المعاوقة الصوتية

بالنسبة لنظام خطي ثابت مع الزمن ، فإن العلاقة بين الضغط الصوتي المطبق على النظام ومعدل تدفق الحجم الصوتي الناتج عبر سطح عمودي على اتجاه ذلك الضغط عند نقطة تطبيقه تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

أو ما يعادل ذلك بواسطة

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

أين

• p هو الضغط الصوتي؛
• Q هو معدل تدفق الحجم الصوتي؛
• ${\displaystyle *}$هو عامل الالتفاف ؛
• R هي المقاومة الصوتية في المجال الزمني ؛
• G = R ⁻¹ هي الموصلية الصوتية في المجال الزمني ( R ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ R ).

المعاوقة الصوتية ، التي يرمز لها بـ Z ، هي تحويل لابلاس ، أو تحويل فورييه ، أو التمثيل التحليلي للمقاومة الصوتية في المجال الزمني : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}[p](s)}{{\mathcal {L}[Q](s)}},}$

$$$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

أين

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هو عامل تحويل لابلاس؛
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هو عامل تحويل فورييه؛
• الرمز السفلي "a" هو عامل التمثيل التحليلي؛
• Q ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ Q.

المقاومة الصوتية ، ويرمز لها بـ R ، والمفاعلة الصوتية ، ويرمز لها بـ X ، هما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من المعاوقة الصوتية على التوالي:

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

أين

• i هي الوحدة التخيلية ؛
• في Z ( s )، R ( s ) ليس تحويل لابلاس للمقاومة الصوتية في المجال الزمني R ( t )، Z ( s ) هو؛
• في Z ( ω )، R ( ω ) ليس تحويل فورييه للمقاومة الصوتية في المجال الزمني R ( t )، Z ( ω ) هو؛
• في Z ( t )، R ( t ) هي المقاومة الصوتية في المجال الزمني و X ( t ) هو تحويل هيلبرت للمقاومة الصوتية في المجال الزمني R ( t )، وفقًا لتعريف التمثيل التحليلي.

المفاعلة الصوتية الحثية ، التي يرمز لها بـ _XL ، والمفاعلة الصوتية السعوية ، التي يرمز لها بـ _C ، هما الجزء الموجب والجزء السالب من المفاعلة الصوتية على التوالي:

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

الممانعة الصوتية ، التي يرمز لها بـ Y ، هي تحويل لابلاس ، أو تحويل فورييه ، أو التمثيل التحليلي للموصلية الصوتية في المجال الزمني : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

أين

• Z ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ Z ؛
• p ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ p .

الموصلية الصوتية ، التي يرمز لها بـ G ، والقابلية الصوتية ، التي يرمز لها بـ B ، هما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من السماحية الصوتية، على التوالي:

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

أين

• في Y ( s )، G ( s ) ليس تحويل لابلاس للتوصيل الصوتي في المجال الزمني G ( t )، Y ( s ) هو؛
• في Y ( ω )، فإن G ( ω ) ليس تحويل فورييه للموصلية الصوتية في المجال الزمني G ( t )، بينما Y ( ω ) هو كذلك؛
• في Y ( t )، G ( t ) هو الموصلية الصوتية في المجال الزمني و B ( t ) هو تحويل هيلبرت للموصلية الصوتية في المجال الزمني G ( t )، وفقًا لتعريف التمثيل التحليلي.

تمثل المقاومة الصوتية انتقال طاقة الموجة الصوتية . يكون الضغط والحركة متوافقين في الطور، لذا يُبذل شغل على الوسط أمام الموجة. أما المفاعلة الصوتية فتمثل الضغط غير المتوافق في الطور مع الحركة، ولا تُسبب انتقالًا متوسطًا للطاقة. على سبيل المثال، في مصباح مغلق موصول بأنبوب آلة موسيقية، يتحرك الهواء داخله ويتعرض لضغط، لكنهما غير متوافقين في الطور، فلا تنتقل إليه طاقة صافية. فبينما يرتفع الضغط، يتحرك الهواء إلى الداخل، وبينما ينخفض، يتحرك إلى الخارج، لكن متوسط ​​الضغط عند دخول الهواء هو نفسه عند خروجه، لذا تتدفق الطاقة ذهابًا وإيابًا دون انتقال متوسط ​​للطاقة. ويمكن تشبيه ذلك بمكثف موصول بخط كهرباء: يمر التيار عبر المكثف، لكنه غير متوافق في الطور مع الجهد، فلا تنتقل إليه طاقة صافية .

بالنسبة لنظام خطي ثابت مع الزمن ، تُعطى العلاقة بين الضغط الصوتي المُطبق على النظام وسرعة الجسيمات الناتجة في اتجاه ذلك الضغط عند نقطة تطبيقه بالعلاقة التالية:

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

أو ما يعادل ذلك عن طريق:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

أين

• p هو الضغط الصوتي؛
• v هي سرعة الجسيم؛
• r هي المقاومة الصوتية النوعية في المجال الزمني ؛
• g = r ⁻¹ هي الموصلية الصوتية المحددة في المجال الزمني ( r ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ r ).

المعاوقة الصوتية النوعية ، التي يرمز لها بـ z، هي تحويل لابلاس، أو تحويل فورييه، أو التمثيل التحليلي للمقاومة الصوتية النوعية في المجال الزمني : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

حيث v ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ v .

المقاومة الصوتية النوعية ، ويرمز لها بـ r ، والمفاعلة الصوتية النوعية ، ويرمز لها بـ x ، هما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من المعاوقة الصوتية النوعية على التوالي:

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

أين

• في z ( s )، r ( s ) ليس تحويل لابلاس للمقاومة الصوتية الخاصة بالمجال الزمني r ( t )، z ( s ) هو؛
• في z ( ω )، r ( ω ) ليس تحويل فورييه للمقاومة الصوتية الخاصة بالمجال الزمني r ( t )، z ( ω ) هو؛
• في z ( t )، r ( t ) هي المقاومة الصوتية الخاصة بالمجال الزمني و x ( t ) هو تحويل هيلبرت للمقاومة الصوتية الخاصة بالمجال الزمني r ( t )، وفقًا لتعريف التمثيل التحليلي.

يمثل كل من المفاعلة الصوتية الحثية النوعية ، التي يرمز لها بـ x _L ، والمفاعلة الصوتية السعوية النوعية ، التي يرمز لها بـ x _C ، الجزء الموجب والجزء السالب من المفاعلة الصوتية النوعية على التوالي:

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

إن الموصلية الصوتية المحددة ، والتي يرمز لها بـ y ، هي تحويل لابلاس، أو تحويل فورييه، أو التمثيل التحليلي للموصلية الصوتية المحددة في المجال الزمني : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

أين

• z ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ z ؛
• p ⁻¹ هو معكوس الالتفاف لـ p .

الموصلية الصوتية النوعية ، التي يرمز لها بـ g ، والمستجيبة الصوتية النوعية ، التي يرمز لها بـ b ، هما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من الممانعة الصوتية النوعية على التوالي:

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

أين

• في y ( s )، g ( s ) ليس تحويل لابلاس للتوصيل الصوتي في المجال الزمني g ( t )، y ( s ) هو؛
• في y ( ω )، g ( ω ) ليس تحويل فورييه للموصلية الصوتية في المجال الزمني g ( t )، y ( ω ) هو؛
• في y ( t )، g ( t ) هي الموصلية الصوتية في المجال الزمني و b ( t ) هو تحويل هيلبرت للموصلية الصوتية في المجال الزمني g ( t )، وفقًا لتعريف التمثيل التحليلي.

المعاوقة الصوتية النوعية z هي خاصية مكثفة لوسط معين (على سبيل المثال، يمكن تحديد z للهواء أو الماء)؛ من ناحية أخرى، المعاوقة الصوتية Z هي خاصية شاملة لوسط معين وهندسة معينة (على سبيل المثال، يمكن تحديد Z لقناة معينة مملوءة بالهواء).

الأوم الصوتي هو وحدة قياس المعاوقة الصوتية. وحدة الضغط في النظام الدولي للوحدات هي الباسكال، ووحدة التدفق هي المتر المكعب في الثانية، لذا فإن الأوم الصوتي يساوي 1  باسكال.ثانية/ ^م³ .

يمكن تطبيق مفهوم المقاومة الصوتية على تدفق السوائل خارج نطاق الصوتيات. في مثل هذه التطبيقات، يمكن استخدام المقاومة الهيدروليكية بنفس التعريف. وتُحسب المقاومة الهيدروليكية كنسبة بين الضغط الهيدروليكي وحجم التدفق الهيدروليكي.

بالنسبة لموجة أحادية البعد تمر عبر فتحة مساحتها A ، فإن معدل تدفق الحجم الصوتي Q هو حجم الوسط الذي يمر عبر الفتحة في الثانية الواحدة؛ إذا تحرك التدفق الصوتي مسافة d x = v d t ، فإن حجم الوسط الذي يمر هو d V = A d x ، لذا:

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

إذا كانت الموجة أحادية البعد، فإنها تُنتج

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

يعطي القانون التكويني للصوتيات الخطية غير المشتتة في بُعد واحد علاقة بين الإجهاد والانفعال: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

أين

• p هو الضغط الصوتي في الوسط؛
• ρ هي الكثافة الحجمية للوسط؛
• c هي سرعة الموجات الصوتية التي تنتقل في الوسط؛
• δ هو إزاحة الجسيم ؛
• يمثل x المتغير المكاني على طول اتجاه انتشار الموجات الصوتية.

هذه المعادلة صالحة لكل من السوائل والمواد الصلبة.

• السوائل ، ρc ² = K ( K تعني معامل الحجم )؛
• المواد الصلبة ، ρc ² = K + 4/3 G ( G تعني معامل القص ) للموجات الطولية و ρc ² = G للموجات المستعرضة .

تطبيق قانون نيوتن الثاني محلياً في الوسط يعطي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

بدمج هذه المعادلة مع المعادلة السابقة نحصل على معادلة الموجة أحادية البعد :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

الموجات المستوية

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

تتكون حلول معادلة الموجة هذه من مجموع موجتين مستويتين متقدمتين تنتقلان على طول المحور x بنفس السرعة وفي اتجاهين متعاكسين :

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

والتي يمكن استخلاصها

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

بالنسبة للموجات المستوية التقدمية :

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

أو

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

وأخيرًا، فإن المعاوقة الصوتية النوعية z هي

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$

غالبًا ما تسمى القيمة المطلقة لهذه المعاوقة الصوتية المحددة بالمعاوقة الصوتية المميزة ويتم الإشارة إليها بـ z ₀ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

وتُظهر المعادلات أيضًا أن

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

تؤثر درجة الحرارة على سرعة الصوت وكثافة الكتلة، وبالتالي على المعاوقة الصوتية النوعية.

بالنسبة لموجة أحادية البعد تمر عبر فتحة مساحتها A ، فإن Z = z / A ، لذا إذا كانت الموجة موجة مستوية متقدمة ، فإن:

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

غالبًا ما تسمى القيمة المطلقة لهذه المعاوقة الصوتية بالمعاوقة الصوتية المميزة ويرمز لها بـ Z ₀ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

والمعاوقة الصوتية النوعية المميزة هي

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

إذا كانت الفتحة ذات المساحة A هي بداية أنبوب، وتم إرسال موجة مستوية إلى داخل الأنبوب، فإن الموجة التي تمر عبر الفتحة تكون موجة مستوية متقدمة في حالة عدم وجود انعكاسات، وعادةً ما تكون الانعكاسات من الطرف الآخر للأنبوب، سواء كان مفتوحًا أو مغلقًا، هي مجموع الموجات المنتقلة من أحد طرفيه إلى الآخر. ^{[ 3 ]} (قد لا تحدث انعكاسات عندما يكون الأنبوب طويلًا جدًا، نظرًا لطول الوقت الذي تستغرقه الموجات المنعكسة للعودة، وتوهينها بسبب الفقد في جدار الأنبوب. ^{[ 3 ]} ) تُعد هذه الانعكاسات والموجات المستقرة الناتجة عنها بالغة الأهمية في تصميم وتشغيل آلات النفخ الموسيقية. ^{[ 4 ]}