نموذج غير قياسي للحساب

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة

في المنطق الرياضي ، يُعرف النموذج الحسابي غير القياسي بأنه نموذج من حساب بيانو من الرتبة الأولى يحتوي على أعداد غير قياسية. ويشير مصطلح النموذج الحسابي القياسي إلى الأعداد الطبيعية القياسية 0، 1، 2، ... . تكون عناصر أي نموذج من حساب بيانو مرتبة خطيًا، ولها مقطع ابتدائي متماثل مع الأعداد الطبيعية القياسية. أما النموذج غير القياسي فهو الذي يحتوي على عناصر إضافية خارج هذا المقطع الابتدائي. ويعود الفضل في بناء هذه النماذج إلى ثورالف سكوليم (1934).

لا توجد نماذج حسابية غير قياسية إلا بالنسبة للصياغة من الدرجة الأولى لبديهيات بيانو ؛ أما بالنسبة للصياغة الأصلية من الدرجة الثانية ، فلا يوجد، حتى التشاكل، سوى نموذج واحد: الأعداد الطبيعية نفسها. [ 1 ]

وجود

هناك عدة طرق يمكن استخدامها لإثبات وجود نماذج غير قياسية في الحساب.

من نظرية التراص

يمكن إثبات وجود نماذج حسابية غير قياسية بتطبيق نظرية التراص . ولتحقيق ذلك، تُعرَّف مجموعة من البديهيات P * بلغة تتضمن لغة حساب بيانو بالإضافة إلى رمز ثابت جديد c . تتألف هذه البديهيات من بديهيات حساب بيانو P بالإضافة إلى مجموعة أخرى غير منتهية من البديهيات: لكل عدد طبيعي قياسي n ، تُضاف البديهية c > n . أي مجموعة جزئية منتهية من هذه البديهيات يُحققها نموذج يتكون من النموذج القياسي للحساب بالإضافة إلى الثابت c الذي يُفسَّر على أنه عدد أكبر من أي عدد مذكور في المجموعة الجزئية المنتهية من P *. وبالتالي، وفقًا لنظرية التراص، يوجد نموذج يُحقق جميع بديهيات P *. بما أن أي نموذج لـ P * هو نموذج لـ P (لأن نموذج مجموعة من البديهيات هو أيضاً نموذج لأي مجموعة جزئية من تلك المجموعة)، فإن نموذجنا الموسع هو أيضاً نموذج لبديهيات بيانو. ولا يمكن أن يكون العنصر المقابل لـ c في هذا النموذج عدداً قياسياً، لأنه كما هو موضح، أكبر من أي عدد قياسي.

باستخدام أساليب أكثر تعقيدًا، يُمكن بناء نماذج غير قياسية ذات خصائص أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، توجد نماذج في حساب بيانو لا تنطبق عليها نظرية غودشتاين . يُمكن إثبات صحة نظرية غودشتاين في النموذج القياسي في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، لذا فإن أي نموذج لا تنطبق عليه هذه النظرية يُعد نموذجًا غير قياسي.

من نظريات عدم الاكتمال

تُشير نظريات عدم الاكتمال لغودل أيضًا إلى وجود نماذج حسابية غير قياسية. تُظهر هذه النظريات أن جملة معينة G ، وهي جملة غودل في حساب بيانو، لا يُمكن إثباتها ولا دحضها في حساب بيانو. وبحسب نظرية الاكتمال ، فهذا يعني أن G خاطئة في نموذج ما من حساب بيانو. مع ذلك، فإن G صحيحة في النموذج الحسابي القياسي، وبالتالي فإن أي نموذج تكون فيه G خاطئة هو نموذج غير قياسي. لذا، فإن تحقيق ~ G شرط كافٍ لكون النموذج غير قياسي. ولكنه ليس شرطًا ضروريًا؛ فلكل جملة غودل G وأي عدد لا نهائي من العناصر، يوجد نموذج حسابي تكون فيه G صحيحة، ويكون عدد عناصره مساويًا لعدد عناصر تلك الجملة.

عدم سلامة الحساب للنماذج التي يكون فيها ~ G صحيحًا

بافتراض أن الحساب متسق، فإن الحساب مع ~ G يكون متسقًا أيضًا. ومع ذلك، بما أن ~ G تنص على أن الحساب غير متسق، فإن الحساب مع ~ G لن يكون متسقًا وفقًا لمعيار ω (لأن ~ G خاطئة وهذا ينتهك شرط الاتساق وفقًا لمعيار ω).

من منتج فائق

هناك طريقة أخرى لبناء نموذج حسابي غير قياسي وهي عبر الضرب الفائق . ويستخدم البناء النموذجي مجموعة جميع متواليات الأعداد الطبيعية.شمالشمال{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}اختر فلترًا فائقًا مجانيًا علىشمال{\displaystyle \mathbb {N} }ثم نحدد متتاليتين عندما تتساوى قيمهما في المواضع التي تُشكل عنصرًا من عناصر المرشح الفائق (يتطلب هذا أن تتفق المتتاليتان في عدد لا نهائي من المواضع، لكن الشرط أقوى من ذلك لأن المرشحات الفائقة تُشبه امتدادات قصوى لمرشح فريشيه، شبيهة ببديهية الاختيار ) . الحلقة شبه الكاملة الناتجة هي نموذج غير قياسي للحساب، ويمكن تعريفها بالأعداد فوق الطبيعية . [ 2 ]

بنية النماذج غير القياسية القابلة للعد

نماذج الضرب الفائق غير قابلة للعد. إحدى طرق فهم ذلك هي بناء دالة حقن من الضرب اللانهائي.شمالشمال{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}في الضرب الفائق. ومع ذلك، وفقًا لنظرية لوفنهايم-سكوليم، يجب أن توجد نماذج حسابية غير قياسية قابلة للعد. إحدى طرق تعريف مثل هذا النموذج هي استخدام دلالات هينكين .

أي نموذج حسابي غير قياسي قابل للعد له نوع ترتيب ω + (ω* + ω) ⋅ η ، حيث ω هو نوع ترتيب الأعداد الطبيعية القياسية، وω* هو الترتيب الثنائي (متتالية متناقصة لانهائية)، وη هو نوع ترتيب الأعداد النسبية . بعبارة أخرى، يبدأ النموذج غير القياسي القابل للعد بمتتالية متزايدة لانهائية (العناصر القياسية للنموذج). يلي ذلك مجموعة من "الكتل"، كل منها من نوع الترتيب ω* + ω ، وهو نوع ترتيب الأعداد الصحيحة. هذه الكتل بدورها مرتبة ترتيبًا كثيفًا بنوع ترتيب الأعداد النسبية. تُستنتج النتيجة بسهولة، لأنه من السهل ملاحظة أن ترتيب مجموعة كتل الأعداد غير القياسية يجب أن يكون كثيفًا ومرتبًا خطيًا بدون نقاط نهاية، وأن نوع ترتيب الأعداد النسبية هو الترتيب الخطي الكثيف الوحيد القابل للعد بدون نقاط نهاية (انظر نظرية كانتور للتشاكل ). [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

إذن، نوع ترتيب النماذج غير القياسية القابلة للعد معروف. ومع ذلك، فإن العمليات الحسابية أكثر تعقيدًا بكثير.

من السهل ملاحظة أن البنية الحسابية تختلف عن ω + (ω* + ω) ⋅ η . على سبيل المثال، إذا كان العنصر u غير قياسي (غير منتهٍ) موجودًا في النموذج، فإن m ⋅ u يكون كذلك لأي m في الجزء الأولي N ، ومع ذلك فإن u 2 أكبر من m ⋅ u لأي m قياسي منتهٍ .

يمكن أيضًا تعريف "الجذور التربيعية" مثل أصغر قيمة لـ v بحيث يكون v² > 2 ⋅ u . لا يمكن أن تكون هذه القيم ضمن عدد محدود قياسي من أي مضاعف نسبي لـ u . وبطرق مماثلة للتحليل غير القياسي، يمكن أيضًا استخدام حساب بيانو لتعريف تقريبات قريبة لمضاعفات غير نسبية لعدد غير قياسي u، مثل أصغر قيمة لـ v بحيث يكون v > π ⋅ u (يمكن تعريف هذه التقريبات في حساب بيانو باستخدام تقريبات نسبية محدودة غير قياسية لـ π، على الرغم من أن π نفسه لا يمكن تعريفه). ​​ومرة ​​أخرى، يجب أن يكون v − ( m / n ) ⋅ ( u / n ) أكبر من أي عدد محدود قياسي لأي قيمتين محدودتين قياسيتين m و n .

يُظهر هذا أن البنية الحسابية لنموذج غير قياسي قابل للعد أكثر تعقيدًا من بنية الأعداد النسبية. لكن الأمر يتجاوز ذلك: تُبين نظرية تيننباوم أنه بالنسبة لأي نموذج غير قياسي قابل للعد لحساب بيانو، لا توجد طريقة لترميز عناصر النموذج كأعداد طبيعية (قياسية) بحيث تكون عملية الجمع أو الضرب للنموذج قابلة للحساب على هذه الرموز. وقد توصل ستانلي تيننباوم إلى هذه النتيجة لأول مرة عام ١٩٥٩.

ملحوظات

  1. ↑ هيرمس 1973 ، الفصل السادس.3.
  2. ↑ غولدبلات 1998 .
  3. ↑ بوفيكين وكاي 2001 .
  4. ↑ بوفيكين 2000 .
  5. ↑ لاندمان – يتضمن برهانًا على أن Q هو الترتيب الخطي الكثيف الوحيد القابل للعد.

فهرس

مراجع
  • بوفيكين، أندريه آي. (13 أبريل 2000). حول أنواع رتب نماذج الحساب (ملف PDF) (أطروحة دكتوراه). جامعة برمنغهام، كلية العلوم. مؤرشفة من الأصل (ملف PDF) في 14 يناير 2013.
  • بوفيكين، أندريه آي؛ كاي، ريتشارد (14 يونيو 2001). "أنواع رتب نماذج حساب بيانو: دراسة موجزة" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 3 يناير 2014. تم الاطلاع عليه في 17 مايو 2013 .
  • غولدبلات، روبرت (1998)، "بناء الأعداد الفائقة الحقيقية باستخدام القوى الفائقة"، محاضرات في الأعداد الفائقة الحقيقية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  188، نيويورك: سبرينغر، الصفحات 23-33 ، doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6_3 ، ISBN  978-1-4612-6841-3
مصادر

انظر أيضاً