التطبيع (الإحصاء)

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء وتطبيقاته، قد يحمل مصطلح "التطبيع" معانيَ متعددة. [ 1 ] في أبسط الحالات، يعني تطبيع التقييمات تعديل القيم المقاسة على مقاييس مختلفة لتتوافق مع مقياس موحد، غالبًا قبل حساب المتوسط. أما في الحالات الأكثر تعقيدًا، فقد يشير التطبيع إلى تعديلات أكثر دقة تهدف إلى توحيد التوزيعات الاحتمالية للقيم المعدلة. في حالة تطبيع الدرجات في التقييم التربوي، قد يكون الهدف هو مواءمة التوزيعات مع التوزيع الطبيعي . وهناك نهج آخر لتطبيع التوزيعات الاحتمالية يُعرف بتطبيع الكميات ، حيث يتم توحيد كميات المقاييس المختلفة.

في استخدام آخر في الإحصاء، يشير مصطلح "التطبيع" إلى إنشاء نسخ مُزاحة ومُقاسة من الإحصاءات، حيث يُقصد بهذه القيم المُطَبَّعة أن تسمح بمقارنة القيم المُطَبَّعة المُناظرة لمجموعات بيانات مختلفة بطريقة تُزيل تأثيرات بعض العوامل العامة، كما هو الحال في السلاسل الزمنية الشاذة . تتضمن بعض أنواع التطبيع إعادة قياس فقط، للوصول إلى قيم نسبية لمتغير حجم معين. من حيث مستويات القياس ، لا تكون هذه النسب ذات معنى إلا في قياسات النسب (حيث تكون نسب القياسات ذات دلالة)، وليس في قياسات الفترات (حيث تكون المسافات فقط ذات دلالة، وليس النسب).

في الإحصاء النظري، يمكن أن يؤدي التطبيع البارامتري في كثير من الأحيان إلى كميات محورية - دوال لا يعتمد توزيع أخذ العينات الخاص بها على المعلمات - وإلى إحصاءات مساعدة - كميات محورية يمكن حسابها من الملاحظات، دون معرفة المعلمات.

تاريخ

الدرجة المعيارية (الدرجة Z)

ظهر مفهوم التطبيع بالتزامن مع دراسة التوزيع الطبيعي على يد أبراهام دي مويفر ، وبيير سيمون لابلاس ، وكارل فريدريش غاوس خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. ولأن مصطلح "قياسي" يشير إلى التوزيع الطبيعي المحدد ذي القيمة المتوقعة صفر والانحراف المعياري واحد، أي التوزيع الطبيعي القياسي ، فقد استُخدم مصطلح "التطبيع"، أو "التوحيد القياسي" في هذه الحالة، للإشارة إلى إعادة قياس أي توزيع أو مجموعة بيانات بحيث يكون متوسطها صفرًا وانحرافها المعياري واحدًا. [ 2 ]

في حين أن دراسة التوزيع الطبيعي قد نظمت عملية التقييس، فإن نتيجة هذه العملية، والمعروفة أيضًا باسم Z-score ، والتي تُعطى عن طريق الفرق بين قيمة العينة ومتوسط ​​المجتمع مقسومًا على الانحراف المعياري للمجتمع وقياس عدد الانحرافات المعيارية لقيمة ما عن متوسط ​​مجتمعها، [ 3 ] لم يتم صياغتها ونشرها حتى قام رونالد فيشر وكارل بيرسون بتطوير المفهوم كجزء من الإطار الأوسع للاستدلال الإحصائي واختبار الفرضيات [ 4 ] [ 5 ] في أوائل القرن العشرين.

إحصائية t للطالب

بدأ ويليام سيلي جوسيت عملية تعديل التوزيع الطبيعي والدرجة المعيارية على عينات صغيرة الحجم. تلقى جوسيت تعليمه في الكيمياء والرياضيات في جامعتي وينشستر وأكسفورد، وعمل لدى مصنع غينيس للجعة ، أكبر مصنع جعة في أيرلندا آنذاك، وكُلِّف بمراقبة الجودة بدقة . ومن خلال تجارب على عينات صغيرة، اكتشف جوسيت أن توزيع المتوسطات باستخدام عينات صغيرة الحجم ينحرف قليلاً عن توزيع المتوسطات باستخدام عينات كبيرة الحجم - التوزيع الطبيعي - ويبدو "أطول وأضيق" بالمقارنة. [ 6 ] نُشرت هذه النتيجة لاحقًا في تقرير داخلي لشركة غينيس بعنوان " تطبيق "قانون الخطأ" على عمل مصنع الجعة" ، وأُرسلت إلى كارل بيرسون لمزيد من المناقشة، والتي أسفرت لاحقًا عن منشور رسمي بعنوان " الخطأ المحتمل للمتوسط" في عام 1908. [ 7 ] وبموجب قيود الخصوصية التي يفرضها مصنع غينيس للجعة، نشر جوسيت البحث تحت اسم مستعار "طالب". تم تطوير عمل جوسيت لاحقًا وتحويله بواسطة رونالد فيشر إلى الشكل المستخدم اليوم، [ 8 ] وقد شاع استخدامه، إلى جانب اسمي " توزيع t للطالب " - في إشارة إلى التوزيع الطبيعي المعدل الذي اقترحه جوسيت، و" إحصائية t للطالب " - في إشارة إلى إحصائية الاختبار المستخدمة في قياس انحراف القيمة المقدرة لمعلمة ما عن قيمتها المفترضة مقسومة على خطئها المعياري ، من خلال منشور فيشر بعنوان تطبيقات توزيع "الطالب" . [ 6 ]

توسيع نطاق الميزات

أدى ظهور الحواسيب والإحصاءات متعددة المتغيرات في منتصف القرن العشرين إلى ضرورة توحيد البيانات ذات الوحدات المختلفة، مما أدى إلى ظهور تقنية قياس الميزات - وهي طريقة تُستخدم لإعادة قياس البيانات ضمن نطاق ثابت - مثل قياس الحد الأدنى والحد الأقصى والقياس القوي . وقد أصبحت عملية التوحيد الحديثة هذه، التي تستهدف على وجه الخصوص البيانات واسعة النطاق، أكثر رسمية في مجالات تشمل التعلم الآلي ، والتعرف على الأنماط ، والشبكات العصبية في أواخر القرن العشرين. [ 9 ] [ 10 ]

تطبيع الدفعات

تم اقتراح تطبيع الدفعات من قبل سيرجي يوف وكريستيان سيجيدي في عام 2015 لتعزيز كفاءة التدريب في الشبكات العصبية . [ 11 ]

أمثلة

توجد أنواع مختلفة من التطبيع في الإحصاء، منها النسب غير البُعدية للأخطاء، والبواقي، والمتوسطات، والانحرافات المعيارية ، وهي بالتالي غير متأثرة بالمقياس . ويمكن تلخيص بعضها كما يلي. تجدر الإشارة إلى أنه فيما يتعلق بمستويات القياس ، فإن هذه النسب لا تُجدي نفعًا إلا في قياسات النسب (حيث تكون نسب القياسات ذات معنى)، وليس في قياسات الفترات (حيث تكون المسافات فقط ذات معنى، وليس النسب). انظر أيضًا : تصنيف: النسب الإحصائية .

اسمصيغةيستخدم
الدرجة المعياريةX-μσ{\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}}تطبيع الأخطاء عندما تكون معلمات المجتمع معروفة. يعمل بشكل جيد مع المجتمعات ذات التوزيع الطبيعي [ 12 ]
إحصائية t للطالبβ^-β0s.هـ.⁡(β^){\displaystyle {\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{\operatorname {se} ({\widehat {\beta }})}}}انحراف القيمة المقدرة لمعلمة ما عن قيمتها المفترضة، مقسومة على خطأها المعياري.
الباقي المُقاس بالطلابε^أناσ^أنا=Xأنا-μ^أناσ^أنا{\displaystyle {\frac {{\hat {\varepsilon }}_{i}}{{\hat {\sigma }}_{i}}}={\frac {X_{i}-{\hat {\mu }}_{i}}{{\hat {\sigma }}_{i}}}}تطبيع البواقي عند تقدير المعلمات، لا سيما عبر نقاط البيانات المختلفة في تحليل الانحدار .
العزم المعياريμكσك{\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}}لحظات التطبيع، باستخدام الانحراف المعياريσ{\displaystyle \sigma }كمقياس للحجم.
معامل التباينσμ{\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}تطبيع التشتت باستخدام المتوسطμ{\displaystyle \mu }كمقياس للمقياس، وخاصة بالنسبة للتوزيعات الإيجابية مثل التوزيع الأسي وتوزيع بواسون .
توسيع نطاق الميزات من الحد الأدنى إلى الحد الأقصىX′=X-XمينXالأعلى-Xمين{\displaystyle X'={\frac {X-X_{\min }}{X_{\max }-X_{\min }}}}يُستخدم تحجيم الميزات لجعل جميع القيم ضمن النطاق [0،1]. ويُسمى هذا أيضًا بالتطبيع القائم على الوحدة. ويمكن تعميمه لتقييد نطاق القيم في مجموعة البيانات بين أي نقطتين عشوائيتين.أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}باستخدام على سبيل المثالX′=أ+(X-Xمين)(ب-أ)Xالأعلى-Xمين{\displaystyle X'=a+{\frac {\left(X-X_{\min }\right)\left(b-a\right)}{X_{\max }-X_{\min }}}}.

لاحظ أن بعض النسب الأخرى، مثل نسبة التباين إلى المتوسط(σ2μ){\textstyle \left({\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}\right)}، يتم أيضًا إجراء عمليات التطبيع، ولكنها ليست بلا أبعاد: لا يتم إلغاء الوحدات، وبالتالي فإن النسبة لها وحدات، وليست ثابتة المقياس.

أنواع أخرى

تشمل عمليات التطبيع الأخرى غير البُعدية التي يمكن استخدامها دون افتراضات حول التوزيع ما يلي:

  • تحديد النسب المئوية . هذا شائع في الاختبارات المعيارية. انظر أيضًا إلى توحيد الكميات .
  • التطبيع عن طريق الجمع و/أو الضرب بثوابت بحيث تقع القيم بين 0 و1. يستخدم هذا لدوال كثافة الاحتمال ، مع تطبيقات في مجالات مثل ميكانيكا الكم في تعيين الاحتمالات لـ | ψ | 2 .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ دودج، واي (2003) قاموس أكسفورد للمصطلحات الإحصائية ، مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 0-19-920613-9(مدخل لتطبيع الدرجات)
  2. ↑ ستيجلر، ستيفن م. (2002). الإحصاءات على الطاولة: تاريخ المفاهيم والأساليب الإحصائية (الطبعة الثالثة ). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN  978-0-674-00979-0.
  3. ↑ لانغ، نيكلاس (23 أغسطس 2023). "ما هو مقياس Z؟ | داتا بيسكامب" . تم الاسترجاع في 13 مارس 2025 .
  4. ↑ فيشر، ر. أ. (1 يناير 2017). الأساليب الإحصائية للباحثين . دار جيان للنشر. رقم ISBN 978-9351286585.
  5. ↑ بيرسون، كارل (1 نوفمبر 1901). "53. حول الخطوط والمستويات الأقرب ملاءمة لأنظمة النقاط في الفضاء" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 2 (11): 559-572 . doi : 10.1080/14786440109462720 . ISSN 1941-5982 . 
  6. براون ، أنجوس (2008). "الأصول الغريبة لاختبار t للطالب" . أخبار علم وظائف الأعضاء : 13-16 . doi : 10.36866/pn.71.13 . تاريخ الاسترجاع: 13 مارس 2025 .
  7. ↑ ستودنت (1908). "الخطأ المحتمل للمتوسط" . بيومتريكا . 6 (1): 1-25 . doi : 10.2307/2331554 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2331554 .  
  8. ^ رولف، ف. جيمس؛ سوكال، روبرت ر. (2012). الجداول الإحصائية (الطبعة الرابعة ). نيويورك (نيويورك): فريمان. رقم ISBN  978-1-4292-4031-4.
  9. ↑ دودا، ريتشارد أو.؛ ​​هارت، بيتر إي.؛ ستورك، ديفيد جي. (2001). تصنيف الأنماط ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ISBN  978-0-471-05669-0.
  10. ↑ بيشوب، كريستوفر م. (2006). التعرف على الأنماط والتعلم الآلي . علم المعلومات والإحصاء. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-31073-2.
  11. ↑ إيوف، سيرجي؛ سيجيدي، كريستيان (2 مارس 2015). "التطبيع الدفعي: تسريع تدريب الشبكات العميقة عن طريق تقليل تحول المتغيرات الداخلية". arXiv : 1502.03167 [ cs.LG ].
  12. ↑ فريدمان، ديفيد؛ بيزاني، روبرت؛ بورفيس، روجر (20 فبراير 2007). الإحصاء: الطبعة الدولية الرابعة للطلاب . دبليو دبليو نورتون وشركاه. ISBN 9780393930436.