نظرية برنشتاين حول الدوال الرتيبة

في التحليل الحقيقي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تنص نظرية برنشتاين ، نسبةً إلى سيرجي برنشتاين ، على أن كل دالة حقيقية ذات قيم على نصف المستقيم [ 0, ∞) وتكون رتيبة تمامًا هي مزيج من الدوال الأسية، أو بعبارة أخرى، هي تحويل لابلاس لمقياس بوريل موجب على [ 0, ∞) . في حالة خاصة مهمة، يكون المزيج متوسطًا مرجحًا ، أو قيمة متوقعة . تُعرف هذه النظرية أيضًا باسم نظرية برنشتاين-ويدر أو نظرية هاوسدورف-برنشتاين-ويدر .

أثبت برنشتاين هذه النتيجة لأول مرة عام 1928، ^{[ 1 ]} وناقش ديفيد ويدر نتائج مماثلة عام 1931 ^{[ 2 ]} ، مشيرًا إلى برنشتاين لكنه ذكر أن "المؤلف أكمل برهان هذه النظرية بعد بضعة أشهر من نشر ورقة برنشتاين دون أن يكون على دراية بوجودها". ويُعد كتاب ويدر الصادر عام 1941 بعنوان "تحويل لابلاس" المرجع الأكثر استشهادًا به. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وفي وقت لاحق ، قدم بوريس كورينبلوم برهانًا أبسط ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} . وفي نفس الفترة تقريبًا، درس غوستاف شوكيه المفهوم الأكثر عمومية للدوال الرتيبة على أنصاف الزمر، وقدم برهانًا أكثر تجريدًا ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} استنادًا إلى نظرية كرين-ميلمان . وكان فيليكس هاوسدورف قد وصف سابقًا المتتاليات الرتيبة تمامًا . هذه هي التسلسلات التي تحدث في مسألة عزم هاوسدورف .

تعني خاصية الرتابة التامة للدالة f أن f متصلة على الفترة [ 0, ∞) ، وقابلة للتفاضل بلا حدود على الفترة (0, ∞) ، وتحقق الشروط التالية :$${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0}$$لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة n ولجميع t > 0 .

يمكن وصف عبارة "المتوسط ​​المرجح" على النحو التالي: يوجد مقياس بوريل محدود غير سالب على [ 0, ∞) مع دالة التوزيع التراكمي g بحيث$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x),}$$التكامل هو تكامل ريمان -ستيلتيس .

تُسمى الدوال غير السالبة التي تكون مشتقتها رتيبة تمامًا بدوال برنشتاين . ^{[ 11 ]} لكل دالة برنشتاين تمثيل ليفي-خينتشين :$${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$$أين${\displaystyle a,b\geq 0}$و${\displaystyle \mu }$هو مقياس على نصف الخط الحقيقي الموجب بحيث$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}$$

تُعدّ نظرية شونبيرغ-ويليامسون (وتُسمى أيضًا نظرية شونبيرغ للدوال الرتيبة المتعددة، أو نظرية ويليامسون للتمثيل) النسخة ذات الرتبة المحدودة من نظرية برنشتاين. وتُحقق الدالة الرتيبة من الرتبة k (أو الرتيبة k مرة) ما يلي:$${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0\quad {\text{for}}\,\,\,0\leq n\leq k}$$تنص نظرية شونبيرج-ويليامسون على أن الدالة f تكون رتيبة من الدرجة k على الفترة (0, ∞) إذا وفقط إذا$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }(xt)_{+}^{k-1}\,d\mu (x)}$$لبعض التدابير الإيجابية${\displaystyle \mu }$على (0، ∞) .

تم نشر البرهان بواسطة ويليامسون في عام 1956 ^{[ 13 ]} ولكنه يذكر في ورقته البحثية أن "هذه الصيغة اكتشفها شونبيرج في عام 1940 ولكنها ظلت غير منشورة".

باستخدام متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle f}$مع الباقي الصحيح، يمكن إعطاء صيغة أكثر دقة ^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {tx}{n}}\right)_{+}^{n-1}f_{n}(x)\,dx}$$مع$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{x}}\right)^{n+1}f^{(n)}\left({\frac {n}{x}}\right)I(x>0)}$$أين${\displaystyle f^{(n)}(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}$و${\displaystyle I(x>0)}$هي وظيفة المؤشر لـ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$.

لاحظ إذن أنه إذا${\displaystyle f}$إذا كان الصوت رتيبًا تمامًا، فهو رتيب من الدرجة k لجميع الأصوات.${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$وتنص صيغة بوست-ويدر للانعكاس على أن${\displaystyle f_{n}}$تتقارب في التوزيع إلى${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \left(1-{\frac {tx}{n}}\right)_{+}^{n-1}}$يتقارب إلى${\displaystyle e^{-tx}}$مثل${\displaystyle n}$يؤول إلى اللانهاية، ونستعيد نظرية برنشتاين. ^{[ 14 ]}

• الدوال والمتتابعات الرتيبة تمامًا
• نظرية شوكيه
• نظرية كرين-ميلمان