العقدة (الرياضيات)

يمكن إسقاط عقدة في ^{الفضاء ثلاثي الأبعاد} R³ (أو بديلًا في الكرة ثلاثية الأبعاد S³ ) على مستوى R² (أو كرة S² ). يكون هذا الإسقاط منتظمًا في أغلب الأحيان ، أي أنه أحادي في كل مكان، باستثناء عدد محدود من نقاط التقاطع، وهي إسقاطات لنقطتين فقط من العقدة، وهذه النقاط ليست على استقامة واحدة . في هذه الحالة، باختيار جانب الإسقاط، يمكن ترميز فئة التماثل للعقدة بالكامل ^من خلال إسقاطها المنتظم، وذلك بتسجيل معلومات بسيطة عن التراكب/التراكب عند نقاط التقاطع هذه. من منظور نظرية المخططات، يُعد الإسقاط المنتظم للعقدة، أو مخطط العقدة، مخططًا مستويًا رباعي التكافؤ برؤوس مزينة بالتراكب/التراكب. تُسمى التعديلات الموضعية لهذا المخطط، التي تسمح بالانتقال من مخطط إلى أي مخطط آخر لنفس العقدة (حتى التماثل المحيط بالمستوى)، بحركات ريديميستر .   

• 
  ريديميستر تحرك 1
• 
  نقلة ريديميستر 2
• 
  نقلة ريديميستر 3

العقدة المضلعة هي عقدة صورتها في الفضاء ^{ثلاثي الأبعاد} R³ هي اتحاد مجموعة منتهية من القطع المستقيمة . ^{[ 6 ]} العقدة المروضة هي أي عقدة مكافئة للعقدة المضلعة. ^{[ 6 ] [ ملاحظة 2 ]} تُسمى العقد غير المروضة بالعقد الجامحة ، ^{[ 7 ]} وقد تُظهر سلوكًا شاذًا . ^{[ 7 ]} في نظرية العقد ونظرية الفضاء ثلاثي الأبعاد ، غالبًا ما تُحذف صفة "مروضة". فالعقد الملساء، على سبيل المثال، تكون دائمًا مروضة.

العقدة المؤطرة هي امتداد لعقدة عادية إلى تضمين الطارة الصلبة D ² × S ¹ في S ³ .

يُعرَّف تأطير العقدة بأنه عدد الروابط بين صورة الشريط I × S ¹ والعقدة. ويمكن اعتبار العقدة المؤطرة بمثابة الشريط المُضمَّن، ويُعرَّف التأطير بأنه عدد اللفات (المُوَقَّع). ^{[ 8 ]} يُعمَّم هذا التعريف ليشمل تعريفًا مُماثلًا للروابط المؤطرة . وتُعتبر الروابط المؤطرة مُتكافئة إذا كانت امتداداتها إلى الأسطح الصلبة متماثلة النظائر.

مخططات الوصلات المؤطرة هي مخططات وصلات يُشار فيها إلى كل مكون، للدلالة على التأطير، برقم صحيح يمثل ميلًا بالنسبة لخط الزوال وخط الطول المفضل. إحدى الطرق الشائعة لعرض مخطط وصلة بدون علامات على أنه يمثل وصلة مؤطرة هي استخدام تأطير السبورة . يُحصل على هذا التأطير بتحويل كل مكون إلى شريط مسطح على المستوى. من الواضح أن حركة ريديميستر من النوع الأول تُغير تأطير السبورة (فهي تُغير عدد اللفات في الشريط)، لكن الحركتين الأخريين لا تُغيرانه. استبدال حركة النوع الأول بحركة معدلة من النوع الأول يُعطي نتيجة لمخططات الوصلات ذات تأطير السبورة مشابهة لنظرية ريديميستر: تمثل مخططات الوصلات، ذات تأطير السبورة، وصلات مؤطرة متكافئة إذا وفقط إذا كانت متصلة بتسلسل من حركات (معدلة) من النوع الأول والثاني والثالث. عند إعطاء عقدة، يمكن تعريف عدد لا نهائي من التأطيرات عليها. لنفترض أن لدينا عقدة ذات تأطير ثابت. يمكن الحصول على إطار جديد من الإطار الحالي عن طريق قص شريط ولفه حول العقدة بمقدار مضاعف صحيح لـ 2π، ثم إعادة لصقه في مكان القص. بهذه الطريقة، نحصل على إطار جديد من إطار قديم، وصولاً إلى علاقة التكافؤ للعقد المؤطرة، مع تثبيت العقدة. ^{[ 9 ]} يرتبط الإطار في هذا السياق بعدد لفات حقل المتجهات حول العقدة. معرفة عدد مرات لف حقل المتجهات حول العقدة تُمكّن من تحديد حقل المتجهات حتى التماثل التفاضلي، وتُحدد فئة تكافؤ الإطار بالكامل بواسطة هذا العدد الصحيح المسمى عدد الإطار.

بالنظر إلى عقدة في الكرة ثلاثية الأبعاد، فإن مكمل العقدة هو جميع نقاط الكرة ثلاثية الأبعاد غير الموجودة في العقدة. تنص نظرية رئيسية لجوردون ولوك على أنه لا يوجد أكثر من عقدتين لهما مكملان متماثلان (العقدة الأصلية وانعكاسها المرآوي). وهذا في الواقع يحول دراسة العقد إلى دراسة مكملاتها، وبالتالي إلى نظرية الفضاءات ثلاثية الأبعاد . ^{[ 10 ]}

يُختزل تحليل JSJ ونظرية ثورستون للتضخيم دراسة العُقد في الكرة ثلاثية الأبعاد إلى دراسة مختلف المشعبات الهندسية عبر عمليات التوصيل أو العمليات التابعة . في العقدة الموضحة، يقسم تحليل JSJ المُكمِّل إلى اتحاد ثلاثة مشعبات: مُكمِّلان ثلاثي الفصوص ومُكمِّل حلقات بوروميان . يمتلك مُكمِّل ^ثلاثي الفصوص هندسة H² × R ، بينما يمتلك مُكمِّل حلقات بوروميان هندسة H³ ^.

تُسمى التمثيلات البارامترية للعُقد بالعُقد التوافقية. وقد جمع آرون تراوتوين تمثيلات بارامترية لجميع العُقد حتى تلك التي تحتوي على عدد تقاطعات يساوي 8، وذلك في أطروحته للدكتوراه. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

يترك${\displaystyle K_{1},K_{2}\subset S^{3}}$استخدم عقدتين موجهتين ومحكمتين. اختر عقدة بثلاث كرات.${\displaystyle B_{i}}$ذلك يلبي${\displaystyle K_{i}}$في قوس واحد غير معقود. قم بإزالة الجزء الداخلي من جوار قوس أصغر من كل كرة، لتحصل على زوج${\displaystyle (B_{i},K_{i}\cap B_{i})}$تتقاطع الكرة المحيطة بالعقدة في نقطتين. ويتكون المجموع المتصل من خلال لصق الأجزاء الخارجية.${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (B_{1})}$و${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (B_{2})}$على طول كراتها الحدودية عبر تماثل تماثلي يعكس الاتجاه، ويطابق نقاط نهاية الأقواس ويحافظ على الاتجاهات المعطاة. والنتيجة هي مرة أخرى${\displaystyle S^{3}}$، وصورة القوسين هي عقدة موجهة جديدة.

لا يعتمد البناء على اختيار الكرات أو الأقواس أو خريطة اللصق؛ فأي مجموعتين متصلتين من العقد ذات الاتجاه نفسه تكونان متماثلتين. عمليًا، غالبًا ما يتم رسم المجموع المتصل بأخذ مخططات العقدتين ، ثم قص قوس صغير من كل مخطط وتوصيل الأطراف السائبة دون إدخال تقاطعات جديدة، مع مراعاة الاتجاهات.

إذا لم تكن العقد موجهة، فقد تعتمد النتيجة على التوجيه النسبي، لأن بعض العقد غير قابلة للعكس. والممارسة المعتادة هي العمل مع العقد الموجهة.

• الوضوح :${\displaystyle K_{1}\#K_{2}}$هو نوع فريد من العقد الموجهة.
• التبادلية والتجميعية :${\displaystyle K_{1}\#K_{2}\cong K_{2}\#K_{1}}$و${\displaystyle (K_{1}\#K_{2})\#K_{3}\cong K_{1}\#(K_{2}\#K_{3})}$.
• هوية :${\displaystyle K\#O\cong K}$، أين${\displaystyle O}$يشير إلى العقدة غير المكتملة .
• لا يوجد معكوس : إذا${\displaystyle K}$ليس بالأمر التافه، لا توجد عقدة${\displaystyle J}$بحيث${\displaystyle K\#J\cong O}$وبالتالي، فإن أنواع العقد الموجهة تشكل أحاديًا، وليس مجموعة.
• الجنس : جنس العقدة هو جنس إضافي:${\displaystyle g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$وبالتالي فإن المجموع المتصل للعقد غير التافهة هو غير تافه.
• رقم التقاطع : رقم التقاطع هو رقم فرعي:${\displaystyle c(K_{1}\#K_{2})\leq c(K_{1})+c(K_{2})}$يبقى السؤال مطروحاً حول ما إذا كانت المساواة تتحقق دائماً.

تم تقديم تمثيل آخر ملائم لمخططات العقد ^{[ 13 ] [ 14 ]} بواسطة بيتر تيت في عام 1877. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

أي مخطط عقدي يُعرّف رسمًا بيانيًا مستويًا ، رؤوسه هي نقاط التقاطع، وحوافه هي المسارات بين نقاط التقاطع المتتالية. وجه واحد فقط من هذا الرسم البياني المستوي غير محدود؛ أما باقي الوجوه فهي متماثلة شكليًا مع قرص ثنائي الأبعاد . لوّن هذه الوجوه بالأسود أو الأبيض بحيث يكون الوجه غير المحدود أسود، وأي وجهين يشتركان في حافة حدودية لهما لونان متعاكسان. تنص نظرية منحنى جوردان على وجود تلوين واحد فقط من هذا النوع.

نُنشئ رسمًا بيانيًا مستويًا جديدًا، رؤوسه هي الوجوه البيضاء، وحوافه تُمثل نقاط التقاطع. يُمكننا تسمية كل حافة في هذا الرسم البياني بحافة يسرى أو حافة يمنى، بناءً على الخيط الذي يبدو أنه يمر فوق الآخر عند النظر إلى نقطة التقاطع المقابلة من إحدى نهايتي الحافة. ​​عادةً ما يُشار إلى الحواف اليسرى واليمنى بتسمية الحواف اليسرى بعلامة + والحواف اليمنى بعلامة -، أو برسم الحواف اليسرى بخطوط متصلة والحواف اليمنى بخطوط متقطعة.

يُعدّ مخطط العقدة الأصلي هو الرسم البياني المتوسط ​​لهذا الرسم البياني المستوي الجديد، حيث يُحدد نوع كل تقاطع بإشارة الحافة المقابلة. ويُقابل تغيير إشارة كل حافة عكس العقدة في مرآة .

في بُعدين، لا يمكن تضمين سوى الرسوم البيانية المستوية في المستوى الإقليدي دون تقاطعات، بينما في ثلاثة أبعاد، يمكن تضمين أي رسم بياني غير موجه في الفضاء دون تقاطعات. ومع ذلك، يُقدم نظير مكاني للرسوم البيانية المستوية من خلال الرسوم البيانية ذات التضمينات غير المرتبطة والتضمينات غير العقدية . التضمين غير المرتبط هو تضمين للرسم البياني بحيث تكون أي دورتين غير مرتبطتين ؛ أما التضمين غير العقدي فهو تضمين للرسم البياني بحيث تكون أي دورة منفردة غير عقدية . تتميز الرسوم البيانية ذات التضمينات غير المرتبطة بخاصية الرسوم البيانية المحظورة التي تتضمن عائلة بيترسن ، وهي مجموعة من سبعة رسوم بيانية مرتبطة جوهريًا: بغض النظر عن كيفية تضمينها، ستكون هناك دورتان مرتبطتان ببعضهما البعض. ^{[ 17 ]} لا يُعرف توصيف كامل للرسوم البيانية ذات التضمينات الخالية من العقد، ولكن الرسم _{البياني} الكامل K7 هو أحد الرسوم البيانية المحظورة الدنيا للتضمين الخالي من العقد: بغض النظر عن كيفية تضمين K7 _، فإنه سيحتوي على دورة تشكل عقدة ثلاثية الفصوص . ^{[ 18 ]}