طريقة نقل الطول

لتحديد المقاومة النوعية للتلامس${\displaystyle \rho _{C}}$تُرسب مجموعة من الوسادات المعدنية المستطيلة على سطح ركيزة أشباه الموصلات كما هو موضح في الصورة على اليمين. يمكن تحديد شكل الوسادات المستطيلة باستخدام الطباعة الضوئية، بينما يمكن ترسيب المعدن باستخدام الترسيب بالرش ، أو التبخير الحراري ، أو الترسيب الكيميائي . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

في الصورة على اليمين، المسافة بين الوسادات${\displaystyle d_{i}}$تزداد المقاومة من الأسفل إلى الأعلى. لذلك، عند قياس المقاومة بين نقاط التوصيل المتجاورة، تكون المقاومة الكلية${\displaystyle R_{Tot}}$ويزداد تبعًا لذلك كما هو موضح في الرسم البياني أسفل صورة الوسادات المعدنية. في هذا الرسم البياني، يمثل المحور الأفقي المسافة${\displaystyle d}$بين لوحين معدنيين متجاورين، بينما تمثل الدوائر قيم المقاومة المقاسة. المقاومة النوعية الكلية${\displaystyle R_{Tot}}$يمكن فصلها إلى مكون ناتج عن الركيزة شبه الموصلة غير المغطاة ومكون آخر يتوافق مع انخفاض الجهد في منطقتين مغطيتين بالمعدن. ويمكن وصف المكون الأول بالصيغة التالية:${\displaystyle {\frac {R_{S}}{Z}}d_{i}}$، بينما${\displaystyle R_{S}}$يمثل المقاومة السطحية لركيزة أشباه الموصلات و${\displaystyle Z}$عرض الوسادات المعدنية. أما المكون الآخر الذي يساهم في المقاومة الكلية فيرمز إليه بـ${\displaystyle 2R_{C}}$لأنه عند تحديد خصائص وسادتين متجاورتين، يجب مراعاة منطقتين معدنيتين متطابقتين. وهذا يعني أنه يمكن كتابة المقاومة الكلية بالشكل الوظيفي التالي، مع اعتبار المسافة بين الوسادتين${\displaystyle d}$كمتغير مستقل:

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{Z}}d+2R_{C}}$

إذا تم إهمال مساهمة الطبقة المعدنية نفسها،${\displaystyle R_{C}}$ينشأ هذا الانخفاض نتيجةً لانخفاض الجهد عند سطح التلامس بين المعدن وشبه الموصل، وكذلك في طبقة شبه الموصل الموجودة أسفله. وهذا يعني أنه أثناء قياس المقاومة الكلية، ينخفض ​​الجهد بشكل أُسّي (وبالتالي تنخفض كثافة التيار أيضًا ) في المناطق المعدنية (انظر أيضًا قسم النظرية لمزيد من التوضيح). ^{[ 8 ]} وكما هو موضح في القسم التالي من هذه المقالة، فإن معظم انخفاض الجهد أسفل الوسادة المعدنية يحدث ضمن طولها.${\displaystyle {\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}$والذي يُعرف بطول النقل${\displaystyle L_{T}}$[ ^{1 ] [ 4 ] [ 8 ] من الناحية الفيزيائية، يعني هذا أن الجزء الرئيسي من المساحة أسفل الموصل المعدني، الذي يدخل التيار من خلاله إلى المعدن عبر واجهة المعدن-شبه الموصل ،} يُعطى بطول النقل مضروبًا في عرض الوسادة.${\displaystyle Z}$يُوضح الشكل في هذا القسم هذه الحالة أيضًا، حيث يُمثل توزيع كثافة التيار أسفل لوحين معدنيين متجاورين أثناء قياس المقاومة باللون الأخضر. وبشكل عام، هذا يعني أنه (إذا كان طول اللوحة المعدنية${\displaystyle w}$(أكبر بكثير من طول النقل) بحيث تكون هناك علاقة بين${\displaystyle R_{C}}$و${\displaystyle \rho _{C}}$يمكن القول: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\rho _{C}}{ZL_{T}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$

منذ${\displaystyle R_{S}}$يمكن استخلاصها من خلال مطابقة خطية عبر نقاط البيانات و${\displaystyle R_{C}}$يمكن الحصول على تقدير لـ من نقطة تقاطع المحور الصادي للخط المستقيم المُلائم.${\displaystyle \rho _{C}}$هذا ممكن.

إن طريقة TLM الأصلية كما هو موضح أعلاه تعاني من عيب يتمثل في أن التيار لا يتدفق فقط داخل المنطقة المحددة بواسطة${\displaystyle d_{i}}$أوقات${\displaystyle Z}$وهذا يعني أن توزيع كثافة التيار ينتشر أيضًا إلى الجوانب الرأسية للوسادات المعدنية في الشكل الموجود في قسم TLM، وهي ظاهرة لم تُؤخذ في الاعتبار عند اشتقاق الصيغة التي تصف${\displaystyle R_{Tot}}$[ ^{4 ] [ 1 ]} لمعالجة هذه المشكلة الهندسية، بدلاً من الوسادات المعدنية المستطيلة، تم استخدام وسادات دائرية ذات نصف ^قطر${\displaystyle r_{i}}$تُستخدم هذه المواد التي تفصلها مسافة عن طبقة معدنية ثلاثية الأوجه${\displaystyle d=r_{o}-r_{i}}$(انظر الشكل إلى اليمين). عند قياس المقاومة الكلية بين الوسادة الدائرية والطلاء الهولوهيدرالي، تساهم ثلاثة مكونات مميزة في القيمة المقاسة، وهي مقاومة الفجوة.${\displaystyle R_{Gap}}$ومقاومات التلامس عند الطرفين الداخلي والخارجي لمنطقة الفجوة (${\displaystyle R_{i}}$و${\displaystyle R_{o}}$). ويُعبَّر عن ذلك بالصيغة التالية:

${\displaystyle R_{Tot}=R_{Gap}+R_{i}+R_{o}}$

كما سيتم استنتاجه في قسم النظرية، تعبير لـ${\displaystyle R_{Tot}}$وهذا يسمح باستخراج${\displaystyle \rho _{C}}$من البيانات التجريبية طالما${\displaystyle r_{i}}$أكبر بكثير من${\displaystyle L_{T}}$:

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$

على غرار طريقة TLM${\displaystyle R_{S}}$و${\displaystyle \rho _{C}}$يمكن الحصول على ذلك من خلال تحليل الانحدار الخطي المتعدد باستخدام أزواج البيانات من${\displaystyle R_{Tot}(d)}$و${\displaystyle d}$[ ^{1 ]​}

في القسم الأخير، تم تقديم المبدأ الأساسي لـ TLM، والآن نقدم المزيد من التفاصيل حول الخلفية النظرية. الهدف الرئيسي هنا هو إيجاد تعبير يربط الكمية القابلة للقياس${\displaystyle R_{C}}$مع مقاومة التلامس المحددة${\displaystyle \rho _{C}}$والذي يُراد تحديده باستخدام طريقة خط النقل (TLM). لذلك، توضح الصورة على اليمين شبكة مقاومة تصف الحالة عند تطبيق جهد كهربائي بين نقطتي توصيل معدنيتين متجاورتين. المقاومة (${\displaystyle {\frac {R_{S}d_{i}}{Z}}}$يُراعي الجزء الأوسط الجزء غير المغطى بالمعدن، بينما يصف الجزء المتبقي حالة الوسادات المعدنية. عناصر المقاومة الأفقية (${\displaystyle {\frac {R_{S}\Delta x}{Z}}}$تمثل ) المقاومة الناتجة عن الركيزة شبه الموصلة وعناصر المقاومة الرأسية (${\displaystyle {\frac {\rho _{C}}{Z\Delta x}}}$تأخذ هذه الحسابات في الاعتبار المقاومة الناتجة عن الطبقة البينية بين المعدن وشبه الموصل. في هذا الوصف، تصف أزواج من عناصر المقاومة الأفقية والرأسية الوضع داخل عنصر حجمي طوله${\displaystyle \Delta x}$في منطقة لوحة معدنية. تُستخدم هذه المنهجية أيضًا لاشتقاق معادلات التلغراف التي تُستخدم لوصف سلوك خطوط النقل . وبسبب هذا التشابه، تُسمى تقنية القياس الموصوفة في هذه المقالة غالبًا طريقة خط النقل. ^{[ 1 ]}

باستخدام قوانين كيرشوف للدائرة الكهربائية، يتم الحصول على التعبيرات التالية للجهد وكذلك للتيار داخل عنصر الطول المذكور أعلاه (المربع الموضح في الشكل في هذا القسم) لحالة مستقرة حيث لا يكون كل من الجهد والتيار دالة للوقت :

${\displaystyle V(x)={\frac {R_{S}\Delta xI(x)}{Z}}+V(x+\Delta x)}$

${\displaystyle I(x)={\frac {Z\Delta xV(x)}{\rho _{C}}}+I(x+\Delta x)}$

بأخذ الحد${\displaystyle \Delta x\to 0}$يتم الحصول على المعادلتين التفاضليتين التاليتين: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {Z}{\rho _{C}}}V(x)}$

يمكن فصل هاتين المعادلتين التفاضليتين المترابطتين عن طريق اشتقاق إحداهما بالنسبة إلى${\displaystyle x}$بحيث يمكن إدخال الآخر. وبذلك، نحصل في النهاية على معادلتين تفاضليتين لا تعتمدان على بعضهما البعض:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}I(x)}$

للمعادلتين التفاضليتين حلول على الصورة التالية${\displaystyle f(x)=Acosh(\alpha x)+Bsinh(\alpha x)}$حيث${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي ثوابت يجب تحديدها باستخدام شروط حدودية مناسبة و${\displaystyle \alpha }$يُعطى بواسطة${\displaystyle {\sqrt {R_{S}/\rho _{C}}}}$وهو معكوس طول النقل المحدد مسبقًا${\displaystyle L_{T}}$يمكن الحصول على شرطين حدوديين بتحديد الجهد والتيار عند بداية منطقة الوسادة المعدنية كما يلي:${\displaystyle V_{0}}$و${\displaystyle I_{0}}$على التوالي. وهذا يعني بشكل رسمي أن${\displaystyle V(x=0)=V_{0}}$و${\displaystyle I(x=0)=I_{0}}$عند استخدام الإعدادات الموضحة في الشكل في هذا القسم، وباستخدام زوج المعادلات التفاضلية المترابطة أعلاه، يتم الحصول على شرطين حدوديين إضافيين، وهما:${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I_{0}}$و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}V_{0}}$في النهاية، معادلتان تصفان الجهد والتيار كدالة للمسافة${\displaystyle x}$يتم الحصول عليها باستخدام الشروط الحدودية الأربعة المذكورة: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle V(x)=V_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {I_{0}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}{Z}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

${\displaystyle I(x)=I_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {V_{0}Z}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

عند إجراء القياس، يمكن افتراض عدم وجود تيار كهربائي يمر عند الطرف المقابل لكل وسادة معدنية، مما يعني بدوره أن${\displaystyle I(x=w)=0}$وهذا يسمح بمزيد من التحسين للمعادلة التي تصف الجهد عند استخدام العلاقة${\displaystyle \sinh(x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y}$:

${\displaystyle V(x)={\frac {I_{O}{\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}(w-x)\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}}$

تصف المعادلة الأخيرة انخفاض الجهد عبر المنطقة المغطاة بوسادة معدنية (قارن مع الشكل في هذا القسم). من خلال إدراك أن قيمة المقاومة${\displaystyle R_{C}}$يمكن التعبير عنها باستخدام${\displaystyle {\frac {V_{0}}{I_{0}}}}$وبوضع${\displaystyle x=0}$في الصيغة الأخيرة، يمكن إيجاد تعبير يرتبط${\displaystyle R_{C}}$إلى مقاومة التلامس المحددة${\displaystyle \rho _{C}}$:

${\displaystyle R_{C}={\frac {V_{0}}{I_{0}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}\coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$

تسمح المعادلة الأخيرة بحساب${\displaystyle \rho _{C}}$باستخدام البيانات التجريبية. منذ${\displaystyle \coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$يصبح 1 عندما${\displaystyle w}$يزداد وهو أكبر بكثير من طول النقل${\displaystyle L_{T}={\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}$غالباً ما يكون التقدير${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$يُستخدم هذا بدلاً من المساواة المشتقة حرفيًا. وهذا مطابق لما ذُكر في قسم الوصف العام. ^{[ 3 ] [ 8 ] [ 4 ]} باختصار، تم اشتقاق الجهد والتيار كدالة للمسافة في منطقة لوحة معدنية باستخدام نموذج مشابه لمعادلات التلغراف. وقد مكّن هذا من إيجاد تعبير يسمح بحساب مقاومة التلامس النوعية.${\displaystyle \rho _{C}}$من وصلة المعدن-شبه الموصل باستخدام الكميات التي تم العثور عليها تجريبياً${\displaystyle R_{C}}$و${\displaystyle R_{S}}$والعرض${\displaystyle Z}$من وسادة معدنية.

تعتمد فكرة اشتقاق المعادلات التفاضلية لطريقة c-TLM على نفس مبدأ طريقة TLM، ولكن مع استخدام الإحداثيات القطبية بدلاً من الإحداثيات الديكارتية . يؤدي هذا إلى تغيير شبكة المقاومات التي تصف المنطقة المغطاة بالمعدن، كما هو موضح في الشكل على اليمين. وكما هو الحال في طريقة TLM، وباستخدام قوانين كيرشوف للدوائر الكهربائية، نحصل على معادلتين تفاضليتين مترابطتين.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {R_{S}}{2\pi r}}I(r)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {2\pi r}{\rho _{C}}}V(r)}$

عندما يكون التيار${\displaystyle I}$يتم استبعاد معادلة مختلفة للجهد${\displaystyle V}$تم الحصول على: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}-{\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V=0}$

يُعطى الحل العام لهذا النوع من المعادلات التفاضلية على النحو التالي، حيث${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي ثوابت غير محددة و${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle {\sqrt {R_{S}/\rho _{C}}}}$الوظائف${\displaystyle I_{0}}$و${\displaystyle K_{0}}$هي دوال بيسل المعدلة من الرتبة الصفرية من النوع الأول والثاني على التوالي. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle V(r)=AI_{0}(\alpha r)+BK_{0}(\alpha r)}$

باستخدام المعادلات التفاضلية المقترنة أعلاه وقواعد التفاضل لدوال بيسل المعدلة (${\displaystyle I_{0}'(x)=I_{1}(x)}$،${\displaystyle K_{0}'(x)=-K_{1}(x)}$) ^{[ 11 ]} يمكن الحصول على تعبير للتيار. الدوال${\displaystyle I_{1}}$و${\displaystyle K_{1}}$هي دوال بيسل من الدرجة الأولى من النوع الأول والثاني على التوالي.

${\displaystyle I(r)=-{\frac {2\pi r}{R_{S}}}\left[A\alpha I_{1}(\alpha r)-B\alpha K_{1}(\alpha r)\right]}$

بعد الحصول على معادلات التيار والجهد، يجب إيجاد معادلات مقاومة التلامس عند الحدود الداخلية والخارجية لمنطقة الفجوة (قارن بالرسم التخطيطي لتوصيلات القياس المعدنية في القسم العام). تُعطى مقاومة التلامس عند الحد الداخلي بالعلاقة التالية:${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}}$وأثناء القياس، يكون التيار في منتصف الوسادة المعدنية الدائرية صفراً (${\displaystyle I(r=0)=0}$). بما أن دالة بيسل المعدلة${\displaystyle K_{0}(r)}$يميل إلى اللانهاية عندما${\displaystyle r}$يؤول إلى الصفر (انظر الأشكال إلى اليمين)، الثابت${\displaystyle B}$يجب أن تكون القيمة صفرًا لأن الجهد لا يمكن أن يكون لانهائيًا. وبناءً على ذلك، فإن مقاومة التلامس عند الحد الداخلي لمنطقة الفجوة تساوي:

${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{i}\alpha }}{\frac {I_{0}(\alpha r_{i})}{I_{1}(\alpha r_{i})}}}$

وبالمثل، يمكن إيجاد تعبير لمقاومة التلامس عند الحد الخارجي لمنطقة الفجوة عندما${\displaystyle r_{i}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle r_{o}}$(قارن بالرسم في القسم العام). هنا أيضًا، يمكن تحديد شرط حدودي للتيار، وهو:${\displaystyle I(r=\infty )=0}$هذا يعني أن قيمة A يجب أن تساوي صفرًا لأن الدالة${\displaystyle I_{0}(r)}$يؤول إلى اللانهاية (انظر الشكل إلى اليمين) عندما${\displaystyle r}$تؤول إلى اللانهاية. وهذا بدوره يعني أن مقاومة التلامس عند الحد الخارجي لمنطقة الفجوة تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle R_{o}={\frac {V(r_{o})}{|I(r_{o})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{o}\alpha }}{\frac {K_{0}(\alpha r_{o})}{K_{1}(\alpha r_{o})}}}$

المقاومة الناتجة عن مساحة الفجوة نفسها${\displaystyle R_{Gap}}$يمكن إيجادها من خلال النظر في المقاومة التفاضلية الأفقية${\displaystyle {\frac {R_{S}dr}{2\pi r}}}$في الشكل الموجود في هذا القسم، ومن خلال التكامل من${\displaystyle r_{i}}$ل${\displaystyle r_{o}}$بإضافة${\displaystyle R_{i}}$،${\displaystyle R_{o}}$و${\displaystyle R_{Gap}}$يمكن التعبير عن المقاومة الكلية بالصيغة التالية:

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[ln\left({\frac {r_{o}}{r_{i}}}\right)+{\frac {L_{T}}{r_{i}}}{\frac {I_{0}(r_{i}/L_{T})}{I_{1}(r_{i}/L_{T})}}+{\frac {L_{T}}{r_{o}}}{\frac {K_{0}(r_{o}/L_{T})}{K_{1}(r_{o}/L_{T})}}\right]}$

عندما يكون نصف القطر الخارجي والداخلي أكبر بكثير من طول النقل${\displaystyle L_{T}}$نواتج قسمة دوال بيسل المعدلة تساوي تقريبًا واحدًا. ^{[ 1 ]} وهذا يعني أنه عندما${\displaystyle r_{i}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle r_{o}-d}$نفس الصيغة لـ${\displaystyle R_{Tot}}$كما هو موضح في القسم العام، يمكن استخدامه للاستخراج.${\displaystyle R_{S}}$و${\displaystyle \rho _{C}}$من البيانات التجريبية:

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$