قانون تيتيوس-بود

قانون تيتيوس -بود (أو قانون بود اختصارًا ) هو صيغة رياضية تتنبأ بالمسافة بين الكواكب في أي نظام كوكبي . تشير هذه الصيغة إلى أنه كلما اتجهنا للخارج، يجب أن يكون كل كوكب على بُعد ضعف المسافة التي يبعدها الكوكب الذي يسبقه عن الشمس تقريبًا. وقد تنبأت هذه الفرضية بشكل صحيح بمدارات سيريس (في حزام الكويكبات ) وأورانوس ، لكنها فشلت في التنبؤ بمدار نبتون . سُمي هذا القانون نسبةً إلى يوهان دانيال تيتيوس ويوهان إيلرت بود .

قدّمت أعمال لاحقة لماري أديلا بلاغ ودي إي ريتشاردسون تنقيحًا كبيرًا للصيغة الأصلية، وقدّمت تنبؤات تمّ التحقق من صحتها لاحقًا من خلال اكتشافات وملاحظات جديدة. هذه الصياغات الجديدة هي التي تُقدّم "أفضل تمثيلات ظاهراتية للمسافات التي يمكن من خلالها دراسة الأهمية النظرية لقوانين تيتيوس-بود". ^{[ 1 ]}

يربط القانون بين المحور شبه الرئيسي${\displaystyle a_{n}}$نسبة دوران كل كوكب بعيدًا عن الشمس بوحدات بحيث يكون نصف المحور الأكبر للأرض مساويًا لـ 10:$${\displaystyle a=4+x}$$أين${\displaystyle x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots }$بحيث تكون كل قيمة، باستثناء الخطوة الأولى، ضعف القيمة السابقة. وهناك تمثيل آخر للصيغة:$${\displaystyle a=4+3\times 2^{n}}$$أين${\displaystyle n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.}$يمكن قسمة القيم الناتجة على 10 لتحويلها إلى وحدات فلكية ( au )، مما ينتج عنه التعبير التالي:$${\displaystyle a=0.4+0.3\times 2^{n}.}$$بالنسبة للكواكب الخارجية البعيدة، ما وراء زحل ، يُتوقع أن يكون كل كوكب على بُعدٍ من الشمس ضعف بُعد الكوكب السابق له تقريبًا. فبينما يتوقع قانون تيتيوس-بود أن يكون ^زحل وأورانوس ونبتون وبلوتو على بُعد 10 و20 و 39 و77 وحدة فلكية على ^{التوالي} ، فإن القيم الفعلية أقرب إلى 10 و19 و30 و40 ^وحدة فلكية .  

الشكل "الكلاسيكي" (القانوني) لقانون تيتيوس-بودي هو${\displaystyle a_{n}=0.4+0.3\times 2^{n}}$. لهذه الصيغة أيضاً شكل "تكراري":${\displaystyle a_{n+1}=2\times a_{n}-0.4}$، أين${\displaystyle a_{0}=0.55.}$

أول ذكر لسلسلة تقارب قانون بود موجود في كتاب مدرسي من تأليف د. غريغوري (1715): ^{[ 2 ]}

... بافتراض تقسيم المسافة بين الأرض والشمس إلى عشرة أجزاء متساوية، فإن المسافة بين عطارد والشمس ستكون حوالي أربعة، وبين الزهرة سبعة، وبين المريخ خمسة عشر، وبين المشتري اثنين وخمسين، وبين زحل خمسة وتسعين. ^{[ 3 ]}

تظهر جملة مماثلة، من المحتمل أنها أعيدت صياغتها من غريغوري (1715)، ^{[ 2 ] [ 3 ]} في عمل نشره سي. وولف في عام 1724.

في عام 1764، كتب سي. بونيه : ^{[ 4 ]}

نعرف سبعة عشر كوكبًا [أي الكواكب الرئيسية وأقمارها] تدخل في تكوين نظامنا الشمسي؛ لكننا لسنا متأكدين من عدم وجود المزيد. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

أضاف جيه دي تيتيوس ، في ترجمته لعمل بونيه عام ١٧٦٦، فقرتين من تأليفه إلى العبارة المذكورة أعلاه. وُضِعَت الإضافتان في أسفل الصفحة  ٧ وأعلى الصفحة  ٨. لا توجد هذه الفقرة الجديدة في النص الفرنسي الأصلي لبونيه، ولا في ترجمات العمل إلى الإيطالية والإنجليزية.

يتألف النص المُدرج لتيتيوس من جزأين. يشرح الجزء الأول تسلسل المسافات بين الكواكب والشمس:

لاحظ المسافات بين الكواكب، وستلاحظ أن معظمها يفصل بينها نسبة تتناسب مع حجمها. قسّم المسافة من الشمس إلى زحل إلى 100 جزء؛ ستجد أن عطارد يفصله عن الشمس أربعة أجزاء، والزهرة 7 أجزاء (4 + 3)، والأرض 10 أجزاء (4 + 6)، والمريخ 16 جزءًا (4 + 12). لكن لاحظ أن المسافة من المريخ إلى المشتري تختلف عن هذا التدرج الدقيق. فمن المريخ، توجد مسافة 28 جزءًا (4 + 24)، لكن لم يُرصد أي كوكب هناك حتى الآن. فهل كان من المفترض أن يترك الخالق هذه المسافة فارغة؟ بالطبع لا. فلنفترض إذن أن هذه المسافة تخص أقمار المريخ التي لم تُكتشف بعد، ولنضف أيضًا أن المشتري ربما لا يزال يحيط به بعض الأقمار الأصغر التي لم يرصدها أي تلسكوب بعد. وإلى جانب هذا الفضاء الذي لا يزال غير مستكشف بالنسبة لنا، ترتفع دائرة تأثير كوكب المشتري عند 4+48=52 جزءًا؛ ودائرة تأثير كوكب زحل عند 4+96=100 جزءًا.

في عام 1772، نشر جيه إي بود ، الذي كان يبلغ من العمر آنذاك خمسة وعشرين عامًا، موسوعة فلكية، ^{[ 5 ]} أدرج فيها الحاشية التالية، مستشهدًا بتيتيوس (في الطبعات اللاحقة): ^{[ ب ] [ 6 ]}

يبدو أن هذه النقطة الأخيرة تنبع تحديدًا من العلاقة المذهلة التي تربط الكواكب الستة المعروفة بمسافاتها عن الشمس. لنفترض أن المسافة بين الشمس وزحل هي 100، فإن عطارد يفصله عن الشمس 4 أجزاء من هذا المقدار. الزهرة 4 + 3 = 7. الأرض 4 + 6 = 10. المريخ 4 + 12 = 16. الآن، تظهر فجوة في هذا التسلسل المنتظم. فبعد المريخ، توجد مسافة 4 + 24 = 28 جزءًا، لم يُرصد فيها أي كوكب بعد. هل يُعقل أن يكون خالق الكون قد ترك هذه المسافة فارغة؟ بالطبع لا. من هنا، نصل إلى مسافة المشتري بـ 4 + 48 = 52 جزءًا، وأخيرًا إلى مسافة زحل بـ 4 + 96 = 100 جزء. ^{[ 6 ]}

يبدو أن هاتين العبارتين، على الرغم من تعبيرهما الغريب، ومن أنصاف الأقطار المستخدمة للمدارات، تنبعان من خوارزمية قديمة وضعها أحد علماء الكونيات . ^{[ ج ]}

وُجدت العديد من السوابق التي تعود إلى ما قبل القرن السابع عشر. كان تيتيوس تلميذًا للفيلسوف الألماني سي. إف. فون وولف (1679-1754)، والجزء الثاني من النص الذي أدرجه تيتيوس في عمل بونيه موجود في كتاب لفون وولف (1723)، ^{[ 7 ]} مما يشير إلى أن تيتيوس تعلم هذه العلاقة منه. تُنسب مؤلفات القرن العشرين حول قانون تيتيوس-بودي إلى فون وولف. كتب د. غريغوري (1702) نسخةً سابقةً ^{[ 8 ]} ، حيث حوّل فيها تسلسل المسافات الكوكبية 4، 7، 10، 16، 52، و100 إلى متوالية هندسية بنسبة 2. هذه هي أقرب صيغة نيوتنية، والتي استشهد بها أيضًا بنيامين مارتن (1747) ^{[ 9 ]} وتوماس سيردا (حوالي 1760) ^{[ 10 ]} قبل سنوات من ترجمة تيتيوس الموسعة لكتاب بونيه إلى الألمانية (1766). على مدى القرنين التاليين، استمر مؤلفون لاحقون في تقديم نسخهم المعدلة، على ما يبدو دون علمهم بالأعمال السابقة. ^{[ 1 ]}    

كان تيتيوس وبودي يأملان أن يؤدي هذا القانون إلى اكتشاف كواكب جديدة، وبالفعل ساهم اكتشاف أورانوس وسيريس - اللذين تتوافق مسافتهما مع القانون - في شهرة هذا القانون. إلا أن مسافة نبتون كانت مختلفة تمامًا، وفي الواقع، يقع بلوتو - الذي لم يعد يُعتبر كوكبًا - على مسافة متوسطة تُقارب تلك التي تنبأ بها قانون تيتيوس-بودي للكوكب التالي لأورانوس.

عند نشر القانون لأول مرة، كان ينطبق تقريبًا على جميع الكواكب المعروفة آنذاك - أي من عطارد إلى زحل - مع وجود فجوة بين الكوكبين الرابع والخامس. اقترح فيكاريوس (يوهان فريدريش) وورم (1787) نسخة معدلة من قانون تيتيوس-بود تأخذ في الحسبان الأقمار المعروفة آنذاك لكوكبي المشتري وزحل، وتنبأت بشكل أفضل بمسافة عطارد. ^{[ 11 ]}

كان يُنظر إلى قانون تيتيوس-بود على أنه مثير للاهتمام، ولكنه لم يكن ذا أهمية كبيرة حتى اكتشاف أورانوس عام 1781، والذي يتطابق تقريبًا مع هذا القانون. وبناءً على هذا الاكتشاف، حثّ بود معاصريه على البحث عن كوكب خامس. وفي عام 1801، تم العثور على سيريس ، أكبر جرم في حزام الكويكبات ، في الموقع الذي توقعه بود.

كان قانون بود مقبولاً على نطاق واسع آنذاك، إلى أن اكتُشف نبتون عام ١٨٤٦ في موقع لا يتوافق مع القانون. في الوقت نفسه، وبسبب العدد الكبير من الكويكبات المكتشفة في حزام الكويكبات ، لم يعد سيريس يُعتبر كوكبًا رئيسيًا. وفي عام ١٨٩٨، استخدم عالم الفلك والمنطق تشارلز  ساندرز بيرس قانون بود كمثال على المغالطة المنطقية. ^{[ ١٢ ]}

أدى اكتشاف بلوتو عام 1930 إلى زيادة تعقيد المسألة: فمع أنه لم يكن قريبًا من موقعه المتوقع وفقًا لقانون بود، إلا أنه كان قريبًا جدًا من الموقع الذي حدده القانون لنبتون. ثم جاء اكتشاف حزام كايبر ، ولا سيما جرم إيريس ، الذي يفوق بلوتو في كتلته ولكنه لا يتوافق مع قانون بود، ليزيد من دحض هذه المعادلة. ^{[ 13 ]}

يتنبأ قانون تيتيوس-بودي بوجود الكواكب على مسافات محددة بالوحدات الفلكية ، والتي يمكن مقارنتها بالبيانات المرصودة للكواكب وكوكبين قزمين في النظام الشمسي:

م	ك	مسافة قاعدة T–B (وحدة فلكية)	كوكب	المحور شبه الرئيسي (AU)	الانحراف عن التوقع 1
${\displaystyle -\infty }$	0	0.4	الزئبق	0.39	-3.23%
0	1	0.7	الزهرة	0.72	+3.33%
1	2	1.0	أرض	1.00	0.00%
2	4	1.6	المريخ	1.52	-4.77%
3	8	2.8	سيريس 2	2.77	-1.16%
4	16	5.2	كوكب المشتري	5.20	+0.05%
5	32	10.0	زحل	9.58	-4.42%
6	64	19.6	أورانوس	19.22	-1.95%
–	–	–	نبتون	30.07	–
7	128	38.8	بلوتو 2	39.48	+1.02%

في عام 1913، أعادت إم. إيه. بلاغ ، عالمة الفلك بجامعة أكسفورد، النظر في القانون. ^{[ 14 ]} حللت مدارات النظام الكوكبي ومدارات الأنظمة التابعة للكواكب الغازية العملاقة الخارجية، المشتري وزحل وأورانوس. فحصت لوغاريتم المسافات، محاولةً إيجاد أفضل فرق "متوسط". أسفر تحليلها عن صيغة مختلفة:

$${\displaystyle {\mathsf {distance}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}.}$$لاحظ على وجه الخصوص أنه في صيغة بلاغ، تم تمثيل قانون النظام الشمسي بشكل أفضل من خلال تقدم في 1.7275 ، بدلاً من القيمة الأصلية 2 التي استخدمها تيتيوس وبودي وآخرون.

قام بلاغ بفحص نظام الأقمار الصناعية لكوكب المشتري وزحل وأورانوس ، واكتشف نفس نسبة التقدم 1.7275 في كل منها .

مع ذلك، لم يُذكر الشكل النهائي لدالة التصحيح f في ورقة بلاغ البحثية عام 1913، حيث أشار بلاغ إلى أن الأرقام التجريبية المُقدمة كانت لأغراض التوضيح فقط. وقد قُدِّم الشكل التجريبي على هيئة رسم بياني (ويعود سبب تطابق النقاط على المنحنى مع البيانات التجريبية، بالنسبة للأجسام المكتشفة قبل عام 1913، إلى أنها تمثل البيانات التجريبية نفسها).

تبين أن إيجاد صيغة تتطابق بدقة مع المنحنى التجريبي أمر صعب. وقد أسفر تحليل فورييه للشكل عن التقريب التالي المكون من سبعة حدود: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\bigl (}\theta {\bigr )}&=0.4594+0.396\cos \!{\bigl (}\theta -27.4^{\circ }{\bigr )}+0.168\cos \!{\bigl (}2(\theta -60.4^{\circ }){\bigr )}+0.062\cos \!{\bigl (}3(\theta -28.1^{\circ }){\bigr )}+\\&{\phantom {=0.4594}}+0.053\cos \!{\bigl (}4(\theta -77.2^{\circ }){\bigr )}+0.009\cos \!{\bigl (}5(\theta -22^{\circ }){\bigr )}+0.012\cos \!{\bigl (}7(\theta -40.4^{\circ }){\bigr )}.\end{aligned}}}$$بعد مزيد من التحليل، قدمت بلاغ الصيغة الأبسط التالية؛ إلا أن ثمن هذه الصيغة المبسطة هو أنها تُنتج مطابقة أقل دقة للبيانات التجريبية. وقد قدمت بلاغ الصيغة في ورقتها البحثية بصيغة غير مُعَيَّرة، مما يجعل الأحجام النسبية لـ A و B و f غامضة؛ وهي معروضة هنا بصيغة مُعَيَّرة (أي أن هذه النسخة من f مُقاسة لإنتاج قيم تتراوح من 0 إلى 1 ، شاملةً): ^{[ 15 ]}$${\displaystyle f{\bigl (}\theta {\bigr )}=0.249+0.860\left({\frac {\cos \Psi }{3-\cos \!\left(2\Psi \right)}}+{\frac {1}{6-4\cos \!\left(2\Psi -60^{\circ }\right)}}\right),}$$أين${\displaystyle \Psi \equiv \theta -27.5^{\circ }.}$ لا يتم استخدام أي من هاتين الصيغتين للدالة f في الحسابات أدناه: تستند الحسابات هنا إلى رسم بياني للدالة f تم رسمه بناءً على البيانات المرصودة.

نُشرت ورقتها البحثية عام 1913، وطواها النسيان حتى عام 1953، عندما عثر عليها إيه إي روي أثناء بحثه في مشكلة أخرى. ^{[ 16 ]} لاحظ روي أن بلاغ نفسها اقترحت أن معادلتها يمكن أن تعطي متوسط ​​المسافات التقريبية لأجرام أخرى لم تكن قد اكتُشفت بعد في عام 1913. ومنذ ذلك الحين، تم اكتشاف ستة أجرام في ثلاثة أنظمة درستها بلاغ: بلوتو ، وسينوب ( المشتري  التاسع )، وليسيثيا ( المشتري العاشر )  ، وكارمي ( المشتري  الحادي عشر )، وأنانكي ( المشتري  الثاني عشر )، وميراندا ( أورانوس  الخامس ).

وجد روي أن جميع الأجرام الستة تتطابق بشكل كبير. قد يكون هذا مبالغة: فمن بين هذه الأجرام الستة، كان أربعة منها تتشارك مواقعها مع أجرام معروفة بالفعل في عام 1913؛ أما بالنسبة للجرمين الآخرين، فقد كانت هناك زيادة في التقدير بنسبة 6% تقريبًا لكوكب بلوتو؛ وفي وقت لاحق، تبين وجود نقص في التقدير بنسبة 6% لكوكب ميراندا. ^{[ 15 ]}

في مقال نُشر عام 1945 في مجلة علم الفلك الشعبي ، ^{[ 17 ]} توصل الكاتب العلمي دي إي ريتشاردسون، على ما يبدو، بشكل مستقل إلى نفس استنتاج بلاغ: أن نسبة التتابع هي 1.728 وليست 2. ويأتي قانون التباعد الخاص به على النحو التالي:$${\displaystyle R_{n}={\bigl (}1.728{\bigr )}^{n}\varrho _{n}(\theta _{n}),}$$أين${\displaystyle \varrho _{n}}$هي دالة تذبذبية ذات دورة${\displaystyle 2\pi }$، تمثل المسافات${\displaystyle \varrho _{n}}$من نقطة أصل غير مركزية إلى نقاط على شكل قطع ناقص.

أشار نيتو، الذي أجرى أول مراجعة شاملة حديثة لقانون تيتيوس-بودي، ^{[ 18 ]} إلى أن "التأثير النفسي للقانون على علم الفلك كان قوياً لدرجة أن الناس كانوا يميلون دائماً إلى اعتبار شكله الأصلي هو الشكل الذي تُبنى عليه النظريات". وأكد بشدة على أن "النظريات المستقبلية يجب أن تتخلص من التحيز المتمثل في محاولة تفسير نسبة تقدم تبلغ 2".

من الأمور التي يجب التأكيد عليها ضرورة التخلي عن التحيز التاريخي نحو نسبة تقدم تبلغ 2. ينبغي أن يكون واضحًا أن الصيغة الأولى لتيتيوس (بحدها الأول غير المتناظر) تُعتبر تخمينًا أوليًا جيدًا . بالتأكيد، لا ينبغي اعتبارها بالضرورة أفضل تخمين يُستند إليه في بناء النظريات. لكن في علم الفلك، للتاريخ تأثير كبير... على الرغم من أن الرقم 1.73 أفضل بكثير، إلا أن علماء الفلك ما زالوا متمسكين بالرقم الأصلي 2. ^{[ 1 ]}

لا يوجد تفسير نظري متين لقانون تيتيوس-بود، ولكن من الممكن، في ظل اجتماع الرنين المداري ونقص درجات الحرية ، أن يكون لأي نظام كوكبي مستقر احتمال كبير لتحقيق علاقة من نوع تيتيوس-بود. ولأنه قد يكون مجرد مصادفة رياضية وليس "قانونًا طبيعيًا"، يُشار إليه أحيانًا بقاعدة بدلًا من "قانون". ^{[ 19 ]} ويؤكد عالم الفيزياء الفلكية آلان بوس أنه مجرد مصادفة، وأن مجلة إيكاروس لعلوم الكواكب لم تعد تقبل الأبحاث التي تحاول تقديم نسخ محسّنة من "القانون". ^{[ 13 ]}

يُؤدي الرنين المداري الناتج عن الأجرام السماوية الرئيسية التي تدور حول الشمس إلى تكوين مناطق حولها خالية من المدارات المستقرة طويلة الأمد. وتدعم نتائج محاكاة تكوين الكواكب فكرة أن نظامًا كوكبيًا مستقرًا يتم اختياره عشوائيًا من المرجح أن يُحقق قانون تيتيوس-بود. ^{[ 20 ]}

أظهر دوبرول وغرانر ^{[ 21 ] [ 22 ]} أن قواعد المسافة ذات قانون القوة يمكن أن تكون نتيجة لنماذج السحب المنهارة للأنظمة الكوكبية التي تمتلك تناظرين: التناظر الدوراني (أي أن السحابة ومحتوياتها متناظرة محوريًا) والتناظر القياسي (أي أن السحابة ومحتوياتها تبدو متشابهة على جميع المقاييس). ويُعدّ هذا الأخير سمةً للعديد من الظواهر التي يُعتقد أنها تلعب دورًا في تكوين الكواكب، مثل الاضطراب.

• قانون ديرموت
• فايثون (كوكب افتراضي)
• اللولب اللوغاريتمي
• ميستيريوم كوزموغرافيكوم

• ماثيوز، روبرت (9 أبريل 1994). "اليد الخفية التي باعدت بين الكواكب" . مجلة نيو ساينتست . ص  13.
• بيرديك، إتش جيه آر. "شرح قانون تيتيوس-بود" . النباتات والكواكب. كي بي إن . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2014. تم الاطلاع عليه في 26 يناير 2024 .– غامض وتأملي؛ انظر الرسوم البيانية المفقودة من الأرشيف
• باريس إي فاراس، رامون (2016). Distancias Planetarias y ley de Titius-Bode [ مسافات الكواكب وقانون Titius-Bode ] (PDF) (مقالة شعبية في علم الفلك) (بالإسبانية) . تم الاسترجاع 26 يناير 2024 .– تاريخ مشترك لقياسات المسافة وتطوير قانون تيتيوس، وعلماء الفلك البارزين المشاركين، وعرض من خلال الرسوم البيانية والنسب البسيطة للمسافات الحديثة بين الكواكب والأقمار الصناعية.