خط النقل

في الهندسة الكهربائية ، خط النقل هو كابل متخصص أو هيكل آخر مصمم لتوصيل الموجات الكهرومغناطيسية بطريقة محصورة. ينطبق المصطلح عندما تكون الموصلات طويلة بما يكفي بحيث يجب أخذ طبيعة الموجة في الاعتبار. ينطبق هذا بشكل خاص على هندسة الترددات الراديوية لأن الأطوال الموجية القصيرة تعني أن الظواهر الموجية تنشأ على مسافات قصيرة جدًا (يمكن أن تكون قصيرة مثل المليمترات اعتمادًا على التردد). ومع ذلك، تم تطوير نظرية خطوط النقل تاريخيًا لشرح الظواهر على خطوط التلغراف الطويلة جدًا، وخاصة كابلات التلغراف البحرية .

تُستخدم خطوط النقل لأغراض مثل توصيل أجهزة الإرسال والاستقبال اللاسلكية بهوائياتها ( يُطلق عليها بعد ذلك خطوط التغذية أو المغذيات)، وتوزيع إشارات التلفزيون الكبلي ، وخطوط الجذع لتوجيه المكالمات بين مراكز تبديل الهاتف، واتصالات شبكة الكمبيوتر وحافلات بيانات الكمبيوتر عالية السرعة . يستخدم مهندسو الترددات اللاسلكية عادةً قطعًا قصيرة من خطوط النقل، عادةً في شكل خطوط نقل مستوية مطبوعة ، مرتبة في أنماط معينة لبناء دوائر مثل المرشحات . هذه الدوائر، المعروفة باسم دوائر العناصر الموزعة ، هي بديل للدوائر التقليدية التي تستخدم المكثفات والمحثات المنفصلة .

تكفي الكابلات الكهربائية العادية لحمل التيار المتردد منخفض التردد (AC)، مثل الطاقة الرئيسية ، التي تعكس الاتجاه من 100 إلى 120 مرة في الثانية، وإشارات الصوت . ومع ذلك، لا تُستخدم عمومًا لحمل التيارات في نطاق التردد اللاسلكي ، ^[1] فوق حوالي 30 كيلو هرتز، لأن الطاقة تميل إلى الإشعاع من الكابل كموجات راديو ، مما يتسبب في فقد الطاقة. تميل تيارات التردد اللاسلكي أيضًا إلى الانعكاس من الانقطاعات في الكابل مثل الموصلات والمفاصل، وتنتقل إلى أسفل الكابل باتجاه المصدر. ^{[1] [2]} تعمل هذه الانعكاسات كاختناقات، مما يمنع طاقة الإشارة من الوصول إلى الوجهة. تستخدم خطوط النقل بنية متخصصة ومطابقة المعاوقة لنقل الإشارات الكهرومغناطيسية بأقل قدر من الانعكاسات وخسائر الطاقة. السمة المميزة لمعظم خطوط النقل هي أن لها أبعاد مقطعية موحدة على طولها، مما يمنحها معاوقة موحدة ، تسمى المعاوقة المميزة ، ^{[2] [3] [4]} لمنع الانعكاسات. تشمل أنواع خطوط النقل الخطوط المتوازية ( خطوط السلم ، والأزواج المجدولة )، والكابلات المحورية ، وخطوط النقل المستوية مثل الخطوط الشريطية والخطوط الدقيقة . ^{[5] [6]} كلما زاد تردد الموجات الكهرومغناطيسية التي تتحرك عبر كابل أو وسط معين، كلما كان طول موجة الموجات أقصر. تصبح خطوط النقل ضرورية عندما يكون طول موجة التردد المنقول قصيرًا بدرجة كافية بحيث يصبح طول الكابل جزءًا مهمًا من الطول الموجي.

عند ترددات الموجات الدقيقة وما فوق، تصبح خسائر الطاقة في خطوط النقل مفرطة، ويتم استخدام الموجهات الموجية بدلاً من ذلك، ^[1] والتي تعمل كـ "أنابيب" لحصر الموجات الكهرومغناطيسية وتوجيهها. ^[6] تُعرّف بعض المصادر الموجهات الموجية على أنها نوع من خطوط النقل؛ ^[6] ومع ذلك، لن تتضمنها هذه المقالة.

نشأ التحليل الرياضي لسلوك خطوط نقل الكهرباء من أعمال جيمس كليرك ماكسويل ، واللورد كلفن ، وأوليفر هيفسايد . في عام 1855، صاغ اللورد كلفن نموذج انتشار التيار في كابل بحري. تنبأ النموذج بشكل صحيح بالأداء الضعيف لكابل التلغراف البحري عبر المحيط الأطلسي عام 1858. في عام 1885، نشر هيفسايد أول أوراق بحثية وصفت تحليله لانتشار التيار في الكابلات والشكل الحديث لمعادلات التلغراف . ^[7]

ولأغراض التحليل، يمكن تصميم خط نقل كهربائي كشبكة ذات منفذين (وتسمى أيضًا شبكة رباعية الأقطاب)، على النحو التالي:

في أبسط الحالات، يُفترض أن الشبكة خطية (أي أن الجهد المركب عبر أي منفذ يتناسب مع التيار المركب المتدفق إليه عندما لا توجد انعكاسات)، ويُفترض أن المنفذين قابلان للتبادل. إذا كان خط النقل موحدًا على طوله، فسيتم وصف سلوكه إلى حد كبير من خلال معاملين يسمىان المعاوقة المميزة ، الرمز Z ₀ وتأخير الانتشار ، الرمز . Z ₀ هي نسبة الجهد المركب لموجة معينة إلى التيار المركب لنفس الموجة في أي نقطة على الخط. القيم النموذجية لـ Z ₀ هي 50 أو 75 أوم لكابل متحد المحور ، وحوالي 100 أوم لزوج مجدول من الأسلاك، وحوالي 300 أوم لنوع شائع من الزوج غير المجدول المستخدم في الإرسال اللاسلكي. تأخير الانتشار يتناسب مع طول خط النقل ولا يقل أبدًا عن الطول مقسومًا على سرعة الضوء . تختلف التأخيرات النموذجية لخطوط نقل الاتصالات الحديثة من${\displaystyle \tau _{p}}$3.33 نانوثانية/متر إلى5 نانوثانية/متر .

عند إرسال الطاقة عبر خط نقل، فمن المستحسن عادةً أن يتم امتصاص أكبر قدر ممكن من الطاقة بواسطة الحمل وأن يتم عكس أقل قدر ممكن إلى المصدر. ويمكن ضمان ذلك من خلال جعل معاوقة الحمل مساوية لـ Z ₀ ، وفي هذه الحالة يُقال إن خط النقل متطابق .

يتم فقد بعض الطاقة التي يتم تغذيتها في خط النقل بسبب مقاومته. يُطلق على هذا التأثير الخسارة الأومية أو المقاومة (انظر التسخين الأومي ). عند الترددات العالية، يصبح تأثير آخر يسمى الخسارة العازلة كبيرًا، مما يزيد من الخسائر الناجمة عن المقاومة. تحدث الخسارة العازلة عندما يمتص المادة العازلة داخل خط النقل الطاقة من المجال الكهربائي المتناوب ويحولها إلى حرارة (انظر التسخين العازل ). يتم تصميم خط النقل بمقاومة (R) ومحاثة (L) على التوالي مع سعة (C) وموصلية (G) على التوازي. تساهم المقاومة والموصلية في الخسارة في خط النقل.

غالبًا ما يتم تحديد إجمالي فقدان الطاقة في خط النقل بالديسيبل لكل متر (dB/m)، ويعتمد عادةً على تردد الإشارة. غالبًا ما يوفر المصنع مخططًا يوضح الخسارة بالديسيبل/m في نطاق من الترددات. يتوافق فقدان 3 ديسيبل تقريبًا مع نصف الطاقة.

غالبًا ما يتم تحديد تأخير الانتشار بوحدات النانو ثانية لكل متر. وبينما يعتمد تأخير الانتشار عادةً على تردد الإشارة، فإن خطوط النقل تعمل عادةً عبر نطاقات تردد حيث يكون تأخير الانتشار ثابتًا تقريبًا.

معادلات التلغراف ( أو معادلات التلغراف فقط ) عبارة عن زوج من المعادلات التفاضلية الخطية التي تصف الجهد ( ) والتيار ( ) على خط نقل كهربائي مع المسافة والوقت. تم تطويرها بواسطة أوليفر هيفيسايد الذي أنشأ نموذج خط النقل ، وتستند إلى معادلات ماكسويل . ${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

نموذج خط النقل هو مثال لنموذج العناصر الموزعة . وهو يمثل خط النقل كسلسلة لا نهائية من المكونات الأولية ذات المنفذين، حيث يمثل كل منها جزءًا صغيرًا للغاية من خط النقل:

• يتم تمثيل المقاومة الموزعة للموصلات بواسطة مقاومة متسلسلة (يتم التعبير عنها بالأوم لكل وحدة طول).${\displaystyle R}$
• يتم تمثيل المحاثة الموزعة (بسبب المجال المغناطيسي حول الأسلاك، المحاثة الذاتية ، وما إلى ذلك) بواسطة محث متسلسل ( بالهنري لكل وحدة طول).${\displaystyle L}$
• يتم تمثيل السعة بين الموصلين بواسطة مكثف تحويلي ( بالفاراد لكل وحدة طول).${\displaystyle C}$
• يتم تمثيل موصلية المادة العازلة التي تفصل بين الموصلين بواسطة مقاومة تحويلة بين سلك الإشارة وسلك العودة ( بالسيمنز لكل وحدة طول).${\displaystyle G}$

يتكون النموذج من سلسلة لا نهائية من العناصر الموضحة في الشكل، ويتم تحديد قيم المكونات لكل وحدة طول ، لذا فإن صورة المكون قد تكون مضللة. ، ، ، وقد تكون أيضًا دوال للتردد. هناك طريقة بديلة للتدوين وهي استخدام ، ، وللتأكيد على أن القيم هي مشتقات فيما يتعلق بالطول. يمكن أيضًا معرفة هذه الكميات باسم ثوابت الخط الأولية للتمييز عن ثوابت الخط الثانوية المشتقة منها، وهي ثابت الانتشار وثابت التوهين وثابت الطور . ${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle G'}$

يمكن التعبير عن جهد الخط والتيار في مجال التردد على النحو التالي${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=-(R+j\,\omega \,L)\,I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I(x)}{\partial x}}=-(G+j\,\omega \,C)\,V(x)~\,.}$

(انظر المعادلة التفاضلية ، التردد الزاوي ω والوحدة التخيلية j )

عندما تكون العناصر و صغيرة بشكل لا يُذكَر، يُعتبر خط النقل بنية خالية من الخسارة. في هذه الحالة الافتراضية، يعتمد النموذج فقط على العناصر و مما يبسط التحليل إلى حد كبير. بالنسبة لخط النقل الخالي من الخسارة، تكون معادلات التلغراف الثابتة من الدرجة الثانية هي: ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,V(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,I(x)=0~\,.}$

هذه معادلات موجية تحتوي على موجات مستوية ذات سرعة انتشار متساوية في الاتجاهين الأمامي والعكسي كحلول. والأهمية الفيزيائية لهذا الأمر هي أن الموجات الكهرومغناطيسية تنتشر عبر خطوط النقل، وبشكل عام، يوجد مكون منعكس يتداخل مع الإشارة الأصلية. هذه المعادلات أساسية لنظرية خطوط النقل.

في الحالة العامة، يتم تضمين كل من شروط الخسارة ، و ، ويصبح الشكل الكامل لمعادلات التلغراف: ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}V(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}I(x)\,}$

حيث هو ثابت الانتشار ( المعقد ) . هذه المعادلات أساسية لنظرية خطوط النقل. وهي أيضًا معادلات موجية ، ولها حلول مماثلة للحالة الخاصة، ولكنها عبارة عن مزيج من الجيب وجيب التمام مع عوامل الاضمحلال الأسي. حل ثابت الانتشار من حيث المعلمات الأساسية ،،،، ويعطي :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+j\,\omega \,L)(G+j\,\omega \,C)\,}}}$

ويمكن التعبير عن المعاوقة المميزة على النحو التالي

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\,\omega \,L}{G+j\,\omega \,C}}\,}}~\,.}$

الحلول لـ و هي: ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle V(x)=V_{(+)}e^{-\gamma \,x}+V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\,}$

${\displaystyle I(x)={\frac {1}{Z_{0}}}\,\left(V_{(+)}e^{-\gamma \,x}-V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\right)~\,.}$

يجب تحديد الثوابت من الشروط الحدودية. بالنسبة لنبضة الجهد ، التي تبدأ عند وتتحرك في الاتجاه الموجب ، فيمكن الحصول على  النبضة المرسلة عند الموضع عن طريق حساب تحويل فورييه، ، لـ ، مع إضعاف كل مكون ترددي بمقدار ، مع تقدم طوره بمقدار ، وأخذ تحويل فورييه العكسي . يمكن حساب الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ على النحو التالي${\displaystyle V_{(\pm )}}$${\displaystyle V_{\mathrm {in} }(t)\,}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V_{\mathrm {out} }(x,t)\,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tilde {V}}(\omega )}$${\displaystyle V_{\mathrm {in} }(t)\,}$${\displaystyle e^{-\operatorname {Re} (\gamma )\,x}\,}$${\displaystyle -\operatorname {Im} (\gamma )\,x\,}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\alpha =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\cos(\psi )\,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\beta =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\sin(\psi )\,}$

مع

${\displaystyle a~\equiv ~R\,G\,-\omega ^{2}L\,C\ ~=~\omega ^{2}L\,C\,\left[\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\left({\frac {G}{\omega C}}\right)-1\right]}$

${\displaystyle b~\equiv ~\omega \,C\,R+\omega \,L\,G~=~\omega ^{2}L\,C\,\left({\frac {R}{\omega \,L}}+{\frac {G}{\omega \,C}}\right)}$

التعبيرات الموجودة في الجهة اليمنى عندما لا يكون أي من أو ولا أو صفرًا، ومع ${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \psi ~\equiv ~{\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (b,a)\,}$

حيث أن atan2 هو الشكل المحدد في كل مكان لدالة الظل العكسي ذات المعاملين، مع قيمة عشوائية تساوي صفرًا عندما تكون كلا الحجتين صفرًا.

وبدلا من ذلك، يمكن تقييم الجذر التربيعي المركب جبريا، للحصول على:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pm b}{\sqrt {2\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}}},}$

و

${\displaystyle \beta =\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}},}$

مع اختيار علامات الجمع أو الطرح عكس اتجاه حركة الموجة عبر الوسط الموصل. ( عادةً ما تكون a سالبة، نظرًا لأن و أصغر كثيرًا من و ، على التوالي، لذا فإن −a تكون موجبة عادةً. b تكون موجبة دائمًا.) ${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega C}$${\displaystyle \omega L}$

بالنسبة للخسائر الصغيرة والترددات العالية، يمكن تبسيط المعادلات العامة: إذا و${\displaystyle {\tfrac {R}{\omega \,L}}\ll 1}$${\displaystyle {\tfrac {G}{\omega \,C}}\ll 1}$

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\alpha \approx {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\beta \approx \omega \,{\sqrt {L\,C\,}}~.\,}$

نظرًا لأن التقدم في الطور بمقدار يعادل تأخيرًا زمنيًا بمقدار ، فيمكن حسابه ببساطة على النحو التالي ${\displaystyle -\omega \,\delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle V_{out}(t)}$

${\displaystyle V_{\mathrm {out} }(x,t)\approx V_{\mathrm {in} }(t-{\sqrt {L\,C\,}}\,x)\,e^{-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,x}.\,}$

حالة هيفيسايد هي . ${\displaystyle {\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}}$

إذا كانت R وG وL وC ثوابت لا تعتمد على التردد وتم استيفاء شرط هيفيسايد، فإن الموجات تنتقل على طول خط النقل دون تشويه التشتت .

إن المعاوقة المميزة لخط النقل هي نسبة سعة موجة الجهد المفردة إلى موجة التيار الخاصة بها. ونظرًا لأن معظم خطوط النقل تحتوي أيضًا على موجة منعكسة، فإن المعاوقة المميزة ليست بشكل عام المعاوقة التي يتم قياسها على الخط. ${\displaystyle Z_{0}}$

يمكن التعبير عن المعاوقة المقاسة على مسافة معينة من معاوقة الحمل على النحو التالي${\displaystyle \ell }$${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }\left(\ell \right)={\frac {V(\ell )}{I(\ell )}}=Z_{0}{\frac {1+{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}{1-{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}}}$,

حيث هو ثابت الانتشار و هو معامل انعكاس الجهد المقاس عند نهاية الحمل لخط النقل. بدلاً من ذلك، يمكن إعادة ترتيب الصيغة أعلاه للتعبير عن معاوقة الإدخال من حيث معاوقة الحمل بدلاً من معامل انعكاس جهد الحمل: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }={\frac {\,Z_{\mathrm {L} }-Z_{0}\,}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}}}}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}\,{\frac {Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}\tanh \left(\gamma \ell \right)}{Z_{0}+Z_{\mathrm {L} }\,\tanh \left(\gamma \ell \right)}}}$.

بالنسبة لخط النقل الخالي من الخسارة، يكون ثابت الانتشار وهميًا تمامًا ، لذا يمكن إعادة كتابة الصيغ أعلاه على النحو التالي ${\displaystyle \gamma =j\,\beta }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell )}{Z_{0}+j\,Z_{\mathrm {L} }\tan(\beta \ell )}}}$

أين رقم الموجة ؟ ${\displaystyle \beta ={\frac {\,2\pi \,}{\lambda }}}$

عند حساب الطول الموجي، يكون مختلفًا بشكل عام داخل خط النقل عما سيكون عليه في الفضاء الحر. وبالتالي، يجب أخذ عامل السرعة للمادة التي يتكون منها خط النقل في الاعتبار عند إجراء مثل هذا الحساب. ${\displaystyle \beta ,}$

بالنسبة للحالة الخاصة حيث يكون n عددًا صحيحًا (بمعنى أن طول الخط مضاعف لنصف الطول الموجي)، يتم تقليل التعبير إلى معاوقة الحمل بحيث ${\displaystyle \beta \,\ell =n\,\pi }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }\,}$

بالنسبة للجميع ، يتضمن هذا الحالة عندما يكون طول خط النقل صغيرًا بشكل لا يُذكر مقارنة بطول الموجة. والأهمية الفيزيائية لهذا الأمر هي أنه يمكن تجاهل خط النقل (أي التعامل معه كسلك) في كلتا الحالتين. ${\displaystyle n\,.}$${\displaystyle n=0}$

في حالة أن طول الخط يبلغ ربع الطول الموجي، أو مضاعف فردي لربع الطول الموجي، تصبح معاوقة الإدخال

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {Z_{0}^{2}}{Z_{\mathrm {L} }}}~\,.}$

هناك حالة خاصة أخرى عندما تكون معاوقة الحمل مساوية للمعاوقة المميزة للخط (أي أن الخط متطابق )، وفي هذه الحالة تقل المعاوقة إلى المعاوقة المميزة للخط بحيث

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }=Z_{0}\,}$

للجميع و للجميع . ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \lambda }$

في حالة الحمل المقصر (أي )، تكون معاوقة الإدخال وهمية تمامًا ودالة دورية للموضع والطول الموجي (التردد) ${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=0}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell ).\,}$

في حالة الحمل المفتوح (أي )، تكون معاوقة الإدخال وهمية ودورية مرة أخرى ${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=\infty }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=-j\,Z_{0}\cot(\beta \ell ).\,}$

تستخدم محاكاة خطوط النقل المضمنة في أنظمة أكبر بشكل عام معلمات القبول (مصفوفة Y)، ومعلمات المعاوقة ( مصفوفة Z)، و/أو معلمات التشتت (مصفوفة S) التي تجسد نموذج خط النقل الكامل اللازم لدعم المحاكاة.

يمكن تعريف معلمات القبول (Y) بتطبيق جهد ثابت على منفذ واحد (V1) لخط نقل مع توصيل الطرف الآخر بالأرض وقياس التيار الناتج الذي يمر في كل منفذ (I1، I2) ^{[8] [9]} وحساب القبول على كل منفذ كنسبة I/V. معلمة القبول Y11 هي I1/V1، ومعلمة القبول Y12 هي I2/V1. ونظرًا لأن خطوط النقل عبارة عن أجهزة سلبية كهربائيًا ومتماثلة، فإن Y12 = Y21، وY11 = Y22.

بالنسبة لخطوط النقل الخالية من الخسارة والخاضعة للخسارة على التوالي، تكون مصفوفة معلمات Y كما يلي: ^{[10] [11]}

${\displaystyle Y_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}{\frac {-jcot(\beta l)}{Z_{o}}}&{\frac {jcsc(\beta l)}{Z_{o}}}\\{\frac {jcsc(\beta l)}{Z_{o}}}&{\frac {-jcot(\beta l)}{Z_{o}}}\end{bmatrix}}{\text{ }}Y_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}{\frac {coth(\gamma l)}{Z_{o}}}&{\frac {-csch(\gamma l)}{Z_{o}}}\\{\frac {-csch(\gamma l)}{Z_{o}}}&{\frac {coth(\gamma l)}{Z_{o}}}\end{bmatrix}}}$

يمكن تحديد معامل المقاومة (Z) بتطبيق تيار ثابت في منفذ واحد (I1) لخط نقل مع فتح المنفذ الآخر وقياس الجهد الناتج على كل منفذ (V1، V2) ^{[8] [9]} وحساب معامل المقاومة Z11 هو V1/I1، ومعامل المقاومة Z12 هو V2/I1. ونظرًا لأن خطوط النقل عبارة عن أجهزة سلبية كهربائيًا ومتماثلة، فإن V12 = V21، وV11 ​​= V22.

في تعريفات مصفوفة Y و Z، و . ^{[12] على عكس} العناصر المجمعة المثالية ذات المنفذين ( المقاومات ، والمكثفات ، والمحاثات ، وما إلى ذلك) التي لا تحتوي على معلمات Z محددة، فإن خطوط النقل لها مسار داخلي إلى الأرض، مما يسمح بتعريف معلمات Z. ${\displaystyle Y=Z^{-1}}$${\displaystyle Z=Y^{-1}}$

بالنسبة لخطوط النقل الخالية من الخسارة والخاسرة على التوالي، تكون مصفوفة معلمات Z كما يلي: ^{[10] [11]}

${\displaystyle Z_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}-jZ_{o}cot(\beta l)&-jZ_{o}csc(\beta l)\\-jZ_{o}csc(\beta l)&-jZ_{o}cot(\beta l)\end{bmatrix}}{\text{ }}Z_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}Z_{o}coth(\gamma l)&Z_{o}csch(\gamma l)\\Z_{o}csch(\gamma l)&Z_{o}coth(\gamma l)\end{bmatrix}}}$

تقوم معلمات مصفوفة التشتت (S) بنمذجة السلوك الكهربائي لخط النقل مع الأحمال المتطابقة عند كل نهاية . ^[10]

بالنسبة لخطوط النقل الخالية من الخسارة والخاضعة للخسارة على التوالي، تكون مصفوفة معلمات S على النحو التالي، ^{[13] [14]} باستخدام الترجمات القياسية من القطع الزائد إلى الترجمات الدائرية المعقدة .

${\displaystyle S_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sin(\beta l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)-j2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}&{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{j(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)+2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}\\{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{j(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)+2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}&{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sin(\beta l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)-j2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}\end{bmatrix}}{\text{ }}S_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}&{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}\\{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}&{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}\end{bmatrix}}}$

في جميع معلمات المصفوفة أعلاه، تنطبق تعريفات المتغيرات التالية:

${\displaystyle Z_{o}}$= المعاوقة المميزة

Zp = معاوقة المنفذ أو معاوقة الإنهاء

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta }$= ثابت الانتشار لكل وحدة طول

${\displaystyle \alpha }$= ثابت التوهين بالنيبر لكل وحدة طول

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {\omega }{V}}}$= عدد الموجة أو ثابت الطور بالراديان لكل وحدة طول

${\displaystyle \omega }$= التردد بالراديان / الثانية

${\displaystyle V={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {V_{C}}{\sqrt {E_{re}}}}}$= سرعة الانتشار

${\displaystyle \lambda }$= طول الموجة بوحدة الطول

L = المحاثة لكل وحدة طول

C = السعة لكل وحدة طول

${\displaystyle E_{re}}$= ثابت العزل الفعال

${\displaystyle V_{C}}$= 299,792,458 متر/ثانية = سرعة الضوء في الفراغ

يمكن وضع خطوط النقل بالقرب من بعضها البعض بحيث تتفاعل كهربائيًا، مثل خطي شرائح دقيقة متقاربين. يُقال إن خطوط النقل هذه هي خطوط نقل مقترنة. تتميز خطوط النقل المقترنة بتحليل الوضع الزوجي والفردي. يتميز الوضع الزوجي بإثارة الموصلين بإشارة ذات سعة وطور متساويين. يتميز الوضع الفردي بالإثارة بإشارات متساوية ومعاكسة في المقدار. كل من الوضعين الزوجي والفردي له معاوقاته المميزة (Zoe، Zoo) وثوابت الطور ( ). تحتوي خطوط النقل المقترنة بالفقد على ثوابت التوهين الخاصة بها للوضع الزوجي والفردي ( )، مما يؤدي بدوره إلى ثوابت انتشار الوضع الزوجي والفردي ( ). ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]}${\displaystyle \beta _{e}{\text{, }}\beta _{o}}$${\displaystyle \alpha _{e}{\text{, }}\alpha _{o}}$${\displaystyle \gamma _{e}{\text{, }}\gamma _{o}}$

يمكن نمذجة خطوط النقل المقترنة باستخدام معلمات خطوط النقل ذات الوضع الزوجي والفردي المحددة في الفقرة السابقة كما هو موضح مع المنفذين 1 و2 على المدخل والمنفذين 3 و4 على المخرج، ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\begin{bmatrix}y11&y12&y13&y14\\y21&y22&y23&y24\\y31&y32&y33&y34\\y41&y42&y43&y44\\\end{bmatrix}}\\Z&=[Y]^{-1}\\&\\{\text{Where:}}&\\{\text{For lossless coupled lines:}}&\\y11&=y22=y33=y44={\frac {-j}{2}}{\bigg (}{\frac {cot(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {cot(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y12&=y22=y34=y43={\frac {-j}{2}}{\bigg (}{\frac {cot(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {cot(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y13&=y31=y24=y42={\frac {j}{2}}{\bigg (}{\frac {csc(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {csc(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y14&=y41=y23=y32={\frac {j}{2}}{\bigg (}{\frac {csc(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {csc(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\{\text{For lossy coupled lines:}}&\\y11&=y22=y33=y44={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {coth(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {coth(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y12&=y22=y34=y43={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {coth(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {coth(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y13&=y31=y24=y42={\frac {-1}{2}}{\bigg (}{\frac {csch(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {csch(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y14&=y41=y23=y32={\frac {-1}{2}}{\bigg (}{\frac {csch(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {csch(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$..

تقتصر الخطوط المحورية على كل الموجات الكهرومغناطيسية تقريبًا في المنطقة داخل الكابل. وبالتالي يمكن ثني الخطوط المحورية ولفها (وفقًا للحدود) دون تأثيرات سلبية، ويمكن ربطها بدعامات موصلة دون إحداث تيارات غير مرغوب فيها فيها. في تطبيقات الترددات الراديوية التي تصل إلى بضعة جيجاهيرتز، تنتشر الموجة في الوضع الكهربائي والمغناطيسي المستعرض (TEM) فقط، مما يعني أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي عموديان على اتجاه الانتشار (المجال الكهربائي شعاعي، والمجال المغناطيسي محيطي). ومع ذلك، عند الترددات التي يكون فيها الطول الموجي (في العازل) أقصر بشكل ملحوظ من محيط الكابل، يمكن أن تنتشر أوضاع عرضية أخرى . يتم تصنيف هذه الأوضاع إلى مجموعتين، أوضاع الموجات الكهربائية المستعرضة (TE) والمغناطيسية المستعرضة (TM) . عندما يمكن أن يوجد أكثر من وضع، يمكن أن تتسبب الانحناءات وغيرها من المخالفات في هندسة الكابل في نقل الطاقة من وضع إلى آخر.

الاستخدام الأكثر شيوعًا للكابلات المحورية هو إرسال إشارات التلفزيون وغيرها من الإشارات ذات النطاق الترددي المتعدد ميغا هرتز. في منتصف القرن العشرين، كانت هذه الكابلات قادرة على نقل اتصالات هاتفية لمسافات طويلة .

خطوط النقل المستوية هي خطوط نقل ذات موصلات ، أو في بعض الحالات شرائط عازلة، وهي خطوط مسطحة على شكل شريط. تُستخدم لربط المكونات في الدوائر المطبوعة والدوائر المتكاملة التي تعمل بترددات الموجات الدقيقة لأن النوع المستوي يتناسب جيدًا مع طرق تصنيع هذه المكونات. توجد عدة أشكال من خطوط النقل المستوية.

تستخدم دائرة الشريط الدقيق موصلًا مسطحًا رقيقًا موازيًا لمستوى الأرض . يمكن تصنيع الشريط الدقيق من خلال وجود شريط من النحاس على أحد جانبي لوحة الدائرة المطبوعة (PCB) أو الركيزة الخزفية بينما يكون الجانب الآخر عبارة عن مستوى أرضي مستمر. يحدد عرض الشريط وسمك الطبقة العازلة (PCB أو السيراميك) والثابت العازل للطبقة العازلة المعاوقة المميزة. الشريط الدقيق عبارة عن بنية مفتوحة بينما الكابل المحوري عبارة عن بنية مغلقة.

تستخدم دائرة خطوط النقل شريطًا مسطحًا من المعدن محصورًا بين مستويين أرضيين متوازيين. وتشكل المادة العازلة للركيزة مادة عازلة. ويحدد عرض الشريط وسمك الركيزة والنفاذية النسبية للركيزة المعاوقة المميزة للشريط الذي يمثل خط نقل.

يتكون موجه متوازي من شريط مركزي وموصلان خارجيان متجاوران، وكلها هياكل مسطحة مثبتة على نفس الركيزة العازلة وبالتالي تقع في نفس المستوى ("متوازي"). يحدد عرض الموصل المركزي والمسافة بين الموصلات الداخلية والخارجية والنفاذية النسبية للركيزة المعاوقة المميزة لخط النقل المتوازي.

الخط المتوازن هو خط نقل يتكون من موصلين من نفس النوع، ومقاومتهما للأرض والدوائر الأخرى متساوية. هناك العديد من أشكال الخطوط المتوازنة، ومن بين أكثرها شيوعًا الخطوط المجدولة والخطوط الرباعية النجمية والخطوط المزدوجة.

تُستخدم الكابلات المجدولة عادةً في الاتصالات الهاتفية الأرضية . وفي مثل هذه الكابلات، يتم تجميع العديد من الأزواج معًا في كابل واحد، من اثنين إلى عدة آلاف. ^[22] كما يُستخدم هذا الشكل لتوزيع شبكات البيانات داخل المباني، ولكن الكابل أكثر تكلفة لأن معلمات خط النقل يتم التحكم فيها بشكل صارم.

كبل Star quad هو كبل رباعي الموصلات حيث يتم لف جميع الموصلات الأربعة معًا حول محور الكبل. يُستخدم أحيانًا في دائرتين، مثل الهاتف رباعي الأسلاك وتطبيقات الاتصالات الأخرى. في هذا التكوين يستخدم كل زوج موصلين غير متجاورين. في أوقات أخرى يُستخدم لخط واحد متوازن ، مثل تطبيقات الصوت والهاتف ثنائي الأسلاك . في هذا التكوين، يتم إنهاء موصلين غير متجاورين معًا عند كلا طرفي الكبل، ويتم إنهاء الموصلين الآخرين معًا أيضًا.

عند استخدامه لدائرتين، يتم تقليل التداخل النسبي مقارنة بالكابلات ذات الزوجين الملتوي المنفصلين.

عند استخدامه لخط واحد متوازن ، يصل التداخل المغناطيسي الذي يلتقطه الكابل كإشارة وضع مشترك مثالية تقريبًا، والتي يمكن إزالتها بسهولة عن طريق محولات التوصيل.

إن الفوائد المشتركة للالتواء والإشارات المتوازنة ونمط الرباعي الأقطاب تمنح مناعة ممتازة ضد الضوضاء، وهي مفيدة بشكل خاص لتطبيقات مستوى الإشارة المنخفض مثل كابلات الميكروفون، حتى عند تركيبها بالقرب من كابل الطاقة. ^{[23] [24]} العيب هو أن النجم الرباعي، عند الجمع بين موصلين، يكون عادةً ضعف سعة كابل الصوت الملتوي والمحمي ذي الموصلين المماثل. تتسبب السعة العالية في زيادة التشويه وفقدان أكبر للترددات العالية مع زيادة المسافة. ^{[25] [26]}

يتكون الكابل المزدوج من زوج من الموصلات يتم فصلهما عن بعضهما البعض بواسطة عازل مستمر. ومن خلال إبقاء الموصلات على مسافة معروفة بينهما، يتم تثبيت الهندسة وتكون خصائص الخط متسقة بشكل موثوق. وهو أقل خسارة من الكابل المحوري لأن المعاوقة المميزة للكابلات المزدوجة أعلى عمومًا من الكابل المحوري، مما يؤدي إلى خسائر مقاومة أقل بسبب التيار المنخفض. ومع ذلك، فهو أكثر عرضة للتداخل.

خطوط Lecher هي شكل من أشكال الموصلات المتوازية التي يمكن استخدامها في UHF لإنشاء دوائر رنينية. وهي عبارة عن تنسيق عملي ملائم يملأ الفجوة بين المكونات المتكتلة (تستخدم في HF / VHF ) والتجاويف الرنانة (تستخدم في UHF / SHF ).

كانت الخطوط غير المتوازنة تُستخدم في السابق على نطاق واسع في نقل البرقيات، ولكن هذا الشكل من أشكال الاتصال أصبح الآن غير مستخدم. تشبه الكابلات الكابلات المجدولة حيث يتم تجميع العديد من النوى في نفس الكابل ولكن يتم توفير موصل واحد فقط لكل دائرة ولا يوجد التواء. تستخدم جميع الدوائر الموجودة على نفس المسار مسارًا مشتركًا لتيار العودة (عودة الأرض). هناك نسخة لنقل الطاقة من عودة الأرض ذات السلك الواحد قيد الاستخدام في العديد من المواقع.

تُستخدم خطوط نقل الطاقة الكهربائية على نطاق واسع لنقل الإشارات عالية التردد لمسافات طويلة أو قصيرة مع الحد الأدنى من فقدان الطاقة. ومن الأمثلة المألوفة على ذلك السلك الهابط من هوائي التلفزيون أو الراديو إلى جهاز الاستقبال.

يمكن أيضًا إنشاء مجموعة كبيرة ومتنوعة من الدوائر باستخدام خطوط النقل بما في ذلك دوائر مطابقة المعاوقة والمرشحات ومقسمات الطاقة والمقارنات الاتجاهية .

يتم استخدام خط النقل المتدرج لمطابقة المعاوقة واسعة النطاق. يمكن اعتباره عبارة عن أجزاء متعددة من خط النقل متصلة على التوالي، مع معاوقة مميزة لكل عنصر فردي تكون . ^[27] يمكن الحصول على معاوقة الإدخال من التطبيق المتتالي لعلاقة السلسلة ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {i+1} }=Z_{\mathrm {0,i} }\,{\frac {\,Z_{\mathrm {i} }+j\,Z_{\mathrm {0,i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })\,}{Z_{\mathrm {0,i} }+j\,Z_{\mathrm {i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })}}\,}$

حيث هو رقم الموجة لقطعة خط النقل رقم - و هو طول هذا القطعة، و هي معاوقة الواجهة الأمامية التي تحمل القطعة رقم -. ${\displaystyle \beta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle \ell _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle Z_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \mathrm {i} }$

نظرًا لأن المعاوقة المميزة لكل جزء من خط النقل غالبًا ما تختلف عن معاوقة الكابل الرابع للإدخال (يظهر فقط كسهم محدد على الجانب الأيسر من الرسم البياني أعلاه)، فإن دائرة تحويل المعاوقة تكون غير متمركزة على طول محور مخطط سميث الذي يتم عادةً تطبيع تمثيل معاوقته مقابل . ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Z_{0}}$

عند الترددات الأعلى، فإن التأثيرات الطفيلية التفاعلية للعناصر المجمعة في العالم الحقيقي ، بما في ذلك المحاثات والمكثفات ، تحد من فائدتها. ^[28] لذلك، من المفيد أحيانًا تقريب الخصائص الكهربائية للمحاثات والمكثفات بخطوط النقل عند الترددات الأعلى باستخدام تحويلات ريتشاردز ثم استبدال خطوط النقل بالعناصر المجمعة. ^{[29] [30]}

توجد أشكال أكثر دقة لنمذجة المحاثات عالية التردد متعددة الأوضاع مع خطوط النقل للمصممين المتقدمين. ^[31]

إذا تم توصيل خط نقل به دائرة قصر أو دائرة مفتوحة بالتوازي مع خط يستخدم لنقل الإشارات من النقطة أ إلى النقطة ب، فسوف يعمل كمرشح. تشبه طريقة صنع الدوائر القصيرة طريقة استخدام خطوط ليشر لقياس التردد الخام، لكنها "تعمل في الاتجاه المعاكس". إحدى الطرق الموصى بها في دليل الاتصالات الراديوية RSGB هي أخذ طول دائرة مفتوحة لخط نقل سلكي بالتوازي مع المغذي الذي يسلم الإشارات من هوائي. من خلال قطع الطرف الحر لخط النقل، يمكن العثور على حد أدنى لقوة الإشارة التي يتم رصدها في جهاز الاستقبال. في هذه المرحلة، سيرفض مرشح الدائرة القصيرة هذا التردد والتوافقيات الفردية، ولكن إذا تم قصر الطرف الحر للدائرة القصيرة، فسيصبح مرشحًا يرفض التوافقيات الزوجية.

يمكن تحقيق مرشحات النطاق العريض باستخدام عدة أجزاء. ومع ذلك، فهذه تقنية قديمة إلى حد ما. يمكن صنع مرشحات أكثر إحكاما باستخدام طرق أخرى مثل الرنانات ذات الخطوط المتوازية.

تُستخدم خطوط النقل كمولدات نبضات. ومن خلال شحن خط النقل ثم تفريغه في حمل مقاوم ، يمكن الحصول على نبضة مستطيلة تساوي في الطول ضعف الطول الكهربائي للخط، وإن كان بنصف الجهد. وخط نقل بلوملاين هو جهاز تشكيل نبضات ذي صلة يتغلب على هذا القيد. وتُستخدم هذه الخطوط أحيانًا كمصدر للطاقة النبضية لأجهزة إرسال الرادار والأجهزة الأخرى.

إن نظرية انتشار الموجات الصوتية تشبه رياضيا إلى حد كبير نظرية الموجات الكهرومغناطيسية، لذا فإن التقنيات المستمدة من نظرية خطوط النقل تستخدم أيضا لبناء هياكل لتوصيل الموجات الصوتية؛ وتسمى هذه بخطوط النقل الصوتية .

• خط نقل صناعي
• الموجة الكهرومغناطيسية الطولية
• سرعة الانتشار
• نقل الطاقة عبر الترددات الراديوية
• مقياس انعكاس المجال الزمني

تم استخلاص جزء من هذه المقالة من المعيار الفيدرالي رقم 1037C .

• شتاينميتز، تشارلز بروتيوس (27 أغسطس 1898). "الفترة الطبيعية لخط النقل وتردد تفريغ الصواعق منه". العالم الكهربائي : 203-205.
• غرانت، إس. فيليبس، دبليو. آر. (26 أغسطس 1991). الكهرومغناطيسية (الطبعة الثانية). جون وايلي. رقم ISBN 978-0-471-92712-9.
• Ulaby, FT (2004). أساسيات الكهرومغناطيسية التطبيقية (طبعة 2004). برنتيس هول. ISBN 978-0-13-185089-7.
• "الفصل 17". دليل الاتصالات اللاسلكية . جمعية الراديو البريطانية . 1982. ص 20. ISBN 978-0-900612-58-9.
• ناريدو، جيه إل؛ سوداك، إيه سي؛ مارتي، جيه آر (يناير 1995). "محاكاة الظواهر العابرة على خطوط النقل باستخدام الهالة عبر طريقة الخصائص". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات - التوليد والنقل والتوزيع . 142 (1): 81. doi :10.1049/ip-gtd:19951488. ISSN  1350-2360.

• تكريم جوجليلمو ماركوني. العشاء السنوي للمعهد في فندق والدورف أستوريا. نيويورك: المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين. 13 يناير 1902.
• "استخدام معادلات ومعلمات خطوط النقل". دليل Star-Hspice. Avant! Software. يونيو 2001. مؤرشف من الأصل في 25 سبتمبر 2005.
• كورنيل، ب. (1990). "حول انتشار الموجات غير المتجانسة". مجلة الفيزياء د: الفيزياء التطبيقية . 23 (2): 129-135. رمز Bibcode :1990JPhD...23..129C. doi :10.1088/0022-3727/23/2/001. S2CID  250788839.
• فارلو، إس جيه (1982). المعادلات التفاضلية الجزئية للعلماء والمهندسين . جيه وايلي وأولاده. ص. 126. رقم ISBN 0-471-08639-8.
• كوبيرشميت، بوريس أ. (1998). "ملاحظات حول التطورات العشوائية في التمثيل الهاميلتوني". مجلة الرياضيات غير الخطية. فيز . 5 (4): 383-395. arXiv : math-ph/9810020 . رمز Bibcode : 1998JNMP....5..483K. doi : 10.2991/jnmp.1998.5.4.10. S2CID  14771417. Math-ph/9810020.
• "مطابقة خطوط النقل". قسم الهندسة الإلكترونية والمعلوماتية. تصميم الدوائر عالية التردد. جامعة هونج كونج للفنون التطبيقية. EIE403. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2011-07-21 . تم الاسترجاع في 2005-09-24 .
• ويلسون، ب. (19 أكتوبر 2005). "معادلات التلغراف". Connexions. مؤرشف من الأصل في 9 يناير 2006.
• Wöhlbier, John Greaton (2000). Modeling and Analysis of a Traveling Wave under Multitone Excitation (PDF) . Electrical and Computer Engineering (MS). Madison, WI: University of Wisconsin. §"Fundamental Equation" and §"Transforming the Telegrapher's Equations". مؤرشف من الأصل (PDF) في 19 يونيو 2006.
• "انتشار الموجات على طول خط نقل" (أداة Java التعليمية). الموارد التعليمية. Keysight Technologies.^{[ رابط ميت دائم ]} (قد تحتاج إلى إضافة "http://www.keysight.com" إلى قائمة مواقع استثناءات Java الخاصة بك.)
• تشيان، تشونكي؛ بري، ويليام دبليو. (2009). "مطابقة المعاوقة بخط نقل مجزأ قابل للتعديل". مجلة الرنين المغناطيسي . 199 (1): 104-110. رمز Bibcode : 2009JMagR.199..104Q. doi : 10.1016/j.jmr.2009.04.005. PMID  19406676.

• "حاسبة خطوط النقل (بما في ذلك خسائر الإشعاع وإثارة الموجة السطحية)". terahertz.tudelft.nl . دلفت، هولندا: الجامعة التقنية في دلفت .
• "حاسبة معلمات خطوط النقل". cecas.clemson.edu/cvel . كليمسون، ساوث كارولينا: جامعة كليمسون .