ستيفن يابلو

لنفترض المجموعة اللانهائية التالية من الجمل:

S ₁ : لكل i > 1، فإن S _i ليس صحيحًا.

S ₂ : لكل i > 2، فإن S _i ليس صحيحًا.

S ₃ : لكل i > 3، فإن S _i ليس صحيحًا.

...

لأي قيمة لـ n ، فإن القضية S _n تأخذ شكلاً كمياً شاملاً، معبرةً عن عدد لا نهائي من الادعاءات (كل منها نفي لعبارة ذات فهرس أكبر). فعلى سبيل المثال، تعبر أي قضية S _n أيضاً عن أن S _{n + 1} غير صحيحة.

لأي زوج من الأعداد n و m حيث n < m ، فإن العبارة S_{_n} تشمل جميع الادعاءات التي تتضمنها العبارة اللاحقة S _{_m} . وبما أن هذا ينطبق على جميع أزواج الأعداد هذه، نجد أن كل S _{_n} يستلزم أي S _{_m} حيث n < m . على سبيل المثال، أي S _{_n} يستلزم S _{_n+1} .

إنّ الادعاءات الواردة في أيّ من القضايا ("العبارة التالية غير صحيحة") تتعارض مع دلالة يمكننا استنتاجها منطقيًا من المجموعة (صحة العبارة التالية مستنتجة من العبارة الحالية). وهذا يُثبت أن افتراض أيّ S_{_n} يؤدي إلى تناقض. وهذا يعني ببساطة أن جميع S _{_n} خاطئة.

لكن كون جميع الجمل _{في قائمة يابلو} خاطئة يؤكد صحة الادعاءات التي تتضمنها. لذا، لدينا مفارقة تتمثل في أن كل جملة في قائمة يابلو صحيحة وغير صحيحة في آن واحد.

لأي${\displaystyle P}$مبدأ إدخال النفي في منطق القضايا ينفي${\displaystyle P\leftrightarrow \neg P}$لذا، لا توجد نظرية متسقة تثبت أن إحدى قضاياها مكافئة لنفيها. وبعبارة أخرى، يعني هذا أن أي بديهية من هذا النوع غير متسقة. وهذا أحد أوجه مفارقة الكاذب.

وبالمثل، بالنسبة لأي مسند أحادي${\displaystyle Q}$وإذا${\displaystyle R}$إذا كانت علاقة متعدية كاملة ، فإن منطق المسند ، من خلال تحليل رسمي كما سبق، ينفي الإغلاق الشامل لـ

${\displaystyle Q(n)\leftrightarrow \forall i.{\big (}R(i,n)\to \neg Q(i){\big )}}$

فيما يتعلق بالأعداد الطبيعية، لـ${\displaystyle R}$يُعتبر ذلك مساواة${\displaystyle =}$وهذا أيضاً يستنتج من تحليل مفارقة الكاذب.${\displaystyle R}$يُعتبر هذا هو الطلب القياسي "${\displaystyle >}$"، لا يزال من الممكن الحصول على نموذج حسابي غير قياسي لنظرية أوميغا غير المتسقة المعرفة عن طريق ضم جميع المكافئات بشكل فردي. ^{[ 9 ]}