نظرية الطيف

نبدأ بدراسة مصفوفة هيرميتية على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$(لكن المناقشة التالية ستكون قابلة للتكيف مع الحالة الأكثر تقييدًا للمصفوفات المتناظرة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$نعتبر تطبيقًا هيرميتيًا A على فضاء جداء داخلي عقدي محدود الأبعاد V مزودًا بجداء داخلي خطي موجب محدد${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$الشرط الهرميتي على${\displaystyle A}$يعني ذلك أنه بالنسبة لجميع x و y ∈ V ، $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle .}$$

الشرط المكافئ هو أن A ^* = A ، حيث A ^* هو المرافق الهيرميتي للمصفوفة A. في حالة كون A مصفوفة هيرميتية، فإن مصفوفة A ^* تساوي منقولها المرافق . (إذا كانت A مصفوفة حقيقية ، فإن هذا يكافئ A ^_T = A ، أي أن A مصفوفة متناظرة ).

يشترط هذا الشرط أن تكون جميع القيم الذاتية للدالة الهرميتية حقيقية. ولإثبات ذلك، يكفي تطبيقه على الحالة التي يكون فيها x = y متجهًا ذاتيًا. (تذكر أن المتجه الذاتي للدالة الخطية A هو متجه غير صفري v بحيث يكون Av = λv لعدد قياسي λ . القيمة λ هي القيمة الذاتية المناظرة . علاوة على ذلك، فإن القيم الذاتية هي جذور متعددة الحدود المميزة ).

نقدم مخططًا لإثبات الحالة التي يكون فيها الحقل الأساسي للكميات القياسية هو الأعداد المركبة .

بحسب النظرية الأساسية للجبر ، المطبقة على متعددة الحدود المميزة لـ A ، يوجد على الأقل قيمة ذاتية عقدية واحدة λ ₁ ومتجه ذاتي مقابل v ₁ ، والذي يجب أن يكون، بحكم التعريف، غير صفري. ثم بما أن $${\displaystyle \lambda _{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle =\langle A(v_{1}),v_{1}\rangle =\langle v_{1},A(v_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle v_{1},v_{1}\rangle ,}$$ نجد أن λ ₁ عدد حقيقي. الآن، لننظر إلى الفضاء${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}={\text{span}}(v_{1})^{\perp }}$، المتمم المتعامد لـ v _1. بحسب خاصية الهرميتية،${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$هي فضاء جزئي ثابت من A. ولإثبات ذلك، انظر إلى أي${\displaystyle k\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$لهذا السبب.${\displaystyle \langle k,v_{1}\rangle =0}$بحسب تعريف${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$لتحقيق الثبات، نحتاج إلى التحقق مما إذا${\displaystyle A(k)\in {\mathcal {K}}^{n-1}}$وهذا صحيح لأن${\displaystyle \langle A(k),v_{1}\rangle =\langle k,A(v_{1})\rangle =\langle k,\lambda _{1}v_{1}\rangle =0}$بتطبيق الحجة نفسها على${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-1}}$يُظهر ذلك أن A لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل${\displaystyle \lambda _{2}}$والمتجه الذاتي المقابل${\displaystyle v_{2}\in {\mathcal {K}}^{n-1}\perp v_{1}}$يمكن استخدام هذا لبناء فضاء فرعي ثابت آخر${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n-2}={\text{span}}(\{v_{1},v_{2}\})^{\perp }}$ثم ينهي الاستقراء المحدود البرهان.

التمثيل المصفوفي للمصفوفة A في أساس المتجهات الذاتية قطري، ومن خلال البناء، يُعطي البرهان أساسًا من المتجهات الذاتية المتعامدة فيما بينها؛ وباختيارها كمتجهات وحدة، نحصل على أساس متعامد معياري من المتجهات الذاتية. يمكن كتابة A كتركيبة خطية من إسقاطات متعامدة ثنائية، تُسمى تحليلها الطيفي . $${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:Av=\lambda v\}}$$ ليكن الفضاء الذاتي المقابل لقيمة ذاتية${\displaystyle \lambda }$لاحظ أن التعريف لا يعتمد على أي اختيار لمتجهات ذاتية محددة. بشكل عام، V هو المجموع المباشر المتعامد للفضاءات${\displaystyle V_{\lambda }}$حيث${\displaystyle \lambda }$يتراوح على نطاق واسع من${\displaystyle A}$.

عندما تكون المصفوفة التي يتم تحليلها هيرميتية، فإن التحليل الطيفي هو حالة خاصة من تحليل شور (انظر البرهان في حالة المصفوفات العادية أدناه).

يُعد التحليل الطيفي حالة خاصة من تحليل القيم المفردة ، والذي ينص على أن أي مصفوفة ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$، أين${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$و${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$هي مصفوفات وحدوية و${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$هي مصفوفة قطرية ذات عناصر غير سالبة. العناصر القطرية لـ${\displaystyle \Sigma }$يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle A}$وتُعرف باسم القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$. لو${\displaystyle A}$إذا كان هيرميتيًا، فإن${\displaystyle A^{*}=A}$و${\displaystyle V\Sigma U^{*}=U\Sigma V^{*}}$وهذا يعني${\displaystyle U=V}$.

تمتد نظرية الطيف إلى فئة أعم من المصفوفات. ليكن A مؤثرًا على فضاء جداء داخلي محدود الأبعاد. يُقال إن A طبيعي إذا كان A ^* A = AA ^* .

يمكن إثبات أن المصفوفة A طبيعية إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير الوحدوي باستخدام تحليل شور . أي، يمكن كتابة أي مصفوفة على الصورة A = UTU ^* ، حيث U مصفوفة وحدوية و T مصفوفة مثلثية علوية . إذا كانت A طبيعية، فإن TT ^* = T ^* T . بالتالي، يجب أن تكون T قطرية لأن المصفوفة المثلثية العلوية الطبيعية قطرية (انظر المصفوفة الطبيعية ). والعكس بديهي.

بمعنى آخر، تكون المصفوفة A طبيعية إذا وفقط إذا وُجدت مصفوفة وحدوية U بحيث $${\displaystyle A=UDU^{*},}$$ حيث D مصفوفة قطرية . عندئذٍ، تكون عناصر قطر D هي القيم الذاتية للمصفوفة A. أما متجهات أعمدة U فهي المتجهات الذاتية للمصفوفة A ، وهي متعامدة. وخلافًا للحالة الهرميتية، لا يشترط أن تكون عناصر D حقيقية.

التعميم التالي الذي سنناقشه هو تعميم المؤثرات الذاتية المرافقة المحدودة على فضاء هيلبرت. قد لا تمتلك هذه المؤثرات متجهات ذاتية: على سبيل المثال، ليكن A مؤثر الضرب في t على${\displaystyle L^{2}([0,1])}$أي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle [Af](t)=tf(t).}$$

لا يمتلك هذا المؤثر أي متجهات ذاتية في${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ومع ذلك، فإن طيفه، إذا تم تحديده بشكل مناسب، لا يزال مساوياً لـ${\displaystyle [0,1]}$انظر إلى طيف المؤثر المحدود . وله أيضًا متجهات ذاتية في فضاء أكبر، وتحديدًا في التوزيع .${\displaystyle f(t)=\delta (t-t_{0})}$، أين${\displaystyle \delta }$دالة دلتا ديراك هي متجه ذاتي عند تفسيرها بالمعنى المناسب. مع ذلك، فإن دالة دلتا ديراك ليست دالة بالمعنى الكلاسيكي ولا تقع في فضاء هيلبرت ^L² [ 0, 1] . لذا، فإن دوال دلتا هي "متجهات ذاتية معممة" لـ${\displaystyle A}$لكن ليس المتجهات الذاتية بالمعنى المعتاد.

في حالة عدم وجود متجهات ذاتية (حقيقية)، يمكن البحث عن "فضاء طيفي" يتكون من متجه ذاتي شبه كامل ، أي فضاء فرعي مغلق.${\displaystyle V_{E}}$ل${\displaystyle V}$مرتبط بمجموعة بوريل${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$في نطاق​${\displaystyle A}$يمكن اعتبار هذا الفضاء الجزئي بمثابة الامتداد المغلق للمتجهات الذاتية المعممة لـ${\displaystyle A}$مع القيم الذاتية في${\displaystyle E}$[ ^{4 ] في} المثال أعلاه، حيث${\displaystyle [Af](t)=tf(t),\;}$يمكننا أن ننظر في الفضاء الجزئي للدوال المدعومة على فترة صغيرة${\displaystyle [a,a+\varepsilon ]}$داخل${\displaystyle [0,1]}$هذا الفضاء ثابت تحت${\displaystyle A}$ولأي${\displaystyle f}$في هذا الفضاء الفرعي،${\displaystyle Af}$قريب جدًا من${\displaystyle af}$يتم ترميز كل فضاء فرعي بدوره بواسطة عامل الإسقاط المرتبط به، ثم يتم تمثيل مجموعة جميع الفضاءات الفرعية بواسطة مقياس ذي قيمة إسقاطية .

إحدى صيغ نظرية الطيف تعبر عن المؤثر A كتكامل لدالة الإحداثيات على طيف المؤثر${\displaystyle \sigma (A)}$فيما يتعلق بمقياس ذي قيمة إسقاطية. ^{[ 5 ]}$${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi (\lambda ).}$$عندما يكون المؤثر الذاتي المرافق المعني مضغوطًا ، فإن هذا الإصدار من النظرية الطيفية يختزل إلى شيء مشابه للنظرية الطيفية ذات الأبعاد المحدودة أعلاه، باستثناء أن المؤثر يتم التعبير عنه كمجموعة خطية محدودة أو قابلة للعد من الإسقاطات، أي أن المقياس يتكون فقط من الذرات.

تنص صياغة بديلة لنظرية الطيف على أن كل عامل ذاتي الترافق محدود مكافئ بشكل وحدوي لعامل الضرب، وهو نوع بسيط نسبيًا من العوامل.

تُعدّ عوامل الضرب تعميمًا مباشرًا للمصفوفات القطرية. فضاء متجهي هيرميتي ذو أبعاد محدودة${\displaystyle V}$يمكن تنسيقها كمساحة للوظائف${\displaystyle f:B\to \mathbb {C} }$من أساس${\displaystyle B}$إلى الأعداد المركبة، بحيث${\displaystyle B}$إحداثيات متجه هي قيم الدالة المقابلة${\displaystyle f}$نظرية الطيف ذات الأبعاد المحدودة لمؤثر ذاتي الترافق${\displaystyle A:V\to V}$تنص على وجود أساس متعامد من المتجهات الذاتية${\displaystyle B}$بحيث يصبح الضرب الداخلي هو الضرب القياسي بالنسبة إلى${\displaystyle B}$-الإحداثيات: بالتالي${\displaystyle V}$متماثل مع${\displaystyle L^{2}(B,\mu )}$بالنسبة لوحدة القياس المنفصلة${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle B}$. أيضًا${\displaystyle A}$يكافئ بشكل وحدوي عامل الضرب${\displaystyle [Tf](v)=\lambda (v)f(v)}$، أين${\displaystyle \lambda (v)}$هي القيمة الذاتية لـ${\displaystyle v\in B}$: إنه،${\displaystyle A}$يضاعف كل${\displaystyle B}$الإحداثي - بواسطة القيمة الذاتية المقابلة${\displaystyle \lambda (v)}$، تأثير المصفوفة القطرية. وأخيرًا، معيار المؤثر${\displaystyle |A|=|T|}$يساوي مقدار أكبر قيمة ذاتية${\displaystyle |\lambda |_{\infty }}$.

تُعد النظرية الطيفية بداية مجال البحث الواسع للتحليل الوظيفي المسمى نظرية المؤثرات ؛ انظر أيضًا المقياس الطيفي .

توجد أيضًا نظرية طيفية مماثلة للمؤثرات الطبيعية المحدودة على فضاءات هيلبرت. والفرق الوحيد في النتيجة هو أنه الآن${\displaystyle \lambda }$قد تكون ذات قيم مركبة.

توجد أيضًا صياغة لنظرية الطيف بدلالة التكاملات المباشرة . وهي مشابهة لصياغة عامل الضرب، ولكنها أكثر معيارية.

يترك${\displaystyle A}$ليكن مؤثرًا ذاتيًا محدودًا وليكن${\displaystyle \sigma (A)}$كن طيف${\displaystyle A}$تربط الصيغة التكاملية المباشرة لنظرية الطيف كميتين بـ${\displaystyle A}$أولاً، إجراء قياس${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle \sigma (A)}$وثانياً، عائلة من فضاءات هيلبرت${\displaystyle \{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).}$ثم نقوم بتشكيل فضاء هيلبرت التكاملي المباشر $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$ عناصر هذه المساحة هي وظائف (أو "أقسام").${\displaystyle s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),}$بحيث${\displaystyle s(\lambda )\in H_{\lambda }}$للجميع${\displaystyle \lambda }$يمكن التعبير عن النسخة التكاملية المباشرة لنظرية الطيف على النحو التالي: ^{[ 7 ]}

المساحات${\displaystyle H_{\lambda }}$يمكن اعتبارها شيئًا مثل "الفضاءات الذاتية" لـ${\displaystyle A}$لاحظ، مع ذلك، أنه ما لم تكن المجموعة ذات العنصر الواحد${\displaystyle \lambda }$له مقياس إيجابي، الفضاء${\displaystyle H_{\lambda }}$لا تُعتبر في الواقع فضاءً جزئياً من التكامل المباشر. وبالتالي، فإن${\displaystyle H_{\lambda }}$ينبغي اعتبار 's بمثابة "فضاء ذاتي معمّم" - أي عناصر${\displaystyle H_{\lambda }}$هي "متجهات ذاتية" لا تنتمي فعلياً إلى فضاء هيلبرت.

على الرغم من أن صيغتي نظرية الطيف، سواءً باستخدام عامل الضرب أو التكامل المباشر، تعبران عن عامل ذاتي مرافق على أنه مكافئ وحدويًا لعامل الضرب، إلا أن منهج التكامل المباشر هو الأكثر معيارية. أولًا، المجموعة التي يُجرى عليها التكامل المباشر (طيف العامل) معيارية. ثانيًا، الدالة التي نضرب بها معيارية في منهج التكامل المباشر: ببساطة الدالة${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda }$.

متجه${\displaystyle \varphi }$يُطلق عليه اسم متجه دوري لـ${\displaystyle A}$إذا كانت المتجهات${\displaystyle \varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots }$لنفترض أن لدينا فضاءً فرعياً كثيفاً من فضاء هيلبرت.${\displaystyle A}$هو مؤثر ذاتي الترافق محدود يوجد له متجه دوري. في هذه الحالة، لا يوجد فرق بين صيغتي التكامل المباشر ومعامل الضرب لنظرية الطيف. في الواقع، في هذه الحالة، يوجد مقياس${\displaystyle \mu }$على الطيف${\displaystyle \sigma (A)}$ل${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle A}$يكافئ بشكل أحادي "الضرب في${\displaystyle \lambda }$"المشغل على${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$[ ^{8 ] تمثل} هذه النتيجة${\displaystyle A}$في آن واحد كعامل ضرب وكتكامل مباشر، لأن${\displaystyle L^{2}(\sigma (A),\mu )}$هو مجرد تكامل مباشر حيث كل فضاء هيلبرت${\displaystyle H_{\lambda }}$هو مجرد${\displaystyle \mathbb {C} }$.

لا يقبل كل مؤثر ذاتي الترافق محدود متجهًا دوريًا؛ في الواقع، نظرًا لفرادة التحليل التكاملي المباشر، لا يمكن أن يحدث هذا إلا عندما تكون جميع${\displaystyle H_{\lambda }}$للعناصر بُعد واحد. عندما يحدث هذا، نقول إن${\displaystyle A}$له "طيف بسيط" بمعنى نظرية التعدد الطيفي . أي أن المؤثر الذاتي المرافق المحدود الذي يقبل متجهًا دوريًا يجب اعتباره تعميمًا لا نهائي الأبعاد لمصفوفة ذاتية مرافقة ذات قيم ذاتية مميزة (أي أن كل قيمة ذاتية لها تعددية واحد).

مع أن ذلك لا ينطبق على الجميع${\displaystyle A}$بما أن الفضاء يقبل متجهًا دوريًا، فمن السهل أن نرى أنه يمكننا تحليل فضاء هيلبرت كمجموع مباشر للفضاءات الجزئية الثابتة التي${\displaystyle A}$يحتوي على متجه دوري. هذه الملاحظة هي المفتاح لإثباتات صيغتي عامل الضرب والتكامل المباشر لنظرية الطيف.

أحد التطبيقات المهمة لنظرية الطيف (بأي شكل من الأشكال) هو فكرة تعريف حساب التفاضل والتكامل الوظيفي . أي، بالنظر إلى دالة${\displaystyle f}$محدد على طيف${\displaystyle A}$نرغب في تعريف عامل تشغيل${\displaystyle f(A)}$. لو${\displaystyle f}$إنها ببساطة قوة إيجابية،${\displaystyle f(x)=x^{n}}$، ثم${\displaystyle f(A)}$هو مجرد${\displaystyle n}$القوة -th من${\displaystyle A}$،${\displaystyle A^{n}}$الحالات المثيرة للاهتمام هي تلك التي${\displaystyle f}$هي دالة غير متعددة الحدود مثل الجذر التربيعي أو الدالة الأسية. يوفر أي من صيغ نظرية الطيف حسابًا وظيفيًا كهذا. ^{[ 9 ]} في صيغة التكامل المباشر، على سبيل المثال،${\displaystyle f(A)}$يعمل كـ "عملية الضرب بواسطة${\displaystyle f}$" عامل في التكامل المباشر: $${\displaystyle [f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda ).}$$ أي بمعنى آخر، كل مساحة${\displaystyle H_{\lambda }}$في التكامل المباشر، يوجد فضاء ذاتي (معمم) لـ${\displaystyle f(A)}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle f(\lambda )}$.