نظرية ستورمر

في نظرية الأعداد ، تُعطي نظرية ستورمر ، نسبةً إلى كارل ستورمر ، حدًا نهائيًا لعدد الأزواج المتتالية من الأعداد الملساء الموجودة، لدرجة معينة من السلاسة، وتُقدّم طريقةً لإيجاد جميع هذه الأزواج باستخدام معادلات بيل . ويترتب على نظرية ثو-سيجل-روث أن هناك عددًا محدودًا فقط من الأزواج من هذا النوع، لكن ستورمر قدّم إجراءً لإيجادها جميعًا. ^{[ 1 ]}

إذا اختار المرء مجموعة منتهية${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\dots p_{k}\}}$إذا كان لدينا عدد من الأعداد الأولية، فإن الأعداد P -smooth تُعرَّف بأنها مجموعة الأعداد الصحيحة.

${\displaystyle \left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}}$

يمكن توليد هذه الأعداد من خلال ضرب أعداد في المجموعة P. ثم تنص نظرية ستورمر على أنه، لكل اختيار لـ P ، يوجد عدد محدود فقط من أزواج الأعداد المتتالية الملساء بالنسبة لـ P. علاوة على ذلك، تقدم النظرية طريقة لإيجادها جميعًا باستخدام معادلات بيل.

تتضمن طريقة ستورمر الأصلية حل مجموعة من حوالي 3k معادلة بيل ، حيث يتم في كل معادلة إيجاد أصغر حل فقط. وفيما يلي وصف لنسخة مبسطة من هذه الطريقة، منسوبة إلى د ^. هـ. ليمر [ ^{2 ] ؛ وهي تحل عددًا أقل من} المعادلات ولكنها تجد عددًا أكبر من الحلول في كل معادلة.

ليكن P مجموعة الأعداد الأولية المعطاة، ولنُعرّف العدد بأنه P- أملس إذا كانت جميع عوامله الأولية تنتمي إلى P. لنفترض أن p _≠ 2 ؛ وإلا فلن يكون هناك أعداد متتالية P- أملسة، لأن جميع الأعداد P- الأملسة ستكون فردية. تتضمن طريقة ليمر حل معادلة بيل .

${\displaystyle x^{2}-2qy^{2}=1}$

لكل عدد q أملس من ^الدرجة P وخالٍ من المربعات، باستثناء العدد 2. يُولَّد كل عدد q كحاصل ضرب مجموعة جزئية من P ، لذا يوجد 2k - 1 معادلة بيل لحلها. لكل معادلة من هذه المعادلات، ليكن _xᵢ و _yᵢ الحلول المولدة، حيث i في النطاق من 1 إلى _max (3, ( pᵏ + 1)/2) (شاملًا)، حيث pᵏ هو أكبر عدد _أولي في P.

ثم، كما يوضح ليمر، فإن جميع الأزواج المتتالية من الأعداد الملساء من النوع P تكون على الصورة ( xᵢ _- 1)/2، ( xᵢ ₊ 1)/2 . وبالتالي ، يمكن إيجاد جميع هذه الأزواج عن طريق اختبار الأعداد من هذا النوع للتأكد من كونها ملساء من النوع P.

كما توضح ورقة ليمر ^{[ 3 ]} أن تطبيق إجراء مماثل على المعادلة

${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1,}$

حيث تتراوح D على جميع الأعداد الخالية من المربعات P -smooth باستثناء 1، ينتج عنها أزواج من الأعداد P -smooth مفصولة بـ 2: الأزواج الملساء هي (x − 1, x + 1) ، حيث ( x , y ) هو أحد الحلول الأولى max(3, (max( P ) + 1) / 2) لتلك المعادلة.

لإيجاد عشرة أزواج متتالية من الأعداد الملساء من الرتبة {2، 3، 5} (في نظرية الموسيقى ، تُعطي النسب الفائقة الخاصة بالضبط فقط )، نفرض أن P = {2، 3، 5}. يوجد سبعة أعداد ملساء خالية من المربعات من الرتبة P (باستثناء العدد الثامن، وهو 2): 1، 3، 5، 6، 10، 15، و30، كل منها يؤدي إلى معادلة بيل. عدد الحلول المطلوبة لكل معادلة بيل باستخدام طريقة ليمر هو max(3, (5 + 1)/2) = 3، لذا تُنتج هذه الطريقة ثلاثة حلول لكل معادلة بيل، كما يلي.   

• عندما تكون قيمة q تساوي 1، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 2y² = ¹ هي (3,2)، (17,12)، و(99,70). بالتالي ، لكل قيمة من القيم الثلاث xᵢ = ₃ ، 17، و99، تختبر طريقة ليمر الزوج ( xᵢ _- 1 )/2، ( xᵢ ₊ 1)/2 للتأكد من سلاسة التتابع؛ والأزواج الثلاثة التي سيتم اختبارها هي (1,2)، (8,9)، و(49,50). يُعد كل من (1,2) و (8,9) زوجًا من الأعداد المتتالية ذات السلاسة P ، بينما لا يُعد (49,50) كذلك، لأن العدد 49 يحتوي على 7 كعامل أولي.    
• عندما تكون قيمة q = 3، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² - 6y² = 1 هي ⁽ 5,2 ⁾ ، (49,20)، و(485,198). من القيم الثلاث xᵢ ₌ 5، 49، و485 ، تُشكّل طريقة ليمر ثلاثة أزواج مرشحة من الأعداد المتتالية ( xᵢ _- 1 )/2، ( xᵢ ₊ 1 )/2: (2,3)، (24,25)، و(242,243). من بين هذه الأزواج، يُعدّ الزوجان (2,3) و (24,25) زوجًا من الأعداد المتتالية الملساء من الدرجة P، بينما لا يُعدّ الزوج (242,243) كذلك.    
• عندما تكون قيمة q تساوي 5، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 10y² = ¹ هي (19,6)، (721,228)، و(27379,8658). يؤدي حل بيل (19,6) إلى زوج من الأعداد المتتالية ذات النعومة P (9,10) ؛ أما الحلان الآخران لمعادلة بيل فلا يؤديان إلى أزواج ذات نعومة P.
• عندما تكون قيمة q تساوي 6، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 12y² = ¹ هي (7,2)، (97,28)، و(1351,390). ويؤدي حل بيل (7,2) إلى زوج من الأعداد المتتالية الملساء من النوع P (3,4) .
• عندما تكون قيمة q تساوي 10، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 20y² = ¹ هي (9,2)، (161,36)، و(2889,646). يؤدي حل بيل (9,2) إلى زوج من الأعداد المتتالية ذات النعومة P (4,5) ، ويؤدي حل بيل (161,36) إلى زوج من الأعداد المتتالية ذات النعومة P (80,81) .
• عندما تكون قيمة q = 15، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 30y² = ¹ هي (11,2)، (241,44)، و(5291,966). ويؤدي حل بيل (11,2) إلى زوج من الأعداد المتتالية الملساء من النوع P (5,6) .
• عندما تكون قيمة q = 30، فإن الحلول الثلاثة الأولى لمعادلة بيل x² ^- 60y² = ¹ هي (31,4)، (1921,248)، و(119071,15372). ويؤدي حل بيل (31,4) إلى زوج من الأعداد المتتالية الملساء من النوع P (15,16) .

يمكن استخدام نتيجة ستورمر الأصلية لإثبات أن عدد أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية التي تكون سلسة بالنسبة لمجموعة من k عدد أولي هو على الأكثر 3k ^- 2k . وتُقدّم نتيجة ليمر حدًا أدق لمجموعات الأعداد الأولية الصغيرة: (2k ^- 1 ⁾ × max (3,( pk + ₁ )/2). ^{[ 4 ]}      

عدد أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية التي تكون سلسة بالنسبة لأول k عدد أولي هو

1، 4، 10، 23، 40، 68، 108، 167، 241، 345، ... (التسلسل A002071 في OEIS ) .

أكبر عدد صحيح من بين جميع هذه الأزواج، لكل قيمة k ، هو

2، 9، 81، 4375، 9801، 123201، 336141، 11859211، ... (التسلسل A117581 في OEIS ) .

كما يسرد OEIS عدد الأزواج من هذا النوع حيث يكون العدد الأكبر من العددين الصحيحين في الزوج مربعًا (التسلسل A117582 في OEIS ) أو مثلثًا (التسلسل A117583 في OEIS ) ، حيث أن كلا النوعين من الأزواج يظهران بشكل متكرر.

يمكن أيضًا تحديد حجم الحلول: في الحالة التي يُشترط فيها أن تكون x و x +1 سلسة من النوع P ، فإن ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \log(x)<M(2+\log(8S)){\sqrt {2S}}-\log(4),}$

حيث M = max(3, (max( P ) + 1) / 2) و S هو حاصل ضرب جميع عناصر P ، وفي حالة كون الزوج الأملس x ± 1 ، لدينا ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \log(x-1)<M(2+\log(4S)){\sqrt {S}}-\log(2).}$

كتب لويس مورديل عن هذه النتيجة قائلاً إنها "جميلة للغاية، ولها تطبيقات عديدة". ^{[ 7 ]}