الإسقاط (الجبر الخطي)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 170 صور
الموسوعة الحرة
التحويل P هو الإسقاط المتعامد على الخط m .

في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، الإسقاط هو تحويل خطيP{\displaystyle P}من فضاء متجهي إلى نفسه ( تشاكل داخلي ) بحيثP∘P=P{\displaystyle P\circ P=P}أي، كلماP{\displaystyle P}عند تطبيقها مرتين على أي متجه، فإنها تعطي نفس النتيجة كما لو تم تطبيقها مرة واحدة (أيP{\displaystyle P}(هي عملية متكررة التأثير ). فهي لا تُغير الصورة . [ 1 ] يُضفي هذا التعريف لـ"الإسقاط" طابعًا رسميًا وعامًا على فكرة الإسقاط الرسومي . ويمكن أيضًا دراسة تأثير الإسقاط على شكل هندسي من خلال فحص تأثيره على نقاط في ذلك الشكل.

التعريفات

إسقاط على فضاء متجهيV{\displaystyle V}هو مؤثر خطيP:V→V{\displaystyle P\colon V\to V}بحيثP2=P{\displaystyle P^{2}=P}.

متىV{\displaystyle V}له ناتج داخلي ويكون كاملاً ، أي عندماV{\displaystyle V}إذا كان فضاء هيلبرت ، فيمكن استخدام مفهوم التعامد . إسقاطP{\displaystyle P}في مساحة هيلبرتV{\displaystyle V}يُطلق عليه اسم الإسقاط المتعامد إذا كان يحقق الشروط التالية:⟨Px،y⟩=⟨x،Py⟩{\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle }للجميعx،y∈V{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}. يُطلق على الإسقاط على فضاء هيلبرت الذي لا يكون متعامدًا اسم الإسقاط المائل .

مصفوفة الإسقاط

  • مصفوفة مربعةP{\displaystyle P}تُسمى مصفوفة الإسقاط إذا كانت تساوي مربعها، أي إذاP2=P{\displaystyle P^{2}=P}[ 2 ] : ص 38
  • مصفوفة مربعةP{\displaystyle P}تُسمى مصفوفة الإسقاط المتعامد إذاP2=P=Pتي{\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}بالنسبة للمصفوفة الحقيقية ، و على التواليP2=P=P*{\displaystyle P^{2}=P=P^{*}}بالنسبة للمصفوفة المعقدة ، حيثPتي{\displaystyle P^{\mathrm {T} }}يشير إلى منقولةP{\displaystyle P}وP*{\displaystyle P^{*}}يشير إلى المرافق أو النقل الهرميتي لـP{\displaystyle P}[ 2 ] : ص 223
  • مصفوفة الإسقاط التي ليست مصفوفة إسقاط متعامدة تسمى مصفوفة إسقاط مائلة .

يجب أن تكون القيم الذاتية لمصفوفة الإسقاط إما 0 أو 1.

أمثلة

الإسقاط المتعامد

على سبيل المثال، الدالة التي تحدد النقطة(x،y،z){\displaystyle (x,y,z)}في الفضاء ثلاثي الأبعادR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}إلى صلب الموضوع(x،y،0){\displaystyle (x,y,0)}هي إسقاط متعامد على المستوى xy . يتم تمثيل هذه الدالة بواسطة المصفوفة P=[100010000].{\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}

تأثير هذه المصفوفة على متجه عشوائي هو P[xyz]=[xy0].{\displaystyle P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}

لرؤية ذلكP{\displaystyle P}هو في الواقع إسقاط، أيP=P2{\displaystyle P=P^{2}}، نقوم بالحساب P2[xyz]=P[xy0]=[xy0]=P[xyz].{\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}

ملاحظة أنPتي=P{\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}يوضح ذلك أن الإسقاط هو إسقاط متعامد.

الإسقاط المائل

مثال بسيط على الإسقاط غير المتعامد (المائل) هو P=[00α1].{\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}

من خلال ضرب المصفوفات ، يمكن ملاحظة أن P2=[00α1][00α1]=[00α1]=P.{\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.} مما يدل على أنP{\displaystyle P}هو في الواقع إسقاط.

الإسقاطP{\displaystyle P}يكون متعامدًا إذا وفقط إذاα=0{\displaystyle \alpha =0}لأنه حينها فقطPتي=P.{\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P.}

الخصائص والتصنيف

التحويل T هو الإسقاط على طول k على m . مدى T هو m ونواة التحويل هي k .

العجز الجنسي

بحسب التعريف، إسقاطP{\displaystyle P}هو متماثل (أيP2=P{\displaystyle P^{2}=P}).

افتح الخريطة

كل إسقاط هو خريطة مفتوحة على صورته، مما يعني أنه يرسم كل مجموعة مفتوحة في المجال إلى مجموعة مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي للصورة . أي ، لأي متجهx{\displaystyle \mathbf {x} }وأي كرةبx{\displaystyle B_{\mathbf {x} }}(بنصف قطر موجب) متمركزة علىx{\displaystyle \mathbf {x} }توجد كرةبPx{\displaystyle B_{P\mathbf {x} }}(بنصف قطر موجب) متمركزة علىPx{\displaystyle P\mathbf {x} }هذا موجود بالكامل في الصورةP(بx){\displaystyle P(B_{\mathbf {x} })}.

تكامل الصورة والنواة

يتركدبليو{\displaystyle W}ليكن فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد وP{\displaystyle P}أن يكون إسقاطًا علىدبليو{\displaystyle W}لنفترض الفضاءات الجزئيةيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}هما صورة ونواة​​P{\displaystyle P}على التوالي. ثمP{\displaystyle P}له الخصائص التالية:

  1. P{\displaystyle P}هو عامل الهويةأنا{\displaystyle I}علىيو{\displaystyle U}:∀x∈يو:Px=x.{\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}
  2. لدينا مجموع مباشردبليو=يو⊕V{\displaystyle W=U\oplus V}كل متجهx∈دبليو{\displaystyle \mathbf {x} \in W}يمكن تحليلها بشكل فريد كماx=u+v{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }معu=Px{\displaystyle \mathbf {u} =P\mathbf {x} }وv=x-Px=(أنا-P)x{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x} }وحيثu∈يو،v∈V.{\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.}

تُعتبر صورة ونواة الإسقاط متكاملتين ، وكذلكP{\displaystyle P}وسؤال=أنا-P{\displaystyle Q=I-P}المشغلسؤال{\displaystyle Q}وهو أيضًا إسقاط كصورة ونواة لـP{\displaystyle P}يصبح النواة والصورة لـسؤال{\displaystyle Q}والعكس صحيح. نقولP{\displaystyle P}هو إسقاط على طولV{\displaystyle V}علىيو{\displaystyle U}(نواة/صورة) وسؤال{\displaystyle Q}هو إسقاط على طوليو{\displaystyle U}علىV{\displaystyle V}.

نطاق

في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية، يكون طيف الإسقاط محصورًا في{0،1}{\displaystyle \{0,1\}}مثل (λأنا-P)-1=1λأنا+1λ(λ-1)P.{\displaystyle (\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}لا يمكن أن تكون القيمة الذاتية للإسقاط إلا صفرًا أو واحدًا . وهذا يعني أن الإسقاط المتعامدP{\displaystyle P}هي دائمًا مصفوفة شبه موجبة . بشكل عام، الفضاءات الذاتية المقابلة هي (على التوالي) نواة ومدى الإسقاط. تحليل فضاء متجهي إلى مجاميع مباشرة ليس فريدًا. لذلك، بالنظر إلى فضاء جزئيV{\displaystyle V}قد يكون هناك العديد من الإسقاطات التي يكون مداها (أو نواتها)V{\displaystyle V}.

إذا كان الإسقاط غير تافه، فإنه يمتلك متعدد حدود أدنىx2-x=x(x-1){\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}، والتي تنقسم إلى عوامل خطية متميزة، وبالتاليP{\displaystyle P}قابل للقطر .

ناتج الإسقاطات

إن حاصل ضرب الإسقاطات ليس إسقاطًا في العموم، حتى لو كانت متعامدة. إذا كان إسقاطان تبادليين، فإن حاصل ضربهما يكون إسقاطًا، ولكن العكس غير صحيح: فقد يكون حاصل ضرب إسقاطين غير تبادليين إسقاطًا أو لا يكون.

إذا كان إسقاطان متعامدان يتبادلان، فإن حاصل ضربهما يكون إسقاطًا متعامدًا. وإذا كان حاصل ضرب إسقاطين متعامدين إسقاطًا متعامدًا، فإن الإسقاطين المتعامدين يتبادلان (بشكل أعم: يتبادل تشاكلان ذاتيان مترافقان إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما ذاتيًا مترافقًا).

الإسقاطات المتعامدة

الإسقاط المتعامد للمتجه b على الفضاء الفرعي ثنائي الأبعاد الذي يمتد بواسطة المتجهين a₁ و a₂، مع كون الباقي متعامدًا مع المستوى.

عندما يكون الفضاء المتجهيدبليو{\displaystyle W}إذا كان للفضاء جداء داخلي وهو كامل (فهو فضاء هيلبرت )، فيمكن استخدام مفهوم التعامد . الإسقاط المتعامد هو إسقاط يكون مداهيو{\displaystyle U}والنواةV{\displaystyle V}هي فضاءات جزئية متعامدة . وبالتالي، لكلx{\displaystyle \mathbf {x} }وy{\displaystyle \mathbf {y} }فيدبليو{\displaystyle W}،⟨Px،(y-Py)⟩=⟨(x-Px)،Py⟩=0{\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0}. أو ما يعادل ذلك: ⟨x،Py⟩=⟨Px،Py⟩=⟨Px،y⟩.{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}

يكون الإسقاط متعامدًا إذا وفقط إذا كان ذاتيًا مترافقًا . باستخدام خاصيتي الترافق الذاتي والتماثل لـP{\displaystyle P}، لأيx{\displaystyle \mathbf {x} }وy{\displaystyle \mathbf {y} }فيدبليو{\displaystyle W}لديناPx∈يو{\displaystyle P\mathbf {x} \in U}،y-Py∈V{\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V}، و ⟨Px،y-Py⟩=⟨x،(P-P2)y⟩=0{\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(P-P^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0} أين⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }هو الناتج الداخلي المرتبط بـدبليو{\displaystyle W}. لذلك،P{\displaystyle P}وأنا-P{\displaystyle I-P}هي إسقاطات متعامدة. [ 3 ] الاتجاه الآخر، أي إذاP{\displaystyle P}إذا كانت متعامدة، فإنها تكون مترافقة ذاتيًا، ويتبع ذلك من الاستلزام من⟨(x-Px)،Py⟩=⟨Px،(y-Py)⟩=0{\displaystyle \langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0}ل ⟨x،Py⟩=⟨Px،Py⟩=⟨Px،y⟩=⟨x،P*y⟩{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle } لكلx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}فيدبليو{\displaystyle W}؛ هكذاP=P*{\displaystyle P=P^{*}}.

إن وجود إسقاط متعامد على فضاء فرعي مغلق يتبع من نظرية إسقاط هيلبرت .

الخصائص والحالات الخاصة

الإسقاط المتعامد هو مؤثر محدود . وذلك لأنه لكلv{\displaystyle \mathbf {v} }في الفضاء المتجهي لدينا، بحسب متباينة كوشي-شفارتز : ‖Pv‖2=⟨Pv،Pv⟩=⟨Pv،v⟩≤‖Pv‖⋅‖v‖{\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|} هكذا‖Pv‖≤‖v‖{\displaystyle \left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|}.

بالنسبة للفضاءات المتجهة المعقدة أو الحقيقية ذات الأبعاد المحدودة، يمكن استبدال الضرب الداخلي القياسي بـ⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }.

الصيغ

تحدث حالة بسيطة عندما يكون الإسقاط المتعامد على خط مستقيم. إذاu{\displaystyle \mathbf {u} }إذا كان متجه وحدة على الخط، فإن الإسقاط يُعطى بواسطة الضرب الخارجي.Pu=uuتي.{\displaystyle P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.} (لوu{\displaystyle \mathbf {u} }إذا كانت المصفوفة ذات قيم مركبة، فسيتم استبدال منقولة المصفوفة في المعادلة أعلاه بمنقولة هيرميتية. هذا المؤثر يُبقي u ثابتًا، ويُلغي جميع المتجهات المتعامدة مع u.u{\displaystyle \mathbf {u} }مما يثبت أنها بالفعل الإسقاط المتعامد على الخط الذي يحتوي على u . [ 4 ] إحدى الطرق البسيطة لتوضيح ذلك هي اعتبار متجه عشوائيx{\displaystyle \mathbf {x} }باعتبارها مجموع مركبة على الخط (أي المتجه المسقط الذي نبحث عنه) ومركبة أخرى عمودية عليه،x=x∥+x⊥{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }}بتطبيق الإسقاط، نحصل على Pux=uuتيx∥+uuتيx⊥=u(علامة⁡(uتيx∥)‖x∥‖)+u⋅0=x∥{\displaystyle P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }} من خلال خصائص الضرب النقطي للمتجهات المتوازية والمتعامدة.

يمكن تعميم هذه الصيغة لتشمل الإسقاطات المتعامدة على فضاء جزئي ذي بُعد عشوائي . ليكنu1،...،uك{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}لتكن أساسًا متعامدًا للفضاء الفرعييو{\displaystyle U}، بافتراض أن العدد الصحيحك≥1{\displaystyle k\geq 1}ودعأ{\displaystyle A}يشير إلىن×ك{\displaystyle n\times k}مصفوفة أعمدتها هيu1،...،uك{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}، أي،أ=[u1⋯uك]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}}ثم يتم إعطاء الإسقاط بواسطة: [ 5 ]Pأ=أأتي{\displaystyle P_{A}=AA^{\mathsf {T}}} والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي Pأ=∑أنا⟨uأنا،⋅⟩uأنا.{\displaystyle P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.}

المصفوفةأتي{\displaystyle A^{\mathsf {T}}}هو التماثل الجزئي الذي يتلاشى على المتمم المتعامد لـيو{\displaystyle U}، وأ{\displaystyle A}هو التماثل الذي يدمجيو{\displaystyle U}في فضاء المتجهات الأساسي. مدىPأ{\displaystyle P_{A}}وبالتالي فإن المساحة النهائية لـأ{\displaystyle A}ومن الواضح أيضاً أنأأتي{\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}هو عامل الهوية علىيو{\displaystyle U}.

يمكن أيضًا حذف شرط التعامد. إذاu1،...،uك{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}هي قاعدة (ليست بالضرورة متعامدة) معك≥1{\displaystyle k\geq 1}، وأ{\displaystyle A}إذا كانت المصفوفة تحتوي على هذه المتجهات كأعمدة، فإن الإسقاط يكون: [ 6 ] [ 7 ]Pأ=أ(أتيأ)-1أتي.{\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.}

المصفوفةأ{\displaystyle A}لا يزال يتضمنيو{\displaystyle U}في فضاء المتجهات الأساسي، لكنها لم تعد متساوية القياس بشكل عام. المصفوفة(أتيأ)-1{\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}هو "عامل تطبيع" يستعيد المعيار. على سبيل المثال، عامل الرتبة -1uuتي{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}لا يُعتبر إسقاطًا إذا‖u‖≠1.{\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.}بعد القسمة علىuتيu=‖u‖2،{\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},}نحصل على الإسقاطu(uتيu)-1uتي{\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}على الفضاء الفرعي الذي يمتد بواسطةu{\displaystyle u}.

في الحالة العامة، يمكننا الحصول على مصفوفة موجبة محددة عشوائيةد{\displaystyle D}تعريف المنتج الداخلي⟨x،y⟩د=y†دx{\displaystyle \langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx}والإسقاطPأ{\displaystyle P_{A}}يُعطى بواسطةPأx=أرجينينy∈يتراوح⁡(أ)⁡‖x-y‖د2{\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}. ثم Pأ=أ(أتيدأ)-1أتيد.{\displaystyle P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.}

عندما يتم توليد نطاق الإسقاط بواسطة إطار (أي أن عدد المولدات أكبر من أبعاده)، فإن صيغة الإسقاط تأخذ الشكل التالي:Pأ=أأ+{\displaystyle P_{A}=AA^{+}}. هناأ+{\displaystyle A^{+}}يرمز إلى معكوس مور-بنروز الزائف . هذه مجرد واحدة من طرق عديدة لإنشاء عامل الإسقاط.

لو[أب]{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}}هي مصفوفة غير منفردة وأتيب=0{\displaystyle A^{\mathsf {T}}B=0}(أي،ب{\displaystyle B}هي مصفوفة الفضاء الصفري لـأ{\displaystyle A}), [ 8 ] ينطبق ما يلي: أنا=[أب][أب]-1[أتيبتي]-1[أتيبتي]=[أب]([أتيبتي][أب])-1[أتيبتي]=[أب][أتيأيايابتيب]-1[أتيبتي]=أ(أتيأ)-1أتي+ب(بتيب)-1بتي{\displaystyle {\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{\mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}

إذا تم تحسين شرط التعامد إلىأتيدبليوب=أتيدبليوتيب=0{\displaystyle A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0}معدبليو{\displaystyle W}في حالة عدم التفرد ، ينطبق ما يلي: أنا=[أب][(أتيدبليوأ)-1أتي(بتيدبليوب)-1بتي]دبليو.{\displaystyle I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.}

تنطبق جميع هذه الصيغ أيضًا على فضاءات الضرب الداخلي المعقدة، بشرط استخدام منقولة المرافق بدلًا من المنقولة الأصلية. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل حول مجاميع المساقط في بانيرجي وروي (2014). [ 9 ] انظر أيضًا بانيرجي (2004) [ 10 ] لتطبيق مجاميع المساقط في حساب المثلثات الكروية الأساسية .

إسقاطات مائلة

يُستخدم مصطلح الإسقاطات المائلة أحيانًا للإشارة إلى الإسقاطات غير المتعامدة. تُستخدم هذه الإسقاطات أيضًا لتمثيل الأشكال المكانية في الرسومات ثنائية الأبعاد (انظر الإسقاط المائل )، وإن لم يكن ذلك بنفس شيوع استخدام الإسقاطات المتعامدة. فبينما يتطلب حساب القيمة المُقدَّرة لانحدار المربعات الصغرى العادية إسقاطًا متعامدًا، يتطلب حساب القيمة المُقدَّرة لانحدار المتغيرات الآلية إسقاطًا مائلًا.

يُعرَّف الإسقاط بنواته ومتجهات الأساس المستخدمة لتوصيف مداه (وهو مكمل النواة). عندما تكون متجهات الأساس هذه متعامدة مع النواة، يكون الإسقاط إسقاطًا متعامدًا. أما عندما لا تكون متعامدة مع النواة، فيكون الإسقاط إسقاطًا مائلًا، أو مجرد إسقاط.

صيغة تمثيل المصفوفة لمؤثر الإسقاط غير الصفري

يتركP:V→V{\displaystyle P\colon V\to V}ليكن مؤثرًا خطيًا بحيثP2=P{\displaystyle P^{2}=P}وافترض أنP{\displaystyle P}ليس هو عامل الصفر. لنفترض أن المتجهاتu1،...،uك{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}تشكل أساسًا لمجموعةP{\displaystyle P}، ثم قم بتجميع هذه المتجهات فين×ك{\displaystyle n\times k}مصفوفةأ{\displaystyle A}. ثمك≥1{\displaystyle k\geq 1}، خلاف ذلكك=0{\displaystyle k=0}وP{\displaystyle P}هو عامل الصفر. المدى والنواة فضاءان متكاملان، لذا فإن للنواة بُعدًان-ك{\displaystyle n-k}ويترتب على ذلك أن المتمم المتعامد للنواة له بُعدك{\displaystyle k}. يتركv1،...،vك{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}تشكل أساسًا للمكمل المتعامد لنواة الإسقاط، وتجمع هذه المتجهات في المصفوفةب{\displaystyle B}ثم الإسقاطP{\displaystyle P}(مع الشرط)ك≥1{\displaystyle k\geq 1}) معطى بواسطة P=أ(بتيأ)-1بتي.{\displaystyle P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.}

يُعمم هذا التعبير صيغة الإسقاطات المتعامدة المذكورة أعلاه. [ 11 ] [ 12 ] ويُمكن إثبات هذا التعبير بالطريقة التالية. لأي متجهx{\displaystyle \mathbf {x} }في الفضاء المتجهيV{\displaystyle V}يمكننا تحليلx=x1+x2{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}، حيث المتجهx1=P(x){\displaystyle \mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )}هو على صورةP{\displaystyle P}، والمتجهx2=x-P(x).{\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} ).}لذاP(x2)=P(x)-P2(x)=0{\displaystyle P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }، وثمx2{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}موجود في جوهرP{\displaystyle P}، وهو الفضاء الصفري لـأ.{\displaystyle A.}بمعنى آخر، المتجهx1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}يقع في فضاء الأعمدة لـأ،{\displaystyle A,}لذاx1=أw{\displaystyle \mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} }بالنسبة للبعضك{\displaystyle k}متجه الأبعادw{\displaystyle \mathbf {w} }والمتجهx2{\displaystyle \mathbf {x} _{2}}يرضيبتيx2=0{\displaystyle B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }عن طريق بناءب{\displaystyle B}بجمع هذه الشروط معًا، نحصل على متجهw{\displaystyle \mathbf {w} }لهذا السبب. بتي(x-أw)=0{\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }بما أن المصفوفاتأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}هم من ذوي الرتبة الكاملةك{\displaystyle k}من خلال بنائها،ك×ك{\displaystyle k\times k}-مصفوفةبتيأ{\displaystyle B^{\mathsf {T}}A}المعادلة قابلة للعكس. بتي(x-أw)=0{\displaystyle B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0} }يعطي المتجهw=(بتيأ)-1بتيx.{\displaystyle \mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .}وبهذه الطريقة،Px=x1=أw=أ(بتيأ)-1بتيx{\displaystyle P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }لأي متجهx∈V{\displaystyle \mathbf {x} \in V}وبالتاليP=أ(بتيأ)-1بتي{\displaystyle P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}}.

في حالة أنP{\displaystyle P}إذا كان إسقاطًا متعامدًا، فيمكننا أن نأخذأ=ب{\displaystyle A=B}ويترتب على ذلكP=أ(أتيأ)-1أتي{\displaystyle P=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}}باستخدام هذه الصيغة، يمكن للمرء بسهولة التحقق من ذلك.P=Pتي{\displaystyle P=P^{\mathsf {T}}}بشكل عام، إذا كان الفضاء المتجهي فوق حقل الأعداد المركبة، فإنه يستخدم حينها المنقول الهيرميتيأ*{\displaystyle A^{*}}وله الصيغة P=أ(أ*أ)-1أ*{\displaystyle P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}تذكر أنه يمكن التعبير عن معكوس مور-بنروز للمصفوفةأ{\displaystyle A}بواسطةأ+=(أ*أ)-1أ*{\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}منذأ{\displaystyle A}له رتبة عمود كاملة، لذلكP=أأ+{\displaystyle P=AA^{+}}.

القيم المفردة

أنا-P{\displaystyle I-P}وهو أيضًا إسقاط مائل. القيم المفردة لـP{\displaystyle P}وأنا-P{\displaystyle I-P}يمكن حسابها بواسطة أساس متعامد منأ{\displaystyle A}. يترك سؤالأ{\displaystyle Q_{A}}أن تكون أساسًا متعامدًا لـأ{\displaystyle A}ودعسؤالأ⊥{\displaystyle Q_{A}^{\perp }}ليكن المتمم المتعامد لـسؤالأ{\displaystyle Q_{A}}. ... سؤالأتيأ(بتيأ)-1بتيسؤالأ⊥{\displaystyle Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^{T}Q_{A}^{\perp }}بواسطة القيم الموجبةγ1≥γ2≥...≥γك{\displaystyle \gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}}وبذلك، تصبح القيم المفردة لـP{\displaystyle P}هي: [ 13 ]σأنا={1+γأنا21≤أنا≤ك0خلاف ذلك{\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} والقيم المفردة لـأنا-P{\displaystyle I-P}نكون σأنا={1+γأنا21≤أنا≤ك1ك+1≤أنا≤ن-ك0خلاف ذلك{\displaystyle \sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq n-k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} وهذا يعني أن أكبر القيم المفردة لـP{\displaystyle P}وأنا-P{\displaystyle I-P}متساوية، وبالتالي فإن معيار المصفوفة للإسقاطات المائلة متساوٍ. ومع ذلك، فإن رقم الشرط يحقق العلاقة التاليةκ(أنا-P)=σ11≥σ1σك=κ(P){\displaystyle \kappa (I-P)={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)}وبالتالي فهي ليست بالضرورة متساوية.

إيجاد الإسقاط باستخدام الضرب الداخلي

الإسقاط المتعامد لمتجه على فضاء فرعي يمتد بواسطة متجهات متعامدة، معبراً عنه كمجموع مكوناته على طول كل اتجاه.

يتركV{\displaystyle V}ليكن فضاءً متجهيًا (في هذه الحالة مستوى) يمتد بواسطة متجهات متعامدةu1،u2،...،uص{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}}. يتركy{\displaystyle y}ليكن متجهًا. يمكن تعريف إسقاط لـy{\displaystyle \mathbf {y} }علىV{\displaystyle V}مثل مشروعV⁡y=y⋅uأناuأنا⋅uأناuأنا{\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}} حيث يتم جمع المؤشرات المتكررة ( ترميز مجموع أينشتاين ). المتجهy{\displaystyle \mathbf {y} }يمكن كتابة ذلك على شكل مجموع متعامد بحيثy=مشروعV⁡y+z{\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }.مشروعV⁡y{\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }يُشار إليه أحيانًا باسمy^{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}هناك نظرية في الجبر الخطي تنص على أن هذاz{\displaystyle \mathbf {z} }هي أقصر مسافة ( المسافة العمودية ) منy{\displaystyle \mathbf {y} }لV{\displaystyle V}ويستخدم بشكل شائع في مجالات مثل التعلم الآلي .

يتم إسقاط y على الفضاء المتجهي V.

الأشكال الكنسية

أي إسقاطP=P2{\displaystyle P=P^{2}}على فضاء متجهي ذي بُعدد{\displaystyle d}المصفوفة على حقل ما هي مصفوفة قابلة للتقطير ، لأن متعدد الحدود الأدنى الخاص بها يقسمx2-x{\displaystyle x^{2}-x}، والتي تنقسم إلى عوامل خطية متميزة. وبالتالي، يوجد أساس يكون فيهP{\displaystyle P}له الشكل

P=أنار⊕0د-ر{\displaystyle P=I_{r}\oplus 0_{d-r}}

أينر{\displaystyle r}هي رتبة​P{\displaystyle P}. هناأنار{\displaystyle I_{r}}هي مصفوفة الوحدة ذات الحجمر{\displaystyle r}،0د-ر{\displaystyle 0_{d-r}}هي المصفوفة الصفرية ذات الحجمد-ر{\displaystyle d-r}، و⊕{\displaystyle \oplus }هو عامل الجمع المباشر . إذا كان الفضاء المتجهي مركباً ومزوداً بضرب داخلي ، فإنه يوجد أساس متعامد تكون فيه مصفوفة P هي [ 14 ].

P=[1σ100]⊕⋯⊕[1σك00]⊕أنام⊕0s.{\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.}

أينσ1≥σ2≥⋯≥σك>0{\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0}الأعداد الصحيحةك،s،م{\displaystyle k,s,m}والأعداد الحقيقيةσأنا{\displaystyle \sigma _{i}}يتم تحديدها بشكل فريد. 2ك+s+م=د{\displaystyle 2k+s+m=d}العاملأنام⊕0s{\displaystyle I_{m}\oplus 0_{s}}يتوافق مع الفضاء الجزئي الثابت الأقصى الذيP{\displaystyle P}يعمل كإسقاط متعامد (بحيث يكون P نفسه متعامدًا إذا وفقط إذاك=0{\displaystyle k=0}) وσأنا{\displaystyle \sigma _{i}}تتوافق الكتل مع المكونات المائلة .

الإسقاطات على فضاءات المتجهات المعيارية

عندما تكون فضاء المتجهات الأساسيX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متجهيًا معياريًا (ليس بالضرورة محدود الأبعاد) ، فيجب مراعاة المسائل التحليلية، غير ذات الصلة في حالة الأبعاد المحدودة. افترض الآنX{\displaystyle X}هو فضاء باناخ .

تبقى العديد من النتائج الجبرية التي نوقشت أعلاه قائمة حتى في هذا السياق. تحليل المجموع المباشر المعطى لـX{\displaystyle X}لا يزال التحويل إلى فضاءات فرعية مكملة يحدد إسقاطًا، والعكس صحيح. إذاX{\displaystyle X}هو المجموع المباشرX=يو⊕V{\displaystyle X=U\oplus V}ثم المؤثر المحدد بواسطةP(u+v)=u{\displaystyle P(u+v)=u}لا يزال إسقاطًا ذا مدىيو{\displaystyle U}والنواةV{\displaystyle V}ومن الواضح أيضاً أنP2=P{\displaystyle P^{2}=P}. على العكس من ذلك، إذاP{\displaystyle P}هو إسقاط علىX{\displaystyle X}، أيP2=P{\displaystyle P^{2}=P}ثم يسهل التحقق من ذلك(1-P)2=(1-P){\displaystyle (1-P)^{2}=(1-P)}. بعبارة أخرى،1-P{\displaystyle 1-P}وهو أيضاً إسقاط. العلاقةP2=P{\displaystyle P^{2}=P}يشير إلى1=P+(1-P){\displaystyle 1=P+(1-P)}وX{\displaystyle X}هو المجموع المباشرrg⁡(P)⊕rg⁡(1-P){\displaystyle \operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)}.

مع ذلك، وعلى عكس الحالة ذات الأبعاد المحدودة، لا يلزم أن تكون الإسقاطات متصلة بشكل عام. إذا كان الفضاء الجزئييو{\displaystyle U}لX{\displaystyle X}إذا لم تكن مغلقة في طوبولوجيا المعيار، فإن الإسقاط علىيو{\displaystyle U}ليس متصلاً. بعبارة أخرى، مدى الإسقاط المتصلP{\displaystyle P}يجب أن يكون فضاءً جزئياً مغلقاً. علاوة على ذلك، فإن نواة الإسقاط المتصل (في الواقع، المؤثر الخطي المتصل بشكل عام) تكون مغلقة. وبالتالي، فإن الإسقاط المتصلP{\displaystyle P}يعطي تفكيكًا لـX{\displaystyle X}إلى فضاءين فرعيين مغلقين متكاملين :X=rg⁡(P)⊕كير⁡(P)=كير⁡(1-P)⊕كير⁡(P){\displaystyle X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)}.

وينطبق العكس أيضاً، مع افتراض إضافي. لنفترضيو{\displaystyle U}هو فضاء جزئي مغلق منX{\displaystyle X}إذا وُجد فضاء جزئي مغلقV{\displaystyle V}بحيث يكون X = U ⊕ V ، فإن الإسقاطP{\displaystyle P}مع نطاقيو{\displaystyle U}والنواةV{\displaystyle V}الدالة متصلة. هذا ما ينتج عن نظرية الرسم البياني المغلق . لنفترض أن xⁿ → x و Pxⁿ → y . يجب إثبات أنPx=y{\displaystyle Px=y}. منذيو{\displaystyle U}المجموعة مغلقة، و { Px n } ⊂ U ، و y تقع فيها.يو{\displaystyle U}أي أن Py = y . كذلك ، xⁿ - Pxⁿ = ( I - P ) xⁿ → x - y . لأنV{\displaystyle V}إذا كانت المجموعة مغلقة و {( I − P ) x n } ⊂ V ، فلديناx-y∈V{\displaystyle x-y\in V}، أيP(x-y)=Px-Py=Px-y=0{\displaystyle P(x-y)=Px-Py=Px-y=0}وهذا يثبت صحة الادعاء.

تستند الحجة السابقة إلى افتراض أن كلايو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}مغلقة. بشكل عام، بالنظر إلى فضاء جزئي مغلقيو{\displaystyle U}ليس بالضرورة أن توجد فضاءات فرعية مغلقة مكملةV{\displaystyle V}مع ذلك، بالنسبة لفضاءات هيلبرت، يمكن دائمًا القيام بذلك بأخذ المتمم المتعامد . أما بالنسبة لفضاءات باناخ، فإن أي فضاء جزئي أحادي البعد له دائمًا فضاء جزئي مكمل مغلق. هذه نتيجة مباشرة لنظرية هان-باناخ . ليكنيو{\displaystyle U}ليكن الامتداد الخطي لـu{\displaystyle u}بحسب هان-باناخ، توجد دالة خطية محدودةφ{\displaystyle \varphi }بحيث يكون φ ( u ) = 1. المؤثرP(x)=φ(x)u{\displaystyle P(x)=\varphi (x)u}يرضيP2=P{\displaystyle P^{2}=P}أي أنها إسقاط. محدوديةφ{\displaystyle \varphi }يشير إلى استمراريةP{\displaystyle P}وبالتاليكير⁡(P)=rg⁡(أنا-P){\displaystyle \ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)}هو فضاء فرعي مغلق مكمل منيو{\displaystyle U}.

التطبيقات والاعتبارات الإضافية

تلعب الإسقاطات (المتعامدة وغير المتعامدة) دورًا رئيسيًا في خوارزميات بعض مسائل الجبر الخطي:

كما ذُكر سابقًا، تُعدّ الإسقاطات حالة خاصة من الدوال المتساوية القوة. تحليليًا، تُعتبر الإسقاطات المتعامدة تعميمات غير تبادلية للدوال المميزة . تُستخدم الدوال المتساوية القوة في تصنيف، على سبيل المثال، الجبر شبه البسيط ، بينما تبدأ نظرية القياس بدراسة الدوال المميزة للمجموعات القابلة للقياس . لذلك، وكما هو متوقع، تُصادف الإسقاطات بكثرة في سياق جبر المؤثرات . على وجه الخصوص، يتولد جبر فون نيومان من خلال شبكته الكاملة من الإسقاطات.

التعميمات

وبشكل أعم، بالنظر إلى خريطة بين فضاءات متجهة معياريةتي:V→دبليو،{\displaystyle T\colon V\to W,}وبالمثل، يمكن للمرء أن يطلب أن تكون هذه الخريطة متساوية القياس على المتمم المتعامد للنواة: ذلك(كير⁡تي)⊥→دبليو{\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W}أن يكون تماثلًا (قارن بالتماثل الجزئي )؛ وعلى وجه الخصوص، يجب أن يكون شاملًا . حالة الإسقاط المتعامد هي عندما يكون W فضاءً جزئيًا من V. في الهندسة الريمانية ، يُستخدم هذا في تعريف الغمر الريماني .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ماير، الصفحات 386+387
  2. 1 2 هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفات، الطبعة الثانية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521839402.
  3. ↑ ماير، ص 433
  4. ↑ ماير، ص 431
  5. ↑ ماير، المعادلة (5.13.4)
  6. ↑ بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN  978-1420095388
  7. ↑ ماير، المعادلة (5.13.3)
  8. ↑ انظر أيضًا المربعات الصغرى الخطية (الرياضيات) § خصائص مقدرات المربعات الصغرى .
  9. ↑ بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN  978-1420095388
  10. ↑ بانيرجي، سوديبتو (2004)، "إعادة النظر في حساب المثلثات الكروية باستخدام المساقط المتعامدة"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 35 (5): 375-381 ، doi : 10.1080/07468342.2004.11922099 ، S2CID 122277398 
  11. ↑ بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN  978-1420095388
  12. ↑ ماير، المعادلة (7.10.39)
  13. ↑ بروست، جيه جيه؛ مارسيا، آر إف؛ بيترا، سي جي (2020)، "تحليلات فعالة حسابيًا لمصفوفات الإسقاط المائل"، مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها ، 41 (2): 852-870 ، doi : 10.1137/19M1288115 ، OSTI 1680061 ، S2CID 219921214  
  14. ^ دوكوفيتش، د. ز. (أغسطس 1991). “التشابه الوحدوي لأجهزة العرض”. المعادلات الرياضية . 42 (1): 220-224 . دوى : 10.1007 / BF01818492 . S2CID 122704926 . 

مراجع

  • بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية (  الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1420095388
  • دانفورد، ن.؛ شوارتز، ج. ت. (1958). المؤثرات الخطية، الجزء الأول: النظرية العامة . إنترساينس.
  • ماير، كارل د. (2000). تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-0-89871-454-8.
  • بريزينسكي، كلود: طرق الإسقاط لأنظمة المعادلات ، نورث هولاند، ISBN 0-444-82777-3 (1997).