النظرية الطيفية للجبر C* العادي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 168 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي ، كل جبر C * متماثل مع جبر فرعي من جبر C *ب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء هيلبرت ماح.{\displaystyle H.}تتناول هذه المقالة النظرية الطيفية للجبر الجزئي الطبيعي المغلق لـب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}. جبر فرعيأ{\displaystyle A}لب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}يُطلق عليها اسم "طبيعية" إذا كانت تبديلية ومغلقة تحت...*{\displaystyle \ast }العملية: للجميعx،y∈أ{\displaystyle x,y\in A}لديناx*∈أ{\displaystyle x^{\ast }\in A}وذلكxy=yx{\displaystyle xy=yx}[ 1 ]​

حل مسألة الهوية

طَوَال،ح{\displaystyle H}هي فضاء هيلبرت ثابت .

مقياس ذو قيمة إسقاطية على مساحة قابلة للقياس(X،Ω)،{\displaystyle (X,\Omega ),}أينΩأوميغاهي جبر سيجما لمجموعات جزئية منX،{\displaystyle X,}هو رسم خرائطπ:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)} بحيث يكون لكلω∈Ω،{\displaystyle \omega \in \Omega ,}π(ω){\displaystyle \pi (\omega )}هو إسقاط ذاتي الترافق علىح{\displaystyle H}(إنه،π(ω){\displaystyle \pi (\omega )}هو مؤثر خطي محدودπ(ω):ح→ح{\displaystyle \pi (\omega ):H\to H}ذلك يرضيπ(ω)=π(ω)*{\displaystyle \pi (\omega )=\pi (\omega )^{*}}وπ(ω)∘π(ω)=π(ω){\displaystyle \pi (\omega )\circ \pi (\omega )=\pi (\omega )}) بحيث π(X)=بطاقة تعريفح{\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}\quad } (أينبطاقة تعريفح{\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}هو عامل الهوية لـح{\displaystyle H}) ولكلx،y∈ح،{\displaystyle x,y\in H,}الوظيفةΩ→ج{\displaystyle \Omega \to \mathbb {C} }محدد بواسطةω↦⟨π(ω)x،y⟩{\displaystyle \omega \mapsto \langle \pi (\omega )x,y\rangle }هو مقياس معقد علىم{\displaystyle M}(أي دالة جمعية قابلة للعد ذات قيم مركبة ).

حل الهوية [ 2 ] على فضاء قابل للقياس(X،Ω){\displaystyle (X,\Omega )}هي دالةπ:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)} بحيث يكون لكلω1،ω2∈Ω{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }:

  1. π(∅)=0{\displaystyle \pi (\varnothing )=0}؛
  2. π(X)=بطاقة تعريفح{\displaystyle \pi (X)=\operatorname {Id} _{H}}؛
  3. لكلω∈Ω،{\displaystyle \omega \in \Omega ,}π(ω){\displaystyle \pi (\omega )}هو إسقاط ذاتي الترافق علىح{\displaystyle H}؛
  4. لكلx،y∈ح،{\displaystyle x,y\in H,}الخريطةπx،y:Ω→ج{\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }محدد بواسطةπx،y(ω)=⟨π(ω)x،y⟩{\displaystyle \pi _{x,y}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,y\rangle }هو مقياس معقد علىΩأوميغا؛
  5. π(ω1∩ω2)=π(ω1)∘π(ω2){\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)\circ \pi \left(\omega _{2}\right)}؛
  6. لوω1∩ω2=∅{\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }ثمπ(ω1∪ω2)=π(ω1)+π(ω2){\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cup \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)+\pi \left(\omega _{2}\right)}؛

لوΩأوميغاهوσ{\displaystyle \sigma }إذا كان لدينا جبر لجميع مجموعات بوريل على فضاء هاوسدورف محليًا مضغوط (أو مضغوط)، فسيتم إضافة الشرط الإضافي التالي:

  1. لكلx،y∈ح،{\displaystyle x,y\in H,}الخريطةπx،y:Ω→ج{\displaystyle \pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C} }هو مقياس بوريل منتظم (يتم استيفاء هذا تلقائيًا في المساحات المترية المدمجة).

تشير الشروط 2 و3 و4 إلى أنπ{\displaystyle \pi }هو مقياس ذو قيمة إسقاطية.

ملكيات

طوال الوقت، دعπ{\displaystyle \pi }أن يكون حلاً للهوية. للجميعx∈ح،{\displaystyle x\in H,}πx،x:Ω→ج{\displaystyle \pi _{x,x}:\Omega \to \mathbb {C} }يُعدّ مقياسًا إيجابيًا علىΩأوميغامع اختلاف كلي‖πx،x‖=πx،x(X)=‖x‖2{\displaystyle \left\|\pi _{x,x}\right\|=\pi _{x,x}(X)=\|x\|^{2}}وهذا يُرضيπx،x(ω)=⟨π(ω)x،x⟩=‖π(ω)x‖2{\displaystyle \pi _{x,x}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,x\rangle =\|\pi (\omega )x\|^{2}}للجميعω∈Ω.{\displaystyle \omega \in \Omega .}[ 2 ]

لكلω1،ω2∈Ω{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega }:

  • π(ω1)π(ω2)=π(ω2)π(ω1){\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right)}(بما أن كلاهما متساويان)π(ω1∩ω2){\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)}). [ 2 ]
  • لوω1∩ω2=∅{\displaystyle \omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing }ثم نطاقات الخرائطπ(ω1){\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)}و π(ω2){\displaystyle \pi \left(\omega _{2}\right)}متعامدتان مع بعضهما البعض وπ(ω1)π(ω2)=0=π(ω2)π(ω1).{\displaystyle \pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=0=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right).}[ 2 ]
  • π:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)} هي دالة جمعية منتهية. [ 2 ]
  • لوω1،ω2،...{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }هي عناصر منفصلة زوجياً منΩ{\displaystyle \Omega }اتحادهم هوω{\displaystyle \omega }وإذاπ(ωأنا)=0{\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)=0}للجميعأنا{\displaystyle i}ثمπ(ω)=0.{\displaystyle \pi (\omega )=0.}[ 2 ]
    • لكن،π:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi تكون الدالة Ω → B(H) قابلة للعد والإضافة فقط في الحالات البسيطة كما هو موضح الآن: لنفترض أنω1،ω2،...{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }هي عناصر منفصلة زوجياً منΩ{\displaystyle \Omega }اتحادهم هوω{\displaystyle \omega }وأن المجاميع الجزئية∑أنا=1نπ(ωأنا){\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)}تتقارب إلىπ(ω){\displaystyle \pi (\omega )}فيب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}(مع طوبولوجيا المعيار الخاصة بها) كمان→∞{\displaystyle n\to \infty }ثم بما أن معيار أي إسقاط هو إما0{\displaystyle 0}أو≥1،{\displaystyle \geq 1,}لا يمكن للمجاميع الجزئية أن تشكل متتالية كوشي إلا إذا كانت جميعها تقريبًا، باستثناء عدد محدود منها، متطابقة.π(ωأنا){\displaystyle \pi \left(\omega _{i}\right)}نكون0.{\displaystyle 0.}[ 2 ]
  • لأي ثابتx∈ح،{\displaystyle x\in H,}الخريطةπx:Ω→ح{\displaystyle \pi _{x}:\Omega \to H}محدد بواسطةπx(ω):=π(ω)x{\displaystyle \pi _{x}(\omega ):=\pi (\omega )x}مادة مضافة قابلة للعدح{\displaystyle H}مقياس ذو قيمة علىΩ.{\displaystyle \Omega .}
    • هنا، تعني خاصية الجمع المعدود أنه كلماω1،ω2،...{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }هي عناصر منفصلة زوجياً منΩ{\displaystyle \Omega }اتحادهم هوω،{\displaystyle \omega ,}ثم المجاميع الجزئية∑أنا=1نπ(ωأنا)x{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}تتقارب إلىπ(ω)x{\displaystyle \pi (\omega )x}فيح.{\displaystyle H.}وبعبارة أخرى أكثر إيجازًا،∑أنا=1∞π(ωأنا)x=π(ω)x.{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\pi \left(\omega _{i}\right)x=\pi (\omega )x.}[ 2 ]
    • بمعنى آخر، لكل عائلة من العناصر المنفصلة ثنائياً(ωأنا)أنا=1∞⊆Ω{\displaystyle \left(\omega _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \Omega }اتحادهم هوω∞∈Ω{\displaystyle \omega _{\infty }\in \Omega }، ثم∑أنا=1نπ(ωأنا)=π(⋃أنا=1نωأنا){\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)=\pi \left(\bigcup _{i=1}^{n}\omega _{i}\right)}(بسبب خاصية الجمع المحدود لـπ{\displaystyle \pi }) يتقارب إلىπ(ω∞){\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)}في طوبولوجيا المؤثر القوي علىب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}لكلx∈ح{\displaystyle x\in H}، تسلسل العناصر∑أنا=1نπ(ωأنا)x{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x}يتقارب إلىπ(ω∞)x{\displaystyle \pi \left(\omega _{\infty }\right)x}فيح{\displaystyle H}(فيما يتعلق بطوبولوجيا المعيار).

L ∞ (π) - فضاء الدوال المحدودة أساسًا

الπ:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)} ليكن حلاً للهوية على(X،Ω).{\displaystyle (X,\Omega ).}

الدوال المحدودة أساساً

يفترضو:X→ج{\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }هو قيمة مركبةΩ{\displaystyle \Omega }دالة قابلة للقياس. توجد مجموعة فرعية مفتوحة وحيدة أكبرVو{\displaystyle V_{f}}لج{\displaystyle \mathbb {C} }(مرتبة وفقًا لشمول المجموعة الفرعية) بحيثπ(و-1(Vو))=0.{\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(V_{f}\right)\right)=0.}[ 3 ] لمعرفة السبب، دعناد1،د2،...{\displaystyle D_{1},D_{2},\ldots }لتكون أساسًا لـج{\displaystyle \mathbb {C} }لنفترض أن طوبولوجيا تتكون من أقراص مفتوحة، وأندأنا1،دأنا2،...{\displaystyle D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots }هي المتتالية الجزئية (التي قد تكون منتهية) التي تتكون من تلك المجموعات التي بحيثπ(و-1(دأناك))=0{\displaystyle \pi \left(f^{-1}\left(D_{i_{k}}\right)\right)=0}؛ ثمدأنا1∪دأنا2∪⋯=Vو.{\displaystyle D_{i_{1}}\cup D_{i_{2}}\cup \cdots =V_{f}.}لاحظ أنه، على وجه الخصوص، إذاد{\displaystyle D}هي مجموعة فرعية مفتوحة منج{\displaystyle \mathbb {C} }بحيثد∩أنا⁡و=∅{\displaystyle D\cap \operatorname {Im} f=\varnothing }ثمπ(و-1(د))=π(∅)=0{\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)=\pi (\varnothing )=0}لهذا السبب.د⊆Vو{\displaystyle D\subseteq V_{f}}(على الرغم من وجود طرق أخرى يمكن من خلالهاπ(و-1(د)){\displaystyle \pi \left(f^{-1}(D)\right)}قد يساوي صفرًا ). في الواقع،ج∖cl⁡(أنا⁡و)⊆Vو.{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \operatorname {cl} (\operatorname {Im} f)\subseteq V_{f}.}

النطاق الأساسي لـو{\displaystyle f}يُعرَّف بأنه مكمل لـVو.{\displaystyle V_{f}.}هي أصغر مجموعة فرعية مغلقة منج{\displaystyle \mathbb {C} }الذي يحتويو(x){\displaystyle f(x)}بالنسبة للجميع تقريباًx∈X{\displaystyle x\in X}(أي للجميع)x∈X{\displaystyle x\in X}باستثناء أولئك الموجودين في مجموعة معينةω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }بحيثπ(ω)=0{\displaystyle \pi (\omega )=0}[ 3 ] النطاق الأساسي هو مجموعة فرعية مغلقة منج{\displaystyle \mathbb {C} }بحيث إذا كانت أيضًا مجموعة جزئية محدودة منج{\displaystyle \mathbb {C} }إذن فهو صغير الحجم.

الوظيفةو{\displaystyle f}تكون محدودة أساسًا إذا كان مداها الأساسي محدودًا، وفي هذه الحالة نُعرّف قيمتها العليا الأساسية ، والتي يُرمز لها بـ‖و‖∞،{\displaystyle \|f\|^{\infty },}أن يكون هو الأعلى بين الجميع|λ|{\displaystyle |\lambda |}مثلλ{\displaystyle \lambda }يتراوح ضمن النطاق الأساسي لـو.{\displaystyle f.}[ 3 ]

فضاء الدوال المحدودة أساسًا

يتركب(X،Ω){\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}ليكن فضاء المتجهات لجميع القيم المركبة المحدودةΩ{\displaystyle \Omega }- وظائف قابلة للقياسو:X→ج،{\displaystyle f:X\to \mathbb {C} ,}والتي تصبح جبر باناخ عند معايرةها بواسطة‖و‖∞:=رشفةx∈X|و(x)|.{\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}|f(x)|.} الوظيفة‖⋅‖∞{\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\infty }}هو شبه معيار فيب(X،Ω)،{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega ),}لكن ليس بالضرورة أن يكون معيارًا. جوهر هذا المعيار شبه الطبيعي،شمال∞:={و∈ب(X،Ω):‖و‖∞=0}،{\displaystyle N^{\infty }:=\left\{f\in {\mathcal {B}}(X,\Omega ):\|f\|^{\infty }=0\right\},}هو فضاء متجهي جزئي منب(X،Ω){\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}هذا مثالي مغلق ثنائي الجانب لجبر باناخ(ب(X،Ω)،‖⋅‖∞).{\displaystyle \left({\mathcal {B}}(X,\Omega ),\|\cdot \|_{\infty }\right).}[ 3 ] ومن ثم فإن ناتج قسمةب(X،Ω){\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\Omega )}بواسطةشمال∞{\displaystyle N^{\infty }}وهي أيضًا جبر باناخ، ويرمز لها بـل∞(π):=ب(X،Ω)/شمال∞{\displaystyle L^{\infty }(\pi ):={\mathcal {B}}(X,\Omega )/N^{\infty }}حيث معيار أي عنصرو+شمال∞∈ل∞(π){\displaystyle f+N^{\infty }\in L^{\infty }(\pi )}يساوي‖و‖∞{\displaystyle \|f\|^{\infty }}(لأن إذاو+شمال∞=ز+شمال∞{\displaystyle f+N^{\infty }=g+N^{\infty }}ثم‖و‖∞=‖ز‖∞{\displaystyle \|f\|^{\infty }=\|g\|^{\infty }}وهذا المعيار يجعلل∞(π){\displaystyle L^{\infty }(\pi )}إلى جبر باناخ. طيفو+شمال∞{\displaystyle f+N^{\infty }}فيل∞(π){\displaystyle L^{\infty }(\pi )}النطاق الأساسي لـو.{\displaystyle f.}[ 3 ] ستتبع هذه المقالة الممارسة المعتادة في الكتابةو{\displaystyle f}بدلاً منو+شمال∞{\displaystyle f+N^{\infty }}لتمثيل عناصر منل∞(π).{\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}

النظرية [ 3 ] — ليكنπ:Ω→ب(ح){\displaystyle \pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)} ليكن حلاً للهوية على(X،Ω).{\displaystyle (X,\Omega ).}يوجد جبر فرعي طبيعي مغلقأ{\displaystyle A}لب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}وتماثل متساوي القياس *Ψ:ل∞(π)→أ{\displaystyle \Psi :L^{\infty }(\pi )\to A}تحقيق الخصائص التالية:

  1. ⟨Ψ(و)x،y⟩=∫Xود⁡πx،y{\displaystyle \langle \Psi (f)x,y\rangle =\int _{X}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}للجميعx،y∈ح{\displaystyle x,y\in H}وو∈ل∞(π)،{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ),}مما يبرر الترميزΨ(و)=∫Xود⁡π{\displaystyle \Psi (f)=\int _{X}f\operatorname {d} \pi }؛
  2. ‖Ψ(و)x‖2=∫X|و|2د⁡πx،x{\displaystyle \|\Psi (f)x\|^{2}=\int _{X}|f|^{2}\operatorname {d} \pi _{x,x}}للجميعx∈ح{\displaystyle x\in H}وو∈ل∞(π){\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}؛
  3. مشغلR∈ب(ح){\displaystyle R\in \mathbb {B} (H)}يتنقل بكل عنصر من عناصرأنا⁡π{\displaystyle \operatorname {Im} \pi }إذا وفقط إذا كان يتبادل مع كل عنصر من عناصرأ=أنا⁡Ψ.{\displaystyle A=\operatorname {Im} \Psi .}
  4. لوو{\displaystyle f}هي دالة بسيطة تساويو=∑أنا=1نλأنا1ωأنا،{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbb {1} _{\omega _{i}},}أينω1،...ωن{\displaystyle \omega _{1},\ldots \omega _{n}}هو تقسيم لـX{\displaystyle X}وλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}إذا كانت أعدادًا مركبة،Ψ(و)=∑أنا=1نλأناπ(ωأنا){\displaystyle \Psi (f)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\pi \left(\omega _{i}\right)}(هنا1{\displaystyle \mathbb {1} }هي الدالة المميزة)؛
  5. لوو{\displaystyle f}هو الحد (في معيارل∞(π){\displaystyle L^{\infty }(\pi )}) من سلسلة من الدوال البسيطةs1،s2،...{\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }فيل∞(π){\displaystyle L^{\infty }(\pi )}ثم(Ψ(sأنا))أنا=1∞{\displaystyle \left(\Psi \left(s_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}يتقارب إلىΨ(و){\displaystyle \Psi (f)}فيب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}و‖Ψ(و)‖=‖و‖∞{\displaystyle \|\Psi (f)\|=\|f\|^{\infty }}؛
  6. (‖و‖∞)2=رشفة‖ح‖≤1∫Xد⁡πح،ح{\displaystyle \left(\|f\|^{\infty }\right)^{2}=\sup _{\|h\|\leq 1}\int _{X}\operatorname {d} \pi _{h,h}}لكلو∈ل∞(π).{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}

نظرية الطيف

الفضاء المثالي الأقصى لجبر باناخأ{\displaystyle A}هي مجموعة جميع التشاكلات المعقدةأ→ج،{\displaystyle A\to \mathbb {C} ,}والذي سنرمز إليه بـσأ.{\displaystyle \sigma _{A}.}لكلتي{\displaystyle T}فيأ،{\displaystyle A,}تحويل جيلفاند لـتي{\displaystyle T}هذه هي الخريطةجي(تي):σأ→ج{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }محدد بواسطةجي(تي)(ح):=ح(تي).{\displaystyle G(T)(h):=h(T).}σأ{\displaystyle \sigma _{A}}يتم منحها أضعف بنية مما يجعل كلجي(تي):σأ→ج{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }متصل. مع هذه البنية الطوبولوجية،σأ{\displaystyle \sigma _{A}}مساحة هاوسدورف صغيرة وكل شيءتي{\displaystyle T}فيأ،{\displaystyle A,}جي(تي){\displaystyle G(T)}ينتمي إلىج(σأ)،{\displaystyle C\left(\sigma _{A}\right),}وهو فضاء الدوال المركبة المتصلة علىσأ.{\displaystyle \sigma _{A}.}نطاقجي(تي){\displaystyle G(T)}هو الطيفσ(تي){\displaystyle \sigma (T)}وأن نصف القطر الطيفي يساويالأعلى{|جي(تي)(ح)|:ح∈σأ}،{\displaystyle \max \left\{|G(T)(h)|:h\in \sigma _{A}\right\},}وهو≤‖تي‖.{\displaystyle \leq \|T\|.}[ 4 ]

النظرية [ 5 ] — لنفترضأ{\displaystyle A}هي جبر فرعي طبيعي مغلق منب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}الذي يحتوي على عامل الهويةبطاقة تعريفح{\displaystyle \operatorname {Id} _{H}}ودعσ=σأ{\displaystyle \sigma =\sigma _{A}}ليكن الفضاء المثالي الأقصى لـأ.{\displaystyle A.}يتركΩ{\displaystyle \Omega }لتكن مجموعات بوريل الفرعية منσ.{\displaystyle \sigma .}لكلتي{\displaystyle T}فيأ،{\displaystyle A,}يتركجي(تي):σأ→ج{\displaystyle G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C} }يرمز إلى تحويل جيلفاند لـتي{\displaystyle T}لهذا السبب.جي{\displaystyle G}هي خريطة حقنيةجي:أ→ج(σأ).{\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right).}يوجد حل فريد للهويةπ:Ω→أ{\displaystyle \pi :\Omega \to A} الذي يحقق: ⟨تيx،y⟩=∫σأجي(تي)د⁡πx،y للجميع x،y∈ح وكل شيء تي∈أ؛{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi _{x,y}\quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}T\in A;} الترميزتي=∫σأجي(تي)د⁡π{\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi }يُستخدم هذا لتلخيص هذا الوضع. لنفترضأنا:أنا⁡جي→أ{\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}ليكن معكوس تحويل جيلفاندجي:أ→ج(σأ){\displaystyle G:A\to C\left(\sigma _{A}\right)}أينأنا⁡جي{\displaystyle \operatorname {Im} G}يمكن تحديدها بشكل أساسي على أنها فضاء جزئي منل∞(π).{\displaystyle L^{\infty }(\pi ).}يتركب{\displaystyle B}ليكن الإغلاق (في طوبولوجيا المعيار لـب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}) من الامتداد الخطي لـأنا⁡π.{\displaystyle \operatorname {Im} \pi .} إذن، ما يلي صحيح:

  1. ب{\displaystyle B}هي جبر فرعي مغلق منب(ح){\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}يحتوي علىأ.{\displaystyle A.}
  2. يوجد تماثل (ضربي خطي) متساوي القياس *Φ:ل∞(π)→ب{\displaystyle \Phi :L^{\infty }(\pi )\to B}التمديدأنا:أنا⁡جي→أ{\displaystyle I:\operatorname {Im} G\to A}بحيثΦو=∫σأود⁡π{\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }للجميعو∈ل∞(π).{\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi ).}
    • تذكر أن الترميزΦو=∫σأود⁡π{\displaystyle \Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi }هذا يعني أن⟨(Φو)x،y⟩=∫σأود⁡πx،y{\displaystyle \langle (\Phi f)x,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi _{x,y}}للجميعx،y∈ح{\displaystyle x,y\in H}؛
    • لاحظ على وجه الخصوص أنتي=∫σأجي(تي)د⁡π=Φ(جي(تي)){\displaystyle T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi =\Phi (G(T))}للجميعتي∈أ.{\displaystyle T\in A.}
    • بشكل صريح،Φ{\displaystyle \Phi }يرضيΦ(و¯)=(Φو)*{\displaystyle \Phi \left({\overline {f}}\right)=(\Phi f)^{*}}و‖Φو‖=‖و‖∞{\displaystyle \|\Phi f\|=\|f\|^{\infty }}لكلو∈ل∞(π){\displaystyle f\in L^{\infty }(\pi )}(لذا إذاو{\displaystyle f}هل لها قيمة حقيقية إذنΦ(و){\displaystyle \Phi (f)}(هو ذاتي الترافق).
  3. لوω⊆σأ{\displaystyle \omega \subseteq \sigma _{A}}مفتوحة وغير فارغة (مما يعني أنω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }) ثمπ(ω)≠0.{\displaystyle \pi (\omega )\neq 0.}
  4. مؤثر خطي محدودS∈ب(ح){\displaystyle S\in {\mathcal {B}}(H)}يتنقل بكل عنصر من عناصرأ{\displaystyle A}إذا وفقط إذا كان يتبادل مع كل عنصر من عناصرأنا⁡π.{\displaystyle \operatorname {Im} \pi .}

يمكن تخصيص النتيجة المذكورة أعلاه لتشمل عاملًا واحدًا محدودًا طبيعيًا.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ رودين والتر (1991). التحليل الوظيفي (الطبعة الثانية  ). نيويورك: ماكجرو هيل. ص 292 – 293. ISBN  0-07-100944-2.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 رودين 1991 ، ص 316-318.
  3. 1 2 3 4 5 6 رودين 1991 ، ص 318-321.
  4. ↑ رودين 1991 ، ص 280.
  5. ^ رودين 1991 ، ص 321-325.