الانحناء المطلق الكلي

في الهندسة التفاضلية ، يُعرَّف الانحناء المطلق الكلي لمنحنى أملس بأنه عدد يُحسب بتكامل القيمة المطلقة للانحناء حول المنحنى. وهو كمية لا بُعدية ثابتة تحت تحويلات التشابه للمنحنى، ويمكن استخدامها لقياس مدى بُعد المنحنى عن كونه منحنى محدبًا . ^{[ 1 ]}

إذا تم تحديد منحنى الانحناء بواسطة طول قوسه ، فيمكن التعبير عن الانحناء المطلق الكلي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$

حيث يمثل s معامل طول القوس، و κ يمثل الانحناء. وهذا يكاد يكون مطابقًا لصيغة الانحناء الكلي ، ولكنه يختلف في استخدام القيمة المطلقة بدلًا من الانحناء الموجه. ^{[ 2 ]}

بما أن الانحناء الكلي لمنحنى مغلق بسيط في المستوى الإقليدي يساوي دائمًا 2π بالضبط ، فإن الانحناء المطلق الكلي لمنحنى مغلق بسيط يساوي دائمًا 2π على الأقل . وهو يساوي 2π بالضبط للمنحنى المحدب ، ويكون أكبر من 2π عندما يحتوي المنحنى على أي نقاط غير محدبة. ^{[ 2 ]} عندما يخضع منحنى مغلق بسيط أملس لتدفق تقصير المنحنى ، يتناقص انحناؤه المطلق الكلي بشكل رتيب حتى يصبح المنحنى محدبًا، وبعد ذلك يظل انحناؤه المطلق الكلي ثابتًا عند 2π حتى ينهار المنحنى إلى نقطة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يمكن تعريف الانحناء المطلق الكلي أيضًا للمنحنيات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وهو يساوي على الأقل 2π ( وهذا ما تنص عليه نظرية فينكل )، ولكنه قد يكون أكبر. إذا كان منحنى فضائي محاطًا بكرة، فإن الانحناء المطلق الكلي للكرة يساوي القيمة المتوقعة للإسقاط المركزي للمنحنى على مستوى مماس لنقطة عشوائية على الكرة. ^{[ 5 ]} ووفقًا لنظرية فاري-ميلنور ، يجب أن يكون لكل عقدة ملساء غير تافهة انحناء مطلق كلي أكبر من 4π . ^{[ 2 ]}