؛ والارتباطات التي تتراوح بين 0.69 و0.89 قوية؛ والارتباطات التي تزيد عن 0.89 قوية جدًا. تشير أوصاف قوة الارتباط إلى إمكانية وجود علاقات كمية بين المتغيرات، ولكن هذه الأوصاف، كما هو الحال مع معاملات الارتباط نفسها، لا تدل على السببية.

مثال

في هذا المثال، يتم استخدام البيانات الأولية العشوائية في الجدول أدناه لحساب الارتباط بين معدل ذكاء الشخص وعدد الساعات التي يقضيها أمام التلفزيون أسبوعيًا [تم استخدام قيم وهمية].

معدل الذكاء ،Xأنا{\displaystyle X_{i}}عدد ساعات مشاهدة التلفاز أسبوعياً،Yأنا{\displaystyle Y_{i}}
1067
10027
862
10150
9928
10329
9720
11312
1126
11017

أولاً، قم بالتقييمدأنا2{\displaystyle d_{i}^{2}}للقيام بذلك، اتبع الخطوات التالية الموضحة في الجدول أدناه.

  1. قم بفرز البيانات حسب العمود الأول (Xأنا{\displaystyle X_{i}}). أنشئ عمودًا جديدًاxأنا{\displaystyle x_{i}}وقم بتعيين القيم المصنفة 1، 2، 3، ...، ن .
  2. بعد ذلك، قم بفرز البيانات المُعززة (معxأنا{\displaystyle x_{i}}) البيانات حسب العمود الثاني (Yأنا{\displaystyle Y_{i}}أنشئ عمودًا رابعًا.yأنا{\displaystyle y_{i}}وبالمثل، قم بتعيين القيم المصنفة 1، 2، 3، ...، ن .
  3. أنشئ عمودًا خامسًادأنا{\displaystyle d_{i}}لحساب الفروقات بين عمودي الترتيب (xأنا{\displaystyle x_{i}}وyأنا{\displaystyle y_{i}}).
  4. أنشئ عمودًا أخيرًادأنا2{\displaystyle d_{i}^{2}}للاحتفاظ بقيمة العموددأنا{\displaystyle d_{i}}مربع.
معدل الذكاء ،Xأنا{\displaystyle X_{i}}عدد ساعات مشاهدة التلفاز أسبوعياً،Yأنا{\displaystyle Y_{i}}رتبةxأنا{\displaystyle x_{i}}رتبةyأنا{\displaystyle y_{i}}دأنا{\displaystyle d_{i}}دأنا2{\displaystyle d_{i}^{2}}
8621100
972026-416
992838-525
1002747-39
10150510-525
1032969-39
106773416
110178539
112692749
11312104636

معدأنا2{\displaystyle d_{i}^{2}}تم العثور عليها، أضفها إلى قائمة البحث∑دأنا2=194{\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}قيمة n هي 10. يمكن الآن استبدال هذه القيم في المعادلة.

ρ=1-6∑دأنا2ن(ن2-1){\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}

لإعطاء

ρ=1-6×19410(102-1)،{\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}

والتي تُقيّم إلى ρ = −29/165 = −0.175757575... بقيمة p = 0.627188 (باستخدام توزيع t ).

رسم بياني للبيانات المعروضة. يمكن ملاحظة وجود ارتباط سلبي محتمل، لكن العلاقة لا تبدو قاطعة.

إن اقتراب القيمة من الصفر يدل على أن الارتباط بين معدل الذكاء وعدد ساعات مشاهدة التلفاز ضعيف للغاية، على الرغم من أن القيمة السالبة تشير إلى أن زيادة وقت مشاهدة التلفاز قد تؤدي إلى انخفاض معدل الذكاء. في حالة تساوي القيم الأصلية، لا ينبغي استخدام هذه الصيغة؛ بل يجب حساب معامل ارتباط بيرسون على الرتب (حيث تُعطى الرتب عند تساوي القيم، كما هو موضح أعلاه).

فترات الثقة

يمكن الحصول بسهولة على فترات الثقة لمعامل ارتباط سبيرمان ρ باستخدام طريقة جاكنايف للاحتمالية الإقليدية في دراسة دي كارفاليو وماركيز (2012). [ 14 ] فترة الثقة بمستوىα{\displaystyle \alpha }ويستند ذلك إلى نظرية ويلكس الواردة في الورقة الأخيرة، ويتم تقديمها بواسطة

{θ:{∑أنا=1ن(Zأنا-θ)}2∑أنا=1ن(Zأنا-θ)2≤χ1،α2}،{\displaystyle \left\{\theta :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},}

أينχ1،α2{\displaystyle \chi _{1,\alpha }^{2}}هوα{\displaystyle \alpha }الكمية المئوية لتوزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة، وZأنا{\displaystyle Z_{i}}هي قيم زائفة ناتجة عن عملية جاكنايف. يتم تطبيق هذا النهج في حزمة spearmanCI في لغة البرمجة R.

تحديد الأهمية

إحدى طرق اختبار ما إذا كانت قيمة ρ المرصودة تختلف اختلافًا جوهريًا عن الصفر ( حيث تبقى قيمة r دائمًا ضمن النطاق −1 ≤ r ≤ 1 ) هي حساب احتمال أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة r المرصودة ، بافتراض صحة الفرضية الصفرية ، باستخدام اختبار التبديل . ومن مزايا هذه الطريقة أنها تأخذ في الحسبان تلقائيًا عدد القيم المتساوية في العينة وكيفية التعامل معها عند حساب معامل الارتباط الرتبي.

ثمة نهج آخر يوازي استخدام تحويل فيشر في حالة معامل ارتباط بيرسون. أي أنه يمكن إجراء فترات الثقة واختبارات الفرضيات المتعلقة بقيمة المجتمع ρ باستخدام تحويل فيشر.

F(ر)=12ln⁡1+ر1-ر=arctanh⁡ر.{\displaystyle F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {arctanh} r.}

إذا كانت F ( r ) هي تحويل فيشر لـ r ، ومعامل ارتباط رتبة سبيرمان للعينة، و n هو حجم العينة، فإن

z=ن-31.06F(ر){\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}

يمثل z قيمة z لـ r ، والتي تتبع تقريبًا التوزيع الطبيعي القياسي في ظل الفرضية الصفرية للاستقلال الإحصائي ( ρ = 0 ). [ 15 ] [ 16 ]

يمكن أيضًا اختبار الدلالة الإحصائية باستخدام

ت=رن-21-ر2،{\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},}

والذي يتوزع تقريبًا وفقًا لتوزيع t للطالب بدرجات حرية n − 2 تحت الفرضية الصفرية . [ 17 ] ويستند تبرير هذه النتيجة إلى حجة التبديل. [ 18 ]

يُعدّ تعميم معامل سبيرمان مفيدًا في حالة وجود ثلاث حالات أو أكثر، حيث يُلاحَظ عدد من الأفراد في كل حالة، ويُتوقّع أن يكون للملاحظات ترتيبٌ مُحدّد. على سبيل المثال، قد يُمنح عدد من الأفراد ثلاث محاولات لكلٍّ منهم في المهمة نفسها، ويُتوقّع أن يتحسّن الأداء من محاولة إلى أخرى. وقد طوّر إي. بي. بيج [ 19 ] اختبارًا لدلالة الاتجاه بين الحالات في هذه الحالة ، ويُشار إليه عادةً باسم اختبار بيج للاتجاه للبدائل المُرتّبة.

تحليل التوافق بناءً على معامل ارتباط سبيرمان ρ

يُعد تحليل التوافق الكلاسيكي أسلوبًا إحصائيًا يُعطي درجة لكل قيمة من قيم متغيرين اسميين. وبهذه الطريقة، يتم تعظيم معامل ارتباط بيرسون بينهما.

يوجد ما يعادل هذه الطريقة، ويسمى تحليل توافق الدرجات ، والذي يزيد من معامل ارتباط سبيرمان ρ أو معامل ارتباط كندال τ . [ 20 ]

تقريب معامل ارتباط سبيرمان ρ من تيار

توجد طريقتان حاليتان لتقريب معامل ارتباط رتبة سبيرمان من البيانات المتدفقة. [ 21 ] [ 22 ] تتضمن الطريقة الأولى [ 21 ] تقليل دقة التوزيع المشترك لـ(X،Y){\displaystyle (X,Y)}للاستمرارX،Y{\displaystyle X,Y}قيم:م1،م2{\displaystyle m_{1},m_{2}}يتم اختيار نقاط القطع لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}على التوالي، يتم تقسيم هذه المتغيرات العشوائية إلى أجزاء منفصلة. وتتم إضافة نقاط القطع الافتراضية عند-∞{\displaystyle -\infty }و∞{\displaystyle \infty }مصفوفة عد بحجم(م1+1)×(م2+1){\displaystyle (m_{1}+1)\times (m_{2}+1)}، المشار إليهم{\displaystyle M}ثم يتم بناؤه حيثم[أنا،ج]{\displaystyle M[i,j]}يخزن عدد المشاهدات التي تقع ضمن الخلية ثنائية الأبعاد المفهرسة بواسطة(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}بالنسبة لبيانات البث المباشر، عند وصول ملاحظة جديدة، يتم استخدام ما يلي:م[أنا،ج]{\displaystyle M[i,j]}يتم زيادة قيمة العنصر. ويمكن بعد ذلك حساب معامل ارتباط رتبة سبيرمان، بناءً على مصفوفة العد.م{\displaystyle M}باستخدام عمليات الجبر الخطي (الخوارزمية 2 [ 21 ] ). تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​لا يلزم إجراء أي عملية تقطيع. هذه الطريقة قابلة للتطبيق على بيانات التدفق المستقرة وكذلك مجموعات البيانات الكبيرة. بالنسبة لبيانات التدفق غير المستقرة، حيث قد يتغير معامل ارتباط رتبة سبيرمان بمرور الوقت، يمكن تطبيق الإجراء نفسه، ولكن على نافذة متحركة من الملاحظات. عند استخدام نافذة متحركة، تزداد متطلبات الذاكرة خطيًا مع حجم النافذة المُختار.

تعتمد الطريقة الثانية لتقريب معامل ارتباط رتبة سبيرمان من البيانات المتدفقة على استخدام مُقدِّرات قائمة على متسلسلات هيرميت. [ 22 ] تسمح هذه المُقدِّرات، القائمة على كثيرات حدود هيرميت ، بالتقدير المتسلسل لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي في حالتي المتغير الواحد والمتغيرين. يتم إدخال مُقدِّرات كثافة متسلسلات هيرميت ثنائية المتغير ومُقدِّرات دالة التوزيع التراكمي القائمة على متسلسلات هيرميت أحادية المتغير في نسخة ذات عينة كبيرة من مُقدِّر معامل ارتباط رتبة سبيرمان، للحصول على مُقدِّر ارتباط سبيرمان متسلسل. يُصاغ هذا المُقدِّر باستخدام عمليات الجبر الخطي لتحسين الكفاءة الحسابية (المعادلة (8) والخوارزميتان 1 و2 [ 22 ] ). تُطبَّق هذه الخوارزميات فقط على بيانات المتغيرات العشوائية المستمرة، ولكنها تتميز ببعض المزايا مقارنةً بطريقة مصفوفة العد في هذا السياق. تتمثل الميزة الأولى في تحسين الدقة عند تطبيقها على أعداد كبيرة من المشاهدات. تتمثل الميزة الثانية في إمكانية حساب معامل ارتباط رتبة سبيرمان على تدفقات البيانات غير المستقرة دون الاعتماد على نافذة متحركة. بدلاً من ذلك، يستخدم مُقدِّر متسلسلة هيرميت نظام ترجيح أُسِّي لتتبع ارتباط رتبة سبيرمان المتغير مع الزمن من بيانات التدفق، والذي يتطلب ذاكرة ثابتة بالنسبة لحجم النافذة المتحركة "الفعّالة". يوجد تطبيق برمجي لهذه الخوارزميات القائمة على متسلسلة هيرميت [ 23 ] ، وقد نُوقش في قسم التطبيقات البرمجية.

تطبيقات البرمجيات

  • تُنفّذ حزمة الإحصاءات الأساسية في لغة R الاختبار cor.test(x, y, method = "spearman")في حزمة "stats" الخاصة بها (وهذا cor(x, y, method = "spearman")سيفي بالغرض أيضًا). تحسب حزمة spearmanCI فترات الثقة. أما حزمة hermiter [ 23 ] فتحسب تقديرات سريعة لمعامل ارتباط سبيرمان، بالإضافة إلى تقديرات متسلسلة (أي تقديرات يتم تحديثها بشكل فوري/تزايدي مع إضافة مشاهدات جديدة).
  • تطبيق Stata : يحسب جميع معاملات الارتباط الزوجية لجميع المتغيرات في قائمة المتغيرات . spearman varlist
  • تطبيق MATLAB : [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman')حيث rيمثل معامل ارتباط رتبة سبيرمان، pو يمثل قيمة p، و xو yمتجهان. [ 24 ]
  • يحتوي بايثون على العديد من التطبيقات المختلفة لإحصائية ارتباط سبيرمان: يمكن حسابها باستخدام دالة spearmanr الخاصة scipy.statsبالوحدة النمطية، وكذلك باستخدام DataFrame.corr(method='spearman')الطريقة من مكتبة pandas ، والدالة corr(x, y, method='spearman')من الحزمة الإحصائية pingouin .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سبيرمان، سي. (يناير 1904). "إثبات وقياس الارتباط بين شيئين" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية لعلم النفس . 15 (1): 72-101 . doi : 10.2307/1412159 . JSTOR 1412159 . 
  2. ↑ أنواع المقاييس .
  3. ↑ ليمان، آن (2005). JMP للإحصاءات الأساسية أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات: دليل خطوة بخطوة . كاري ، كارولاينا الشمالية: مطبعة SAS. ص 123. ISBN  978-1-59047-576-8.
  4. ↑ الجمعية الجغرافية الملكية. "دليل رتبة سبيرمان" (ملف PDF) .
  5. ↑ نينو أرسوف؛ ميلان دوكوفسكي؛ ميلان دوكوفسكي؛ بلاغويا إيفكوسكي (نوفمبر 2019). "مقياس التشابه في البيانات النصية باستخدام معامل ارتباط رتبة سبيرمان" .
  6. ↑ مايرز ، جيروم ل.؛ ويل، أرنولد د. (2003). تصميم البحث والتحليل الإحصائي ( الطبعة الثانية). لورانس إيرلبوم. ص 508. ISBN   978-0-8058-4037-7.
  7. ↑ دودج، يدولا، أد. (2010). الموسوعة المختصرة للإحصاء . نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص. 502 . رقم ISBN  978-0-387-31742-7.
  8. ↑ الجابر، أحمد عودة؛ عليان، هيفاء عمر (2018). نحو ضمان الجودة والتميز في التعليم العالي . دار ريفر للنشر. ص 284. ISBN  978-87-93609-54-9.
  9. ↑ يول، جي يو؛ كيندال، إم جي (1968) [1950]. مقدمة في نظرية الإحصاء ( الطبعة الرابعة عشرة). تشارلز غريفين وشركاه. ص 268.  
  10. ↑ بيانتادوسي، ج.؛ هاوليت، ب.؛ بولاند، ج. (2007). "مطابقة معامل ارتباط الدرجة باستخدام اقتران مع أقصى قدر من الاضطراب" . مجلة التحسين الصناعي والإداري . 3 (2): 305-312 . doi : 10.3934/jimo.2007.3.305 .
  11. ↑ أكوغلو، هالدون، 2018، مقالة مراجعة - دليل المستخدم لمعاملات الارتباط: المجلة التركية لطب الطوارئ، المجلد 18، العدد 3، الصفحات 91-93، https://doi.org/10.1016/j.tjem.2018.08.001
  12. ↑ غرانوتو، جي إي، 2014، إحصاءات للنمذجة العشوائية لتقليل الحجم، وامتداد الهيدروغراف، ومعالجة جودة المياه من خلال أفضل ممارسات إدارة جريان مياه الأمطار الهيكلية (BMPs): تقرير التحقيقات العلمية لهيئة المسح الجيولوجي الأمريكية 2014-5037، 37 صفحة، https://dx.doi.org/10.3133/sir20145037 .
  13. ^ شوبر، باتريك، بوير، كريستا، شوارتي، لوثار، 2018، معاملات الارتباط: الاستخدام المناسب والتفسير: التخدير والتسكين 126(5):ص 1763-1768، 10.1213/ANE.0000000000002864
  14. ↑ دي كارفاليو، م.؛ ماركيز، ف. (2012). "استدلال جاكنايف الإقليدي القائم على الاحتمالية لمعامل ارتباط سبيرمان" (ملف PDF) . مجلة أمريكا الشمالية للعلوم الاكتوارية . 16 (4): 487-492. doi : 10.1080/10920277.2012.10597644 . S2CID 55046385 . 
  15. ↑ تشوي، إس سي (1977). "اختبارات تساوي معاملات الارتباط التابعة". بيومتريكا . 64 (3): 645-647 . doi : 10.1093/biomet/64.3.645 .
  16. ↑ فيلر، إي سي؛ هارتلي، إتش أو؛ بيرسون، إي إس (1957). "اختبارات معاملات ارتباط الرتب. الجزء الأول". Biometrika . 44 ( 3-4 ): 470-481 . CiteSeerX 10.1.1.474.9634 . doi : 10.1093/biomet/44.3-4.470 . 
  17. ↑ بريس؛ فيترينغ؛ تيوكولسكي؛ فلانري (1992). وصفات عددية بلغة سي: فن الحوسبة العلمية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 640. ISBN   9780521437202.
  18. ↑ كيندال، إم جي؛ ستيوارت، أ. (1973). "القسمان 31.19، 31.21". النظرية المتقدمة للإحصاء، المجلد 2: الاستدلال والعلاقة . غريفين. ISBN 978-0-85264-215-3.
  19. ↑ بيج، إي بي (1963). "فرضيات مرتبة لمعالجات متعددة: اختبار دلالة للرتب الخطية". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 58 (301): 216-230 . doi : 10.2307/2282965 . JSTOR 2282965 . 
  20. ↑ كوالتشيك، ت.؛ بليشتشينسكا، إ.؛ رولاند، ف.، محرران. (2004). نماذج وأساليب الدرجات لتحليل البيانات مع تطبيقات لتحليل مجموعات البيانات . دراسات في الغموض والحوسبة المرنة. المجلد 151. برلين هايدلبرغ نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ISBN  978-3-540-21120-4.
  21. 1 2 3 شياو، و. (2019). "خوارزميات جديدة عبر الإنترنت للارتباطات غير البارامترية مع تطبيق لتحليل بيانات المستشعرات". المؤتمر الدولي لهندسة الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) لعام 2019 حول البيانات الضخمة (البيانات الضخمة) . الصفحات 404-412 . doi : 10.1109/BigData47090.2019.9006483 . ISBN  978-1-7281-0858-2. S2CID 211298570 . 
  22. 1 2 3 ستيفانو، مايكل؛ فارغيز، ملفين (يوليو 2021). "التقدير المتسلسل لمعامل ارتباط رتبة سبيرمان باستخدام مقدرات سلسلة هيرميت". مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 186 104783. arXiv : 2012.06287 . doi : 10.1016/j.jmva.2021.104783 . S2CID 235742634 . 
  23. ستيفانو ، مايكل؛ فارغيز، ملفين (2023). "Hermiter: حزمة R للتقدير غير البارامتري المتسلسل". الإحصاءات الحاسوبية . 39 (3): 1127-1163 . arXiv : 2111.14091 . doi : 10.1007/s00180-023-01382-0 . S2CID 244715035 . 
  24. ↑ "الارتباط الخطي أو ارتباط الرتب - MATLAB corr" . www.mathworks.com .

للمزيد من القراءة

  • كوردر، جي. دبليو. وفورمان، دي. آي. (2014). الإحصاءات اللامعلمية: منهج خطوة بخطوة، وايلي. ISBN 978-1118840313.
  • دانيال، واين دبليو. (1990). "معامل ارتباط رتبة سبيرمان" . الإحصاءات اللامعلمية التطبيقية (  الطبعة الثانية). بوسطن: PWS-Kent. الصفحات 358-365 . ISBN  978-0-534-91976-4.
  • سبيرمان، سي. (1904). "إثبات وقياس الارتباط بين شيئين" . المجلة الأمريكية لعلم النفس . 15 (1): 72-101 . doi : 10.2307/1412159 . JSTOR 1412159 . 
  • بونيت، دي جي؛ رايت، تي إيه (2000). "متطلبات حجم العينة لمعاملات ارتباط بيرسون، وكيندال، وسبيرمان". مجلة القياس النفسي . 65 : 23-28 . doi : 10.1007/bf02294183 . S2CID 120558581 . 
  • كيندال، إم جي (1970). أساليب ارتباط الرتب (  الطبعة الرابعة). لندن: غريفين. ISBN 978-0-852-6419-96. OCLC 136868 . 
  • هولاندر م.، وولف د.أ. (1973). الأساليب الإحصائية اللامعلمية . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-40635-8. OCLC 520735 . 
  • كاروسو، جيه سي، وكليف، إن. (1997). "الحجم التجريبي، والتغطية، وقوة فترات الثقة لمعامل ارتباط سبيرمان". القياس التربوي والنفسي . 57 (4): 637-654 . doi : 10.1177/0013164497057004009 . S2CID 120481551 .