المستوى الفائق الداعم

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة
مجموعة محدبةS{\displaystyle S}(باللون الوردي)، مستوى فائق داعم لـS{\displaystyle S}(الخط المتقطع)، ونصف الفضاء الداعم المحدد بالمستوى الفائق الذي يحتويS{\displaystyle S}(باللون الأزرق الفاتح).

في الهندسة ، المستوى الفائق الداعم لمجموعةS{\displaystyle S}في الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}هو مستوى فائق يتمتع بالخاصيتين التاليتين: [ 1 ]

  • S{\displaystyle S}يقع بالكامل داخل أحد نصفي الفضاء المغلقين المحددين بالمستوى الفائق،
  • S{\displaystyle S}يحتوي على نقطة حدودية واحدة على الأقل على المستوى الفائق.

هنا، نصف الفضاء المغلق هو نصف الفضاء الذي يشمل النقاط الموجودة داخل المستوى الفائق.

نظرية المستوى الفائق الداعم

يمكن أن تحتوي المجموعة المحدبة على أكثر من مستوى فائق داعم واحد عند نقطة معينة على حدودها.

تنص هذه النظرية على أنه إذاS{\displaystyle S}هي مجموعة محدبة في فضاء المتجهات الطوبولوجيX=Rن،{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},}وx0{\displaystyle x_{0}}هي نقطة على حدودS،{\displaystyle S,}ثم يوجد مستوى فائق داعم يحتويx0.{\displaystyle x_{0}.} لوx*∈X*∖{0}{\displaystyle x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}}(X*{\displaystyle X^{*}}هو الفضاء المزدوج لـX{\displaystyle X}،x*{\displaystyle x^{*}}دالة خطية غير صفرية ) بحيثx*(x0)≥x*(x){\displaystyle x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)}للجميعx∈S{\displaystyle x\in S}، ثم

ح={x∈X:x*(x)=x*(x0)}{\displaystyle H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}}

[ 2 ] يحدد مستوىً فائقًا داعمًا.

على العكس من ذلك، إذاS{\displaystyle S}إذا كانت مجموعة مغلقة ذات باطن غير فارغ بحيث يكون لكل نقطة على حدودها مستوى فائق داعم، فإنS{\displaystyle S}هي مجموعة محدبة، وهي تقاطع جميع أنصاف الفضاءات المغلقة الداعمة لها. [ 2 ]

قد لا يكون المستوى الفائق في النظرية فريدًا، كما هو موضح في الصورة الثانية على اليمين. إذا كانت المجموعة المغلقةS{\displaystyle S}إذا لم يكن محدبًا، فإن نص النظرية لا يكون صحيحًا عند جميع النقاط على حدوده.S،{\displaystyle S,}كما هو موضح في الصورة الثالثة على اليمين.

تُسمى المستويات الفائقة الداعمة للمجموعات المحدبة أيضًا بالمستويات tac أو المستويات الفائقة tac . [ 3 ]

يمكن إثبات الاتجاه الأمامي كحالة خاصة من نظرية المستوى الفائق الفاصل (انظر الصفحة للاطلاع على البرهان ). أما بالنسبة للاتجاه المعاكس،

دليل

يُعرِّفتي{\displaystyle T}أن تكون نقطة تقاطع جميع أنصاف الفراغات المغلقة الداعمة لها. من الواضحS⊂تي{\displaystyle S\subset T}والآن لنبدأy∉S{\displaystyle y\not \in S}، يعرضy∉تي{\displaystyle y\not \in T}.

يتركx∈أنانت(S){\displaystyle x\in \mathrm {int} (S)}وانظر إلى قطعة الخط[x،y]{\displaystyle [x,y]}. يتركت{\displaystyle t}ليكن أكبر عدد بحيث[x،ت(y-x)+x]{\displaystyle [x,t(y-x)+x]}يحتوي علىS{\displaystyle S}. ثمت∈(0،1){\displaystyle t\in (0,1)}.

يتركب=ت(y-x)+x{\displaystyle b=t(y-x)+x}، ثمب∈∂S{\displaystyle b\in \partial S}ارسم مستوىً فائقًا داعمًا عبرب{\displaystyle b}لنفترض أنها ممثلة بدالة خطية غير صفريةو:Rن→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }بحيث∀أ∈تي،و(أ)≥و(ب){\displaystyle \forall a\in T,f(a)\geq f(b)}ثم بما أنx∈أنانت(S){\displaystyle x\in \mathrm {int} (S)}لديناو(x)>و(ب){\displaystyle f(x)>f(b)}وهكذاو(y)-و(ب)1-ت=و(ب)-و(x)ت-0<0{\displaystyle {\frac {f(y)-f(b)}{1-t}}={\frac {f(b)-f(x)}{t-0}}<0}لديناو(y)<و(ب){\displaystyle f(y)<f(b)}، لذاy∉تي{\displaystyle y\not \in T}.

انظر أيضاً

مستوى فائق داعم يحتوي على نقطة معينة على حدودS{\displaystyle S}قد لا يكون موجودًا إذاS{\displaystyle S}ليس محدبًا.

ملحوظات

  1. ↑ لونبرغر، ديفيد ج. (1969). التحسين باستخدام طرق الفضاء المتجهي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص  133. ISBN 978-0-471-18117-0.
  2. 1 2 بويد، ستيفن ب.؛ فاندنبيرغ، ليفين (2004). التحسين المحدب (ملف PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 50-51 . ISBN  978-0-521-83378-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 أكتوبر 2011 .
  3. ↑ كاسيلز، جون دبليو إس (1997)، مقدمة في هندسة الأعداد ، سبرينغر كلاسيكس في الرياضيات (إعادة طبع 1959[3] وطبعة سبرينغر-فيرلاغ 1971)، سبرينغر-فيرلاغ.

المراجع ومصادر القراءة الإضافية

  • أوستازيفسكي، آدم (1990). أساليب رياضية متقدمة، سلسلة الرياضيات ، كلية لندن للاقتصاد . كامبريدج؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 129. ISBN  0-521-28964-5.
  • جياكوينتا، ماريانو؛ هيلدبراندت، ستيفان (1996). حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات . برلين؛ نيويورك: سبرينغر. ص.  57. ردمك 3-540-50625-X.
  • جوه، سي جيه؛ يانغ، إكس كيو (2002). الازدواجية في التحسين والمتباينات التباينية . لندن؛ نيويورك: تايلور وفرانسيس. ص  13. ISBN 0-415-27479-6.
  • سلطان، ف. (2021). خصائص الدعم والفصل للمجموعات المحدبة في الأبعاد المحدودة . مجلة إكستراكت ماث. المجلد 36، العدد 2، 241-278.