سمك وشكل الطبقة الحدية الحرارية

تصف هذه الصفحة بعض المعايير المستخدمة لتوصيف خصائص الطبقة الحدية الحرارية المتكونة من سائل ساخن (أو بارد) يتحرك على طول جدار ساخن (أو بارد). ويتوازى وصف الطبقة الحدية الحرارية، في كثير من النواحي، مع وصف طبقة السرعة (الزخم) الحدية الذي وضعه لودفيج براندتل لأول مرة . ^{[ 1 ]} لنفترض سائلاً ذا درجة حرارة منتظمة${\displaystyle T_{o}}$والسرعة${\displaystyle u_{o}}$تصطدم بلوحة ثابتة مسخنة بشكل منتظم إلى درجة حرارة${\displaystyle T_{s}}$افترض أن التدفق والصفيحة شبه لانهائيين في الاتجاه الموجب/السالب العمودي على${\displaystyle xy}$في المستوى. عندما يتدفق السائل على طول الجدار، فإن السائل عند سطح الجدار يحقق شرط عدم الانزلاق ويكون له سرعة صفرية، ولكن عندما تبتعد عن الجدار، تقترب سرعة التدفق بشكل مقارب من سرعة التيار الحر.${\displaystyle u_{0}}$درجة الحرارة عند الجدار الصلب هي${\displaystyle T_{s}}$ويتغير تدريجياً إلى${\displaystyle T_{o}}$أثناء التحرك نحو التيار الحر للسائل، يستحيل تحديد نقطة دقيقة يتحول عندها سائل الطبقة الحدية الحرارية أو سائل طبقة السرعة الحدية إلى تيار حر، ومع ذلك، فإن لهذه الطبقات سمكًا مميزًا محددًا جيدًا يُعطى بواسطة${\displaystyle \delta _{T}}$و${\displaystyle \delta _{v}}$تُقدّم المعايير المذكورة أدناه تعريفًا مفيدًا لهذه السمة المميزة، وهي سُمك قابل للقياس للطبقة الحدية الحرارية. كما يتضمن هذا الوصف للطبقة الحدية بعض المعايير المفيدة في وصف شكلها.

سُمك الطبقة الحدية الحرارية ،${\displaystyle \delta _{T}}$، هي المسافة عبر طبقة الحدود من الجدار إلى النقطة التي تصل فيها درجة حرارة التدفق بشكل أساسي إلى درجة حرارة "التيار الحر".${\displaystyle T_{0}}$تُعرَّف هذه المسافة عموديًا على الجدار في${\displaystyle y}$في الاتجاه -. يُعرَّف سُمك الطبقة الحدية الحرارية عادةً بأنه النقطة في الطبقة الحدية،${\displaystyle y_{99}}$حيث درجة الحرارة${\displaystyle T(x,y)}$تصل إلى 99% من قيمة البث المجاني${\displaystyle T_{0}}$:

${\displaystyle \delta _{T}=y_{99}}$ بحيث ${\displaystyle T(x,y_{99})}$= 0.99${\displaystyle T_{0}}$

في منصب${\displaystyle x}$على طول الجدار. في السوائل الحقيقية، يمكن تقدير هذه الكمية عن طريق قياس توزيع درجة الحرارة عند موضع معين.${\displaystyle x}$على طول الجدار. يمثل منحنى درجة الحرارة درجة الحرارة كدالة لـ${\displaystyle y}$بسعر ثابت${\displaystyle x}$موضع.

بالنسبة للتدفق الصفائحي فوق صفيحة مسطحة عند زاوية سقوط صفرية، يتم إعطاء سمك الطبقة الحدية الحرارية بواسطة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \delta _{T}=\delta _{v}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

${\displaystyle \delta _{T}=5.0{}{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

أين

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$هو رقم براندتل

${\displaystyle \delta _{v}}$سمك طبقة حدود السرعة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle u_{0}}$هي سرعة التيار الحر

${\displaystyle x}$هي المسافة باتجاه مجرى النهر من بداية الطبقة الحدية

${\displaystyle \nu }$اللزوجة الحركية

في حالة التدفق المضطرب فوق صفيحة مستوية، لا يتحدد سمك الطبقة الحدية الحرارية المتكونة بالانتشار الحراري، بل بالتقلبات العشوائية في المنطقة الخارجية للطبقة الحدية للسائل، والتي تُعدّ القوة الدافعة لتحديد سمك هذه الطبقة. وبالتالي، فإن سمك الطبقة الحدية الحرارية في التدفق المضطرب لا يعتمد على عدد برانتل ، بل على عدد رينولدز . ومن ثم، يُعطى سمك الطبقة الحدية الحرارية المضطربة تقريبًا بمعادلة سمك الطبقة الحدية للسرعة المضطربة [ 4 ^{] كما يلي} :

${\displaystyle \delta _{T}\approx \delta \approx 0.37x/{\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}$

أين

${\displaystyle {\mathrm {Re} _{x}}=u_{0}x/\nu }$هو رقم رينولدز

تفترض صيغة سُمك الطبقة الحدية المضطربة هذه ما يلي: 1) أن التدفق يكون مضطربًا منذ بداية الطبقة الحدية، و2) أن الطبقة الحدية المضطربة تتصرف بطريقة متشابهة هندسيًا (أي أن ملامح السرعة متشابهة هندسيًا على طول التدفق في الاتجاه السيني، وتختلف فقط بعوامل التمدد).${\displaystyle y}$و${\displaystyle u(x,y)}$^{[ 5 ]} ). لا ينطبق أي من هذين الافتراضين على حالة الطبقة الحدية المضطربة العامة، لذلك يجب توخي الحذر عند تطبيق هذه الصيغة.

سمك الإزاحة الحرارية ،${\displaystyle \beta ^{*}}$يمكن التفكير في الأمر من منظور الفرق بين سائل حقيقي وسائل افتراضي مع إيقاف الانتشار الحراري ولكن مع وجود سرعة.${\displaystyle u_{0}}$ودرجة الحرارة${\displaystyle T_{0}}$في غياب الانتشار الحراري، يكون انخفاض درجة الحرارة مفاجئًا. سُمك الإزاحة الحرارية هو المسافة التي يجب أن يتحرك بها سطح السائل الافتراضي في${\displaystyle y}$- الاتجاه لإعطاء نفس درجة الحرارة المتكاملة التي تحدث بين الجدار والمستوى المرجعي عند${\displaystyle \delta _{T}}$في السائل الحقيقي. إنه نظير مباشر لسمك إزاحة السرعة والذي غالبًا ما يوصف من حيث إزاحة مكافئة لسائل غير لزج افتراضي (انظر Schlichting ^{[ 6 ]} لسمك إزاحة السرعة).

يعتمد تعريف سمك الإزاحة الحرارية للتدفق غير القابل للانضغاط على تكامل درجة الحرارة المختزلة:

${\displaystyle {\beta ^{*}}=\int _{0}^{\infty }{\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

حيث تكون درجة الحرارة عديمة الأبعاد${\displaystyle \theta (x,y)=(T(x,y)-T_{0})/(T_{s}-T_{0})}$في نفق الرياح ، يتم الحصول على بيانات السرعة ودرجة الحرارة عن طريق قياس السرعة ودرجة الحرارة عند العديد من النقاط المنفصلة.${\displaystyle y}$- القيم عند قيمة ثابتة${\displaystyle x}$-الموضع. يمكن بعد ذلك تقدير سمك الإزاحة الحرارية عن طريق التكامل العددي لملف تعريف درجة الحرارة المُقاس.

تستخدم طريقة العزوم، الشائعة الاستخدام لوصف التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي، طريقةً حديثة نسبيًا ^{[ 7 ] [ 8 ]} لوصف سُمك وشكل الطبقة الحدية الحرارية . وقد طُوّرت هذه الطريقة انطلاقًا من ملاحظة أن رسم المشتقة الثانية للملف الحراري للجريان الصفائحي فوق صفيحة يشبه إلى حد كبير منحنى التوزيع الغاوسي ^{[ 9 ]} . ومن السهل تحويل الملف الحراري المُقاس بشكل مناسب إلى نواة تكاملية ملائمة.

تُعرَّف العزوم المركزية للملف الحراري على النحو التالي:

${\displaystyle {\xi _{n}}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{(y-m_{T})^{n}\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

حيث الموقع المتوسط،${\displaystyle m_{T}}$، ويتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle m_{T}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{y\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

توجد بعض المزايا لإدراج وصف لعزوم مشتقات ملف تعريف الطبقة الحدية بالنسبة للارتفاع فوق الجدار. لنأخذ على سبيل المثال العزوم المركزية لملف تعريف درجة الحرارة للمشتق الأول المعطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\epsilon _{n}}=\int _{0}^{\infty }{(y-{\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \over dy}\mathrm {d} y}}$

حيث يكون الموقع المتوسط ​​هو سمك الإزاحة الحرارية${\displaystyle \beta ^{*}}$.

وأخيرًا، تُعطى العزوم المركزية لملف تعريف درجة الحرارة للمشتقة الثانية بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\phi _{n}}=\mu _{T}\int _{0}^{\infty }(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y}}$

حيث الموقع المتوسط،${\displaystyle \mu _{T}}$، ويتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle {1 \over \mu _{T}}=-\left({\frac {d\theta (x,y)}{dy}}\right)_{y=0}}$

بعد تحديد العزوم وموقع المتوسط ​​الحراري، يمكن وصف سُمك الطبقة الحدية وشكلها بدلالة عرض الطبقة الحدية الحرارية ( التباين )، والانحرافات الحرارية ، والفائض الحراري ( التفرطح الزائد ). بالنسبة لحل بولهاوزن للجريان الصفائحي على صفيحة مسطحة ساخنة، ^{[ 10 ]} وُجد أن سُمك الطبقة الحدية الحرارية يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \delta _{T}=m_{T}+4\sigma _{T}}$أين${\displaystyle \sigma _{T}=\xi _{2}^{1/2}}$، يتتبع سمك 99% بشكل جيد للغاية. ^{[ 11 ]}

في حالة التدفق الصفائحي، تعطي حالات العزم الثلاث المختلفة قيمًا متقاربة لسمك الطبقة الحدية الحرارية. أما في حالة التدفق المضطرب، فيمكن تقسيم الطبقة الحدية الحرارية إلى منطقة قريبة من الجدار حيث يكون الانتشار الحراري مهمًا، ومنطقة خارجية حيث تكاد تنعدم تأثيرات الانتشار الحراري. وبالاستناد إلى معادلة توازن طاقة الطبقة الحدية ، فإن مشتقات العزم للطبقة الحدية من الدرجة الثانية،${\displaystyle {\phi _{n}}}$تتبع سمك وشكل ذلك الجزء من الطبقة الحدية الحرارية حيث تكون الانتشارية الحرارية${\displaystyle {\alpha }}$يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية. ومن ثمّ، تُتيح طريقة العزم إمكانية تتبّع وتحديد المنطقة التي يكون فيها الانتشار الحراري مهمًا باستخدام${\displaystyle {\phi _{n}}}$لحظات بينما يتم تتبع طبقة الحدود الحرارية الكلية باستخدام${\displaystyle {\epsilon _{n}}}$و${\displaystyle {\xi _{n}}}$لحظات.

يتم تبسيط حساب العزوم التفاضلية دون الحاجة إلى أخذ المشتقات باستخدام التكامل بالتجزئة لتقليل العزوم إلى تكاملات بسيطة تعتمد على نواة سمك الإزاحة الحرارية:

${\displaystyle {k_{n}}=\int _{0}^{\infty }{y^{n}\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

وهذا يعني أنه يمكن حساب معامل التواء المشتقة الثانية، على سبيل المثال، على النحو التالي:

$$$

• هيرمان شليشتينغ، نظرية الطبقة الحدية ، الطبعة السابعة، ماكجرو هيل، 1979.
• فرانك إم. وايت، ميكانيكا الموائع ، ماكجرو هيل، الطبعة الخامسة، 2003.
• أمير فغري، يوين تشانغ، وجون هاول، نقل الحرارة والكتلة المتقدم ، دار النشر العالمية الرقمية، رقم ISBN 978-0-9842760-0-4، 2010.

• شليشتينغ، هيرمان (1979). نظرية الطبقة الحدية ، الطبعة السابعة، ماكجرو هيل، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية
• ويبورن، ديفيد (2006). "وصف رياضي لطبقة الحدود السائلة"، الرياضيات التطبيقية والحساب، المجلد 175، الصفحات  1675-1684
• ويبورن، ديفيد (2018). "معاملات جديدة للسمك والشكل لوصف الطبقة الحدية الحرارية"، arXiv:1704.01120[physics.flu-dyn]