مجمع بارات

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعرف مُركّب الشريط ، أو ما يُسمى أيضًا بحلّ الشريط ، أو بناء الشريط ، أو الحلّ القياسي ، أو المُركّب القياسي ، بأنه طريقة لبناء الحلول في الجبر التماثلي . وقد طُرح لأول مرة في حالة خاصة من الجبر فوق حلقة تبديلية على يد صموئيل إيلنبرغ وساوندرز ماك لين [ 1 ] ، وهنري كارتان وإيلنبرغ [ 2 ] ، ومنذ ذلك الحين عُمم بطرق عديدة. ويأتي اسم "مُركّب الشريط" من حقيقة أن إيلنبرغ وماك لين [ 1 ] استخدما الشريط الرأسي | كصيغة مختصرة للجداء الموتري.⊗{\displaystyle \otimes }في تدوينهم للمركب.

تعريف

يتركR{\displaystyle R}ليكن جبرًا على حقلك{\displaystyle k}، يتركم1{\displaystyle M_{1}}أن يكون حقًاR{\displaystyle R}- وحدة ، ودعم2{\displaystyle M_{2}}كن يسارًاR{\displaystyle R}-وحدة. بعد ذلك، يمكن للمرء أن يشكل مجمع الشريطحاجِزR⁡(م1،م2){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(M_{1},M_{2})}مقدم من

⋯→م1⊗كR⊗كR⊗كم2→م1⊗كR⊗كم2→م1⊗كم2→0،{\displaystyle \cdots \rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}M_{2}\rightarrow 0\,,}

مع التفاضل

د(م1⊗ر1⊗⋯⊗رن⊗م2)=م1ر1⊗⋯⊗رن⊗م2+∑أنا=1ن-1(-1)أنام1⊗ر1⊗⋯⊗رأنارأنا+1⊗⋯⊗رن⊗م2+(-1)نم1⊗ر1⊗⋯⊗رنم2{\displaystyle {\begin{aligned}d(m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2})&=m_{1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}\\&+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i}r_{i+1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}+(-1)^{n}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}m_{2}\end{aligned}}}

القرارات

يُعدّ مُركّب الشريط مفيدًا لأنه يُوفّر طريقةً قياسيةً لإنتاج حلول ( مجانية ) للوحدات النمطية على حلقة. مع ذلك، غالبًا ما تكون هذه الحلول كبيرة جدًا، وقد يكون استخدامها لإجراء العمليات الحسابية الفعلية أمرًا بالغ الصعوبة.

حل حر لوحدة نمطية

يتركم{\displaystyle M}كن يسارًاR{\displaystyle R}-وحدة، معR{\displaystyle R}وحدة واحدةك{\displaystyle k}الجبر. ثم، المركب الشريطيحاجِزR⁡(R،م){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(R,M)}يُعطي قرارًا بشأنم{\displaystyle M}عن طريق اليسار الحرR{\displaystyle R}-وحدات. بشكل صريح، المركب هو [ 3 ]

⋯→R⊗كR⊗كR⊗كم→R⊗كR⊗كم→R⊗كم→0،{\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow 0\,,}

يتكون هذا المجمع من اليسار الحرR{\displaystyle R}-وحدات، حيث يتم الحصول على كل حد لاحق عن طريق أخذ اليسار الحرR{\displaystyle R}-وحدة نمطية على فضاء المتجهات الأساسي للمصطلح السابق.

لإثبات أن هذا يعطي حلاً لـم{\displaystyle M}، ضع في اعتبارك المركب المعدل

⋯→R⊗كR⊗كR⊗كم→R⊗كR⊗كم→R⊗كم→م→0،{\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow M\rightarrow 0\,,}

ثم، فإن الشريط المركب أعلاه يمثل حلاً لـم{\displaystyle M}يكافئ هذا المركب الممتد الذي يتمتع بتماثل تافه. ويمكن إثبات ذلك من خلال بناء تماثل صريححن:R⊗كن⊗كم→R⊗ك(ن+1)⊗كم{\displaystyle h_{n}:R^{\otimes _{k}n}\otimes _{k}M\to R^{\otimes _{k}(n+1)}\otimes _{k}M}بين عنصر التطابق والصفر. يُعطى هذا التماثل بواسطة

حن(ر1⊗⋯⊗رن⊗م)=∑أنا=1ن-1(-1)أنا+1ر1⊗⋯⊗رأنا-1⊗1⊗رأنا⊗⋯⊗رن⊗م{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m)&=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i-1}\otimes 1\otimes r_{i}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m\end{aligned}}}

وبالمثل، يمكن للمرء أن يبني قرارًا بشأن حقR{\displaystyle R}-وحدةشمال{\displaystyle N}عن طريق وحدات الحقوق المجانية ذات التعقيدحاجِزR⁡(شمال،R){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(N,R)}.

لاحظ أنه في حالة رغبة المرء في حلR{\displaystyle R}باعتبارهما وحدة نمطية فوق نفسها، فإن المركبين المذكورين أعلاه متطابقان، ويعطيان في الواقع دقة لـR{\displaystyle R}بواسطةR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-الوحدات الثنائية. وهذا يوفر دقة أقل قليلاً منR{\displaystyle R}مجاناًR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-الوحدات الثنائية أفضل من الخيار البسيطحاجِزRهـ⁡(Rهـ،م){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R^{e}}(R^{e},M)}هنا نستخدم التكافؤ بينR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-الوحدات الثنائية وRهـ{\displaystyle R^{e}}-الوحدات، حيثRهـ=R⊗Rop{\displaystyle R^{e}=R\otimes R^{\operatorname {op} }}انظر إلى الوحدات الثنائية لمزيد من التفاصيل.

مجمع الشريط المعياري

يحل المركب القياسي المعياري (أو المختزل) محلأ⊗أ⊗⋯⊗أ⊗أ{\displaystyle A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A}معأ⊗(أ/ك)⊗⋯⊗(أ/ك)⊗أ{\displaystyle A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 إيلنبرغ، صموئيل؛ لين، سوندرز ماك (يوليو 1953). "حول المجموعات H(Π, n), I" . حوليات الرياضيات . 58 (1): 55. doi : 10.2307/1969820 .
  2. ↑ كارتان، هنري؛ إيلنبرغ، صموئيل (2016). الجبر التماثلي (PMS-19) . سلسلة برينستون الرياضية. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-04991-5.
  3. ↑ ويبل 1994 ، ص 283.

مراجع