الزمن المتقطع والزمن المستمر

في الديناميكا الرياضية، يعتبر الزمن المتقطع والزمن المستمر إطارين بديلين يتم من خلالهما نمذجة المتغيرات التي تتطور بمرور الوقت.

ينظر مفهوم الزمن المتقطع إلى قيم المتغيرات على أنها تحدث في "نقاط زمنية" منفصلة ومتميزة، أو بعبارة أخرى، على أنها ثابتة خلال كل فترة زمنية غير صفرية ("فترة زمنية"). أي أن الزمن يُنظر إليه كمتغير متقطع . وبالتالي، فإن المتغير غير الزمني يقفز من قيمة إلى أخرى مع انتقال الزمن من فترة زمنية إلى أخرى. يتوافق هذا التصور للزمن مع ساعة رقمية تُظهر قراءة ثابتة 10:37 لفترة، ثم تقفز إلى قراءة ثابتة جديدة 10:38، وهكذا. في هذا الإطار، يُقاس كل متغير محل الاهتمام مرة واحدة في كل فترة زمنية. عدد القياسات بين أي فترتين زمنيتين محدود. تُجرى القياسات عادةً عند قيم عددية صحيحة متسلسلة للمتغير "الزمن".

الإشارة المنفصلة أو إشارة الزمن المنفصل هي سلسلة زمنية تتكون من تسلسل من الكميات.

على عكس الإشارة الزمنية المستمرة، فإن الإشارة الزمنية المتقطعة ليست دالة لمتغير مستمر؛ ومع ذلك، يمكن الحصول عليها عن طريق أخذ عينات من إشارة زمنية مستمرة. عندما يتم الحصول على إشارة زمنية متقطعة عن طريق أخذ عينات من سلسلة زمنية على فترات زمنية منتظمة، فإن لها معدل أخذ عينات مرتبط بها .

قد يكون للإشارات الزمنية المنفصلة عدة أصول، ولكن يمكن تصنيفها عادةً إلى واحدة من مجموعتين: ^{[ 1 ]}

• عن طريق الحصول على قيم إشارة تناظرية بمعدل ثابت أو متغير. تسمى هذه العملية بأخذ العينات . ^{[ 2 ]}
• من خلال مراقبة عملية زمنية منفصلة بطبيعتها، مثل القيمة القصوى الأسبوعية لمؤشر اقتصادي معين.

في المقابل، ينظر مفهوم الزمن المتصل إلى المتغيرات على أنها ذات قيمة محددة لفترة زمنية قصيرة للغاية . وبين أي نقطتين زمنيتين، يوجد عدد لا نهائي من النقاط الزمنية الأخرى. ويتراوح متغير "الزمن" على كامل خط الأعداد الحقيقية ، أو، بحسب السياق، على جزء منه كالأعداد الحقيقية غير السالبة. لذا، يُنظر إلى الزمن كمتغير متصل .

الإشارة المستمرة أو إشارة الزمن المستمر هي كمية متغيرة ( إشارة ) يكون نطاقها، والذي غالبًا ما يكون الزمن، متصلًا (مثلًا، فترة متصلة من الأعداد الحقيقية ). أي أن نطاق الدالة هو مجموعة غير قابلة للعد . ولا يشترط أن تكون الدالة نفسها مستمرة . في المقابل، تتميز إشارة الزمن المتقطع بنطاق قابل للعد ، مثل الأعداد الطبيعية .

تُعرف الإشارة ذات السعة والزمن المستمرين بإشارة الزمن المستمر أو الإشارة التناظرية . وتتخذ هذه الإشارة قيمةً في كل لحظة زمنية. وتُعدّ الإشارات الكهربائية المشتقة بما يتناسب مع الكميات الفيزيائية، كدرجة الحرارة والضغط والصوت، إشاراتٍ مستمرة. ومن الأمثلة الأخرى على الإشارات المستمرة: الموجة الجيبية، والموجة الجيبية التمامية، والموجة المثلثية، وغيرها.

تُعرَّف الإشارة على نطاقٍ ما، قد يكون محدودًا أو غير محدود، وتوجد دالة تربط هذا النطاق بقيمة الإشارة. وبفضل استمرارية متغير الزمن، وفقًا لقانون كثافة الأعداد الحقيقية ، يُمكن إيجاد قيمة الإشارة عند أي لحظة زمنية.

ومن الأمثلة النموذجية على إشارة ذات مدة لا نهائية ما يلي:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

يمكن أن يكون نظير الإشارة المذكورة أعلاه، والذي يتميز بمدة زمنية محدودة، كالتالي:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$و${\displaystyle f(t)=0}$خلاف ذلك.

قد تكون قيمة الإشارة ذات المدة المحدودة (أو غير المحدودة) محدودة أو غير محدودة. على سبيل المثال،

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$و${\displaystyle f(t)=0}$خلاف ذلك،

هي إشارة ذات مدة محدودة، لكنها تأخذ قيمة لانهائية لـ${\displaystyle t=0\,}$.

في العديد من التخصصات، يُعتبر أن الإشارة المستمرة يجب أن يكون لها دائمًا قيمة محدودة، وهو أمر منطقي أكثر في حالة الإشارات الفيزيائية.

في بعض الأغراض، تُعتبر النقاط الشاذة اللانهائية مقبولة طالما أن الإشارة قابلة للتكامل على أي فترة زمنية محدودة (على سبيل المثال،${\displaystyle t^{-1}}$الإشارة غير قابلة للتكامل عند اللانهاية، ولكن${\displaystyle t^{-2}}$يكون).

أي إشارة تناظرية هي إشارة مستمرة بطبيعتها. أما الإشارات الزمنية المتقطعة ، المستخدمة في معالجة الإشارات الرقمية ، فيمكن الحصول عليها عن طريق أخذ عينات من الإشارات المستمرة وتكميمها .

يمكن تعريف الإشارة المستمرة أيضًا بدلالة متغير مستقل آخر غير الزمن. ومن المتغيرات المستقلة الشائعة جدًا أيضًا المكان، وهو مفيد بشكل خاص في معالجة الصور ، حيث يُستخدم بُعدان مكانيان.

يُستخدم الزمن المتقطع غالبًا عند إجراء القياسات التجريبية ، لأنه عادةً ما يكون من الممكن قياس المتغيرات بشكل متسلسل فقط. فعلى سبيل المثال، بينما يحدث النشاط الاقتصادي بشكل مستمر، إذ لا توجد لحظة يتوقف فيها الاقتصاد تمامًا، فإن قياس النشاط الاقتصادي يكون متقطعًا فقط. ولهذا السبب، تُظهر البيانات المنشورة، على سبيل المثال، الناتج المحلي الإجمالي، سلسلة من القيم الفصلية .

عند محاولة تفسير هذه المتغيرات تجريبياً بدلالة متغيرات أخرى و/أو قيمها السابقة، تُستخدم أساليب السلاسل الزمنية أو الانحدار ، حيث تُفهرس المتغيرات برمز سفلي يشير إلى الفترة الزمنية التي حدثت فيها الملاحظة. على سبيل المثال، قد يشير y _t إلى قيمة الدخل الملاحظة في الفترة الزمنية t غير المحددة ، و y ₃ إلى قيمة الدخل الملاحظة في الفترة الزمنية الثالثة، وهكذا.

علاوة على ذلك، عندما يحاول الباحث تطوير نظرية لشرح ما يتم ملاحظته في الوقت المنفصل، غالبًا ما يتم التعبير عن النظرية نفسها في الوقت المنفصل من أجل تسهيل تطوير نموذج السلاسل الزمنية أو نموذج الانحدار.

من جهة أخرى، غالباً ما يكون بناء النماذج النظرية في الزمن المتصل أسهل من الناحية الرياضية ، وكثيراً ما يتطلب الوصف الدقيق في مجالات مثل الفيزياء استخدام الزمن المتصل. في سياق الزمن المتصل، يُرمز إلى قيمة المتغير y عند نقطة زمنية غير محددة بـ y ( t )، أو ببساطة y عندما يكون المعنى واضحاً .

يمكن تمثيل متغير مُقاس في زمن منفصل بيانيًا كدالة متدرجة ، حيث تُخصص لكل فترة زمنية منطقة على المحور الأفقي بنفس طول أي فترة زمنية أخرى، ويُمثل المتغير المُقاس بارتفاع ثابت طوال تلك المنطقة الزمنية. في هذه التقنية البيانية، يظهر الرسم البياني كسلسلة من الخطوات الأفقية. بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار كل فترة زمنية نقطة منفصلة في الزمن، عادةً عند قيمة عددية صحيحة على المحور الأفقي، ويُمثل المتغير المُقاس بارتفاع فوق تلك النقطة على المحور الزمني. في هذه التقنية، يظهر الرسم البياني كمجموعة من النقاط.

يتم رسم قيم المتغير المقاس في الزمن المستمر كدالة مستمرة ، حيث يعتبر مجال الزمن هو المحور الحقيقي بأكمله أو على الأقل جزء متصل منه.

• غيرشنفيلد، نيل أ. (1999). طبيعة النمذجة الرياضية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-57095-6.
• فاغنر، توماس تشارلز غوردون (1959). العابرون التحليليون . وايلي.