الباقي المُقاس بالطلاب

في الإحصاء ، يُعرف الباقي المعياري بأنه النسبة غير البُعدية الناتجة عن قسمة الباقي على تقدير انحرافه المعياري ، وكلاهما مُعبَّر عنه بنفس الوحدات . وهو شكل من أشكال إحصائية t للطالب ، مع اختلاف تقدير الخطأ بين النقاط.

تُعدّ هذه تقنية مهمة في الكشف عن القيم الشاذة . وهي من بين عدة تقنيات سُمّيت تكريمًا لويليام سيلي جوسيت ، الذي كتب تحت اسم مستعار "ستودنت" (مثل توزيع ستودنت ). يُطلق على قسمة إحصائية على الانحراف المعياري للعينة اسم "التسوية " ، قياسًا على التوحيد والتطبيع .

السبب الرئيسي لاستخدام طريقة الانحدار الموحد هو أنه في تحليل الانحدار لتوزيع متعدد المتغيرات ، قد تختلف تباينات البواقي عند قيم متغيرات الإدخال المختلفة، حتى لو كانت تباينات الأخطاء عند هذه القيم متساوية. تكمن المشكلة في الفرق بين الأخطاء والبواقي في الإحصاء ، وخاصةً سلوك البواقي في الانحدارات.

لنفترض نموذج الانحدار الخطي البسيط

${\displaystyle Y=\alpha _{0}+\alpha _{1}X+\varepsilon .\,}$

بفرض عينة عشوائية ( Xᵢ _, Yᵢ ₎ ، حيث i = 1 ، ...، n ، فإن كل زوج ( Xᵢ _, Yᵢ ₎ يحقق ما يلي :      

${\displaystyle Y_{i}=\alpha _{0}+\alpha _{1}X_{i}+\varepsilon _{i},\,}$

أين الأخطاء${\displaystyle \varepsilon _{i}}$مستقلة ولها جميعًا نفس التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$لا تمثل البواقي الأخطاء الحقيقية، بل هي تقديرات مبنية على البيانات المرصودة. عند استخدام طريقة المربعات الصغرى لتقدير${\displaystyle \alpha _{0}}$و${\displaystyle \alpha _{1}}$ثم البواقي${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}}$على عكس الأخطاء${\displaystyle \varepsilon }$لا يمكن أن تكون مستقلة لأنها تحقق القيدين

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{i}=0}$

و

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{i}x_{i}=0.}$

(هنا ε _i هو الخطأ رقم i ، و${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}_{i}}$(هو الباقي رقم i .)

تختلف البواقي، على عكس الأخطاء، في تباينها؛ إذ يتناقص التباين كلما ابتعدت قيمة x المقابلة عن متوسط ​​قيمة x . لا يعود هذا إلى خصائص البيانات نفسها، بل إلى دقة الانحدار في مطابقة القيم عند طرفي المجال. وينعكس هذا أيضًا في دوال تأثير نقاط البيانات المختلفة على معاملات الانحدار ، حيث يكون تأثير النقاط الطرفية أكبر. ويتضح ذلك أيضًا من خلال اعتماد البواقي عند النقاط الطرفية بشكل كبير على ميل الخط المُطابق، بينما تكون البواقي في المنتصف أقل تأثرًا بالميل. ويُعد اختلاف تباينات البواقي، على الرغم من تساوي تباينات الأخطاء الحقيقية ، السبب الرئيسي وراء الحاجة إلى التطبيع.

الأمر لا يتعلق ببساطة بمعرفة معلمات السكان (المتوسط ​​والانحراف المعياري) - بل يتعلق بأن الانحدارات تعطي توزيعات متبقية مختلفة عند نقاط بيانات مختلفة، على عكس مقدرات النقاط للتوزيعات أحادية المتغير ، والتي تشترك في توزيع مشترك للبواقي.

بالنسبة لهذا النموذج البسيط، فإن مصفوفة التصميم هي

${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}1&x_{1}\\\vdots &\vdots \\1&x_{n}\end{matrix}}\right]}$

والمصفوفة H هي مصفوفة الإسقاط المتعامد على فضاء الأعمدة لمصفوفة التصميم:

${\displaystyle H=X(X^{T}X)^{-1}X^{T}.\,}$

يمثل الرافعة المالية h _ii العنصر القطري رقم i في مصفوفة القبعة. تباين الباقي رقم i هو

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}(1-h_{ii}).}$

في حال احتوت مصفوفة التصميم X على عمودين فقط (كما في المثال أعلاه)، فإن هذا يساوي

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}-{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}}}\right).}$

في حالة المتوسط ​​الحسابي ، تحتوي مصفوفة التصميم X على عمود واحد فقط ( متجه من الواحدات )، وهذا ببساطة:

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).}$

بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، فإن الباقي المعياري هو

${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon \,}}_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {1-h_{ii}\ }}}}$

حيث يمثل h _ii الرافعة المالية ، و${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$يُعد تقديرًا مناسبًا لـ σ (انظر أدناه).

في حالة المتوسط، يكون هذا مساوياً لما يلي:

${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon \,}}_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {(n-1)/n}}}}$

التقدير المعتاد لـ ^σ² هو الباقي المُعَدَّل داخليًا

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={1 \over nm}\sum _{j=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2}.}$

حيث m هو عدد المعلمات في النموذج (2 في مثالنا).

لكن إذا كان يُشتبه في أن الحالة رقم i  كبيرة بشكل غير محتمل، فلن تتبع التوزيع الطبيعي. لذا، من الحكمة استبعاد المشاهدة رقم i  من عملية تقدير التباين عند النظر فيما إذا كانت الحالة رقم i  قد تكون قيمة متطرفة، واستخدام الباقي المُعَيَّر خارجيًا بدلاً من ذلك.

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{(i)}^{2}={1 \over n-m-1}\sum _{\begin{smallmatrix}j=1\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2},}$

استنادًا إلى جميع البواقي باستثناء الباقي المشتبه به رقم i  . والهدف هنا هو التأكيد على ذلك.${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2}(j\neq i)}$بالنسبة للمشتبه به i، يتم حسابها مع استبعاد الحالة i . 

إذا كان التقدير σ ² يشمل الحالة رقم i  ، فإنه يُطلق عليه اسم الباقي المُعَدَّل داخليًا .${\displaystyle t_{i}}$(يُعرف أيضًا باسم الباقي المعياري ^{[ 1 ]} ). إذا كان التقدير${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{(i)}^{2}}$إذا تم استخدامها بدلاً من ذلك، باستثناء الحالة رقم i  ، فإنها تسمى حينها بالطالب الخارجي ،${\displaystyle t_{i(i)}}$.

إذا كانت الأخطاء مستقلة وموزعة توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة 0 وتباين σ² ، فإن التوزيع الاحتمالي للباقي المعياري الخارجي ^رقم i${\displaystyle t_{i(i)}}$هو توزيع t للطالب بدرجات حرية n  − m − 1 ، ويمكن أن يتراوح من   ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$ل${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$.

من ناحية أخرى، تقع البواقي المعيارية الداخلية ضمن النطاق${\displaystyle 0\,\pm \,{\sqrt {\nu }}}$حيث ν = n  − m هو عدد درجات الحرية المتبقية. إذا كان t _i يمثل الباقي المُعَيَّر داخليًا، وبافتراض أن الأخطاء متغيرات غاوسية مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا، فإن: ^{[ 2 ]} 

${\displaystyle t_{i}\sim {\sqrt {\nu }}{t \over {\sqrt {t^{2}+\nu -1}}}}$

حيث t متغير عشوائي يتبع توزيع t للطالب بدرجات حرية ν  − 1. في الواقع، هذا يعني أن t _i ² / ν يتبع توزيع بيتا B (1/2,( ν − 1)/2). يُشار إلى التوزيع أعلاه أحيانًا باسم توزيع تاو ؛ ^{[ 2 ]} وقد اشتقه طومسون لأول مرة عام 1935. ^{[ 3 ]}   

عندما تكون قيمة ν = 3، فإن البواقي المعيارية الداخلية تتوزع بشكل منتظم بين${\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {3}}}$و${\displaystyle \scriptstyle +{\sqrt {3}}}$إذا كانت هناك درجة حرية واحدة فقط للمتغير المتبقي، فإن الصيغة المذكورة أعلاه لتوزيع البواقي المعيارية الداخلية لا تنطبق. في هذه الحالة، تكون جميع قيم _tᵢ إما +1 أو -1، باحتمالية 50% لكل منهما.

الانحراف المعياري لتوزيع البواقي المعيارية الداخلية يساوي دائمًا 1، لكن هذا لا يعني أن الانحراف المعياري لجميع قيم tᵢ في تجربة معينة _يساوي 1. على سبيل المثال، تكون البواقي المعيارية الداخلية عند مطابقة خط مستقيم يمر بالنقطة (0, 0) مع النقاط (1, 4)، (2, -1)، (2, -1) هي${\displaystyle {\sqrt {2}},\ -{\sqrt {5}}/5,\ -{\sqrt {5}}/5}$والانحراف المعياري لهذه القيم ليس 1.

لاحظ أن أي زوج من البواقي المعيارية t _i و t _j (حيث${\displaystyle i\neq j}$), ليست مستقلة ومتطابقة التوزيع. لها نفس التوزيع، لكنها ليست مستقلة بسبب القيود المفروضة على البواقي بحيث يجب أن يكون مجموعها صفرًا وأن تكون متعامدة مع مصفوفة التصميم.

تتضمن العديد من البرامج وحزم الإحصاء، مثل R و Python وما إلى ذلك، تطبيقات للباقي المعياري.

• مسافة كوك – مقياس للتغيرات في معاملات الانحدار عند حذف إحدى المشاهدات
• اختبار جروبس
• التطبيع (الإحصاء)
• عدم المساواة عند سامويلسون
• الدرجة المعيارية
• ويليام سيلي جوسيت

• كوك، ر. دينيس؛ وايزبرغ، سانفورد (1982). البواقي والتأثير في الانحدار (طبعة مُعاد  طباعتها). نيويورك: تشابمان وهول . ISBN 041224280Xتم الاطلاع عليه بتاريخ 23 فبراير 2013 .