مساحة ثوم

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، فضاء ثوم، أو مركب ثوم، أو بناء بونترياجين-ثوم (المسمى على اسم رينيه ثوم وليف بونترياجين ) للطوبولوجيا الجبرية والطوبولوجيا التفاضلية هو فضاء طوبولوجي مرتبط بحزمة متجهة ، فوق أي فضاء شبه مضغوط .

إنشاء مساحة ثوم

إحدى طرق إنشاء هذا الفضاء هي كما يلي. ليكن

ص:هـ→ب{\displaystyle p\colon E\to B}

لتكن حزمة متجهات حقيقية من الرتبة n فوق الفضاء شبه المتراص B. عندئذٍ، لكل نقطة b في B ، تكون الأليافهـب{\displaystyle E_{b}}هو فضاء متجهي حقيقي ذو بُعد n . يمكننا تكوين حزمة كروية ذات بُعد nSph⁡(هـ)→ب{\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}وذلك بأخذ ضغط نقطة واحدة لكل ليف ولصقها معًا للحصول على المساحة الكلية. وأخيرًا، من المساحة الكليةSph⁡(هـ){\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}نحصل على فضاء ثومتي(هـ){\displaystyle T(E)}كحاصل قسمةSph⁡(هـ){\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}بواسطة B ؛ أي عن طريق تحديد جميع النقاط الجديدة إلى نقطة واحدة∞{\displaystyle \infty }، والتي نعتبرها نقطة الأساس لـتي(هـ){\displaystyle T(E)}إذا كانت المجموعة B متراصة، فإنتي(هـ){\displaystyle T(E)}هو التكثيف أحادي النقطة لـ E.

على سبيل المثال، إذا كانت E هي الحزمة التافهةب×Rن{\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}، ثم Sph⁡(هـ){\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}يكونب×Sن{\displaystyle B\times S^{n}}والكتابةب+{\displaystyle B_{+}}بالنسبة لـ B ذات نقطة أساس منفصلة،تي(هـ){\displaystyle T(E)}هو المنتج الناجح لـب+{\displaystyle B_{+}}وSن{\displaystyle S^{n}}أي، التعليق المخفّض رقم n منب+{\displaystyle B_{+}}.

أو بدلاً من ذلك، بما أن B شبه متراصة، يمكن إعطاء E مقياسًا إقليديًا، ثمتي(هـ){\displaystyle T(E)}يمكن تعريفها بأنها ناتج قسمة حزمة القرص الواحد لـ E على الوحدة(ن-1){\displaystyle (n-1)}حزمة كروية من E.

تماثل ثوم

تكمن أهمية هذا البناء في النتيجة التالية، التي تنتمي إلى موضوع علم التماثل لحزم الألياف . (لقد ذكرنا النتيجة بدلالةZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}معاملات لتجنب التعقيدات الناجمة عن قابلية التوجيه ؛ انظر أيضًا توجيه حزمة متجهة# فضاء ثوم .

يتركص:هـ→ب{\displaystyle p:E\to B}لتكن حزمة متجهات حقيقية من الرتبة n . عندئذٍ يوجد تماثل يسمى تماثل ثوم.

Φ:حك(ب؛Z2)→ح~ك+ن(تي(هـ)؛Z2)،{\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}

لجميع قيم k الأكبر من أو تساوي 0، حيث يكون الجانب الأيمن هو علم التماثل المختزل .

تمت صياغة هذه النظرية وإثباتها بواسطة رينيه توم في أطروحته الشهيرة عام 1952.

يمكننا تفسير النظرية على أنها تعميم شامل لتماثل التعليق على التفاهات المحلية، لأن فضاء ثوم لحزمة تافهة على B من الرتبة k متماثل مع التعليق k لـب+{\displaystyle B_{+}}، ب مع إضافة نقطة منفصلة (انظر #بناء فضاء ثوم ). يمكن رؤية ذلك بسهولة أكبر في صياغة النظرية التي لا تشير إلى فضاء ثوم:

تماثل ثوم — ليكنΛ{\displaystyle \Lambda }كن خاتمًا وص:هـ→ب{\displaystyle p:E\to B}لتكن حزمة متجهات حقيقية موجهة من الرتبة n . عندئذٍ توجد فئة

u∈حن(هـ،هـ∖ب؛Λ)،{\displaystyle u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda ),}

حيث يتم تضمين B في E كقسم صفري، بحيث يكون تقييد u لأي ليف F

u|(F،F∖0)∈حن(F،F∖0؛Λ){\displaystyle u|_{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )}

هي الفئة الناتجة عن اتجاه F. علاوة على ذلك،

{حك(هـ؛Λ)→حك+ن(هـ،هـ∖ب؛Λ)x⟼x⌣u{\displaystyle {\begin{cases}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end{cases}}}

هو تماثل.

باختصار، يقول الجزء الأخير من النظرية أن u يولد بحريةح*(هـ،هـ∖ب؛Λ){\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}كحقح*(هـ؛Λ){\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}-وحدة. تُسمى الفئة u عادةً فئة ثوم من E. نظرًا لعملية السحب العكسيص*:ح*(ب؛Λ)→ح*(هـ؛Λ){\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}هو تماثل حلقي ،Φ{\displaystyle \Phi }ويتم تحديده بالمعادلة التالية:

Φ(ب)=ص*(ب)⌣u.{\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}

على وجه الخصوص، يُرسل تماثل ثوم عنصر الهوية لـح*(ب){\displaystyle H^{*}(B)}إلى u . ملاحظة: لكي تكون هذه الصيغة منطقية، يُعامل u كعنصر من (نحذف الحلقة).Λ{\displaystyle \Lambda })

ح~ن(تي(هـ))=حن(Sph⁡(هـ)،ب)≃حن(هـ،هـ∖ب).{\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}[ 1 ]

المرجع القياسي لتماثل ثوم هو كتاب بوت وتو.

أهمية عمل توم

في بحثه المنشور عام ١٩٥٢، بيّن ثوم أن فئة ثوم، وفئات ستيفل-ويتني ، وعمليات ستينرود ، جميعها مترابطة. واستخدم هذه الأفكار ليُثبت في بحثه المنشور عام ١٩٥٤ بعنوان " بعض الخصائص العامة للمتشعبات التفاضلية" أن مجموعات التماثل يمكن حسابها كمجموعات تماثل لبعض فضاءات ثوم MG ( n ). يعتمد هذا البرهان على خصائص التعامد للمتشعبات الملساء ويرتبط بها ارتباطًا وثيقًا - انظر نظرية تعامد ثوم . ومن خلال عكس هذا البناء، تمكن جون ميلنور وسيرجي نوفيكوف (وغيرهما الكثير) من الإجابة على أسئلة حول وجود وتفرد المتشعبات عالية الأبعاد: يُعرف هذا الآن بنظرية الجراحة . إضافةً إلى ذلك، تتلاءم الفضاءات MG(n) معًا لتشكيل أطياف MG، المعروفة الآن بأطياف ثوم ، وتكون مجموعات التماثل مستقرة بالفعل . وبالتالي فإن بناء ثوم يوحد أيضًا الطوبولوجيا التفاضلية ونظرية التماثل المستقر، وهو جزء لا يتجزأ من معرفتنا بمجموعات التماثل المستقر للكرات .

إذا كانت عمليات ستينرود متاحة، فيمكننا استخدامها مع تماثل النظرية لإنشاء فئات ستيفل-ويتني. تذكر أن عمليات ستينرود (mod 2) هي تحويلات طبيعية.

Sqأنا:حم(-؛Z2)→حم+أنا(-؛Z2)،{\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}

معرفة لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة m . إذاأنا=م{\displaystyle i=m}، ثمSqأنا{\displaystyle Sq^{i}}يتطابق مع مربع الكأس. يمكننا تعريف فئة ستيفل-ويتني رقم iwأنا(ص){\displaystyle w_{i}(p)}حزمة المتجهاتص:هـ→ب{\displaystyle p:E\to B}بواسطة:

wأنا(ص)=Φ-1(Sqأنا(Φ(1)))=Φ-1(Sqأنا(u)).{\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}

النتائج المترتبة على المشعبات القابلة للتفاضل

إذا اعتبرنا الحزمة المذكورة أعلاه هي حزمة المماس لمتشعب أملس، فإن النتيجة تُسمى صيغة وو ، ولها النتيجة القوية التالية: بما أن عمليات ستينرود ثابتة تحت تكافؤ التماثل، نستنتج أن فئات ستيفل-ويتني للمتشعب ثابتة أيضًا. هذه نتيجة استثنائية لا يمكن تعميمها على فئات مميزة أخرى. توجد نتيجة مماثلة شهيرة وصعبة تُثبت الثبات الطوبولوجي لفئات بونترياجين العقلانية ، وهي منسوبة إلى سيرجي نوفيكوف .

طيف ثوم

التعايش الحقيقي

هناك طريقتان للتفكير في الملل: الأولى هي اعتبار اثنينن{\displaystyle n}- مشعباتم،م′{\displaystyle M,M'}تكون متطابقة إذا كان هناك(ن+1){\displaystyle (n+1)}متعدد الشعب ذو حدوددبليو{\displaystyle W}بحيث

∂دبليو=م∐م′{\displaystyle \partial W=M\coprod M'}

تتمثل إحدى التقنيات الأخرى لترميز هذا النوع من المعلومات في أخذ تضمينم↪Rشمال+ن{\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}وبالنظر إلى الحزمة العادية

ν:شمالRشمال+ن/م→م{\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}

إن التشعب المضمن، بالإضافة إلى فئة التشاكل للحزمة العادية، يحمل في الواقع نفس المعلومات التي تحملها فئة التماثل المشترك.[م]{\displaystyle [M]}ويمكن إثبات ذلك [ 2 ] باستخدام التماثل المشتركدبليو{\displaystyle W}وإيجاد تضمين لبعضRشمالدبليو+ن×[0،1]{\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}مما يعطي فئة تماثلية من الخرائط إلى فضاء ثومميا(ن){\displaystyle MO(n)}مُعرّف أدناه. يُظهر تماثل

πنميا≅Ωنيا{\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}

يتطلب الأمر مزيداً من العمل. [ 3 ]

تعريف طيف ثوم

بحسب التعريف، فإن طيف ثوم [ 4 ] هو سلسلة من فضاءات ثوم

ميا(ن)=تي(γن){\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}

حيث كتبناγن→بيا(ن){\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}بالنسبة لحزمة المتجهات الشاملة من الرتبة n ، تشكل المتتالية طيفًا . [ 5 ] تنص نظرية ثوم على أنπ*(ميا){\displaystyle \pi _{*}(MO)}هي حلقة التماثل غير الموجهة ؛ [ 6 ] يعتمد برهان هذه النظرية بشكل أساسي على نظرية توم للتعامد . [ 7 ] يتطلب غياب التعامد إيجاد طرق بديلة لحساب حلقات التماثل، على سبيل المثال، للمشعبات الطوبولوجية من أطياف توم.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ برهان التشاكل. يمكننا تضمين B فيSph⁡(هـ){\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}إما كمقطع صفري؛ أي مقطع عند متجه الصفر، أو كمقطع لانهائي؛ أي مقطع عند متجه اللانهاية (من الناحية الطوبولوجية، الفرق غير مهم). باستخدام طريقتين للتضمين، نحصل على الثلاثية:
    (Sph⁡(هـ)،Sph⁡(هـ)∖ب،ب){\displaystyle (\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)}.
    بوضوح،Sph⁡(هـ)∖ب{\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\setminus B}يتراجع التشوه إلى B. وبأخذ التسلسل الدقيق الطويل لهذه الثلاثية، نرى بعد ذلك:
    حن(Sصح(هـ)،ب)≃حن(Sph⁡(هـ)،Sph⁡(هـ)∖ب)،{\displaystyle H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),}
    الأخير منها متماثل مع:
    حن(هـ،هـ∖ب){\displaystyle H^{n}(E,E\setminus B)}
    عن طريق الاستئصال.
  2. ↑ "نظرية ثوم" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 17 يناير 2021.
  3. ↑ "التداخلية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 17 يناير 2021.
  4. ^ انظر الصفحات 8-9 في Greenlees، JPC (2006-09-15). “أطياف الجبر التبادلي”. أرخايف : الرياضيات/0609452 .
  5. ↑ فرانسيس، ج. "الرياضيات 465، المحاضرة 2: التماثل" (ملف PDF) . ملاحظات بقلم أو. غويليام. جامعة نورث وسترن.
  6. ↑ ستونغ 1968 ، ص 18
  7. ↑ فرانسيس، ج. "الرياضيات 465، المحاضرة 4: التقاطع" (ملف PDF) . ملاحظات بقلم إ. بوبوفكا. جامعة نورث وسترن.

مراجع