شبه منحرف

شبه منحرف (AmE) شبه منحرف (BrE)
شبه منحرف أو شبه منحرف
يكتب	رباعي
الحواف والرؤوس​	4
منطقة	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
ملكيات	محدب

في الهندسة ، شبه المنحرف ( / ˈtræpəzɔɪd / ) في الإنجليزية الأمريكية الشمالية ، أو ^شبه المنحرف ( / trəˈpiːziəm / ) في الإنجليزية البريطانية ، [ ¹ ] [ 2 ] هو شكل رباعي الأضلاع له زوج واحد من الأضلاع المتوازية .

تسمى الأضلاع المتوازية بقاعدتي شبه المنحرف. ويسمى الضلعان الآخران بالساقين (أو الضلعين الجانبيين ) إذا لم يكونا متوازيين؛ وإلا فإن شبه المنحرف يكون متوازي أضلاع، ويوجد زوجان من القواعد. شبه المنحرف غير المتساوي الأضلاع هو شبه منحرف ليس له أضلاع متساوية القياس، ^[3] على النقيض من الحالات الخاصة أدناه.

يعتبر شبه المنحرف عادةً شكلًا رباعيًا محدبًا في الهندسة الإقليدية ، ولكن هناك أيضًا حالات متقاطعة . إذا كان ABCD شبه منحرفًا محدبًا، فإن ABDC هو شبه منحرف متقاطع. تنطبق الصيغ المترية في هذه المقالة على شبه المنحرف المحدب.

عرّف عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس خمسة أنواع من الأشكال الرباعية، أربعة منها لها مجموعتان من الأضلاع المتوازية (المعروفة بالإنجليزية باسم المربع والمستطيل والمعين والمعيني) والأخير لم يكن له مجموعتان من الأضلاع المتوازية - τραπέζια ( شبه منحرف ^[5] حرفيًا "طاولة"، من τετράς ( tetrás ) "أربعة" + πέζα ( péza ) "قدم؛ نهاية، حدود، حافة"). ^[6]

تم تقديم نوعين من الأشكال شبه المنحرفة بواسطة بروكلوس (412 إلى 485 م) في تعليقه على الكتاب الأول من عناصر إقليدس : ^{[4] [7]}

• زوج واحد من الأضلاع المتوازية - شبه منحرف (τραπέζιον)، مقسم إلى شبه منحرف متساوي الساقين (أضلاع متساوية) وغير متساوي الساقين
• لا يوجد جوانب متوازية - شبه منحرف (τραπεζοειδή، شبه منحرف ، حرفيًا "يشبه شبه منحرف" (εἶδος تعني "يشبه")، بنفس الطريقة التي تعني بها كلمة مكعبة " مثل المكعب " والمعين يعني " مثل المعين "

تتبع جميع اللغات الأوروبية بنية بروكلوس ^{[7] [8]} كما فعلت اللغة الإنجليزية حتى أواخر القرن الثامن عشر، حتى قام تشارلز هوتون بنشر قاموس رياضي مؤثر في عام 1795، والذي دعم دون تفسير عملية نقل المصطلحات. وقد انعكس هذا في اللغة الإنجليزية البريطانية في حوالي عام 1875، ولكن تم الاحتفاظ به في اللغة الإنجليزية الأمريكية حتى الوقت الحاضر. ^[4]

يقوم الجدول التالي بمقارنة الاستخدامات، حيث تكون التعريفات الأكثر تحديدًا في الأعلى والأكثر عمومية في الأسفل.

يكتب	مجموعات الأضلاع المتوازية	صورة	المصطلحات الأصلية			المصطلحات الحديثة
			إقليدس (التعريف 22)	بروكلس (التعريفات 30-34، نقلاً عن بوسيدونيوس)	تعريف إقليدس / بروكلس	الإنجليزية البريطانية	الإنجليزية الأمريكية
متوازي الأضلاع	2		المعينات (المعينات)		متساوي الأضلاع ولكن ليس قائم الزاوية	المعين/متوازي الأضلاع
			ῥομβοειδὲς (المعينات)		أضلاع متقابلة وزوايا متساوية ولكنها ليست متساوية الأضلاع ولا قائمة الزاوية	معيني/متوازي الأضلاع
غير متوازي الأضلاع	1		شبه منحرف (شبه منحرف)	τραπέζιον ἰσοσκεлὲς ( شبه منحرف أيون متساوي الشكل)	ضلعان متوازيان وخط تماثل	شبه منحرف متساوي الساقين	شبه منحرف متساوي الساقين
				τραπέζιον σκαлηνὸν ( شبه منحرف أيون سكالينون)	ضلعان متوازيان ولا يوجد خط تماثل	شبه منحرف	شبه منحرف
	0			τραπέζοειδὲς ( شبه المنحرفة )	لا يوجد جوانب متوازية	شكل رباعي غير منتظم/ شبه منحرف [9] [10]	شبه منحرف

هناك بعض الخلاف حول ما إذا كان ينبغي اعتبار متوازي الأضلاع ، الذي يحتوي على زوجين من الأضلاع المتوازية، شبه منحرف.

يعرّف البعض شبه المنحرف بأنه شكل رباعي له زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية (التعريف الحصري)، وبالتالي يتم استبعاد متوازيات الأضلاع. ^[11] تستخدم بعض المصادر مصطلح شبه المنحرف الحقيقي لوصف شبه المنحرف بموجب التعريف الحصري، على غرار استخدامات كلمة حقيقي في بعض الكائنات الرياضية الأخرى. ^[12]

يعرِّف آخرون ^{[13] [ فشل التحقق ]} شبه المنحرف على أنه شكل رباعي الأضلاع به زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية (التعريف الشامل ^[14] )، مما يجعل متوازي الأضلاع نوعًا خاصًا من شبه المنحرف. يتوافق التعريف الأخير مع استخداماته في الرياضيات العليا مثل حساب التفاضل والتكامل . تستخدم هذه المقالة التعريف الشامل وتعتبر متوازي الأضلاع حالات خاصة من شبه المنحرف. وهذا ما يُنادى به أيضًا في تصنيف الأشكال الرباعية .

وفقًا للتعريف الشامل، فإن جميع متوازيات الأضلاع (بما في ذلك المعينات والمربعات والمستطيلات غير المربعة ) هي شبه منحرف. تتمتع المستطيلات بتناظر مرآوي على الحواف الوسطى؛ تتمتع المعينات بتناظر مرآوي على الرؤوس، بينما تتمتع المربعات بتناظر مرآوي على كل من الحواف الوسطى والرؤوس.

يحتوي شبه المنحرف القائم (ويسمى أيضًا شبه المنحرف قائم الزاوية ) على زاويتين قائمتين متجاورتين . ^[13] تُستخدم شبه المنحرفات القائمة في قاعدة شبه المنحرف لتقدير المساحات الموجودة أسفل المنحنى.

يحتوي الشكل شبه المنحرف الحاد على زاويتين حادتين متجاورتين على حافة قاعدته الأطول .

من ناحية أخرى، يحتوي شبه المنحرف المنفرج على زاوية حادة واحدة وزاوية منفرجة واحدة على كل قاعدة .

شبه المنحرف متساوي الساقين هو شبه منحرف حيث تكون زوايا القاعدة متساوية القياس. ونتيجة لذلك فإن الساقين متساويتان في الطول وله تماثل انعكاسي . وهذا ممكن في شبه المنحرف الحاد أو شبه المنحرف القائم (كمستطيلات).

متوازي الأضلاع هو (وفقًا للتعريف الشامل) شبه منحرف له زوجان من الأضلاع المتوازية. يتمتع متوازي الأضلاع بتناظر دوراني مركزي ثنائي الأضلاع (أو تناظر انعكاس النقطة ). ومن الممكن أن يكون شبه منحرف منفرج أو شبه منحرف قائم (مستطيل).

شبه منحرف مماسي هو شبه منحرف يحتوي على دائرة داخلية .

يشبه رباعي ساكيري شبه المنحرف في المستوى الزائدي ، حيث يحتوي على زاويتين قائمتين متجاورتين، بينما يكون مستطيلًا في المستوى الإقليدي . يحتوي رباعي لامبرت في المستوى الزائدي على 3 زوايا قائمة.

يمكن أن تشكل الأطوال الأربعة أ ، ج ، ب ، د الأضلاع المتتالية لشبه منحرف غير متوازي الأضلاع مع توازي أ وب فقط عندما ^[15]

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع عندما ، ولكنه شكل رباعي مماسي خارجي (وليس شبه منحرف) عندما . ^{[16] : ص 35}${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

بالنسبة لشكل رباعي محدب، فإن الخصائص التالية متكافئة، وكل منها يعني أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف:

• لها زاويتان متجاورتان متكاملتان ، أي أن مجموعهما يساوي 180 درجة .
• الزاوية بين ضلع وقطر تساوي الزاوية بين الضلع المقابل ونفس القطر.
• تقطع الأقطار بعضها البعض بنفس النسبة المتبادلة (هذه النسبة هي نفسها بين أطوال الأضلاع المتوازية).
• تقطع الأقطار الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات يكون لكل منها زوج متقابل من المثلثات مساحة متساوية. ^{[16] : Prop.5}
• حاصل ضرب مساحتي المثلثين اللذين يشكلهما قطر واحد يساوي حاصل ضرب مساحتي المثلثين اللذين يشكلهما القطر الآخر. ^{[16] : ث.6}
• المساحات S و T لبعض المثلثين المتقابلين من المثلثات الأربعة المكونة من الأقطار تلبي المعادلة

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

حيث K هي مساحة الشكل الرباعي. ^{[16] : ث.8}

• نقاط المنتصف لضلعين متقابلين من شبه المنحرف وتقاطع القطرين متوازيان . ^{[16] : ث.15}
• الزوايا في الشكل الرباعي ABCD تحقق ^{[16] : ص 25}${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• مجموع جيب التمام لزاويتين متجاورتين يساوي 0، كما هو الحال مع جيب التمام للزاويتين الأخريين. ^{[16] : ص 25}
• مجموع ظلي الزاويتين المتجاورتين يساوي 0، كما هو الحال مع ظلي الزاويتين المتجاورتين الأخريين. ^{[16] : ص 26}
• يقسم خط متوسط ​​واحد الشكل الرباعي إلى شكلين رباعيين متساويين المساحة. ^{[16] : ص 26}
• ضعف طول الخط المتوسط ​​الذي يربط بين نقطتي منتصف ضلعين متقابلين يساوي مجموع أطوال الضلعين الآخرين. ^{[16] : ص 31}

بالإضافة إلى ذلك، فإن الخصائص التالية متكافئة، وكل منها يعني أن الجانبين المتقابلين أ و ب متوازيان:

• الأضلاع المتتالية a ، c ، b ، d والقطران p ، q تحقق المعادلة ^{[16] : Cor.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• المسافة v بين منتصفات الأقطار تلبي المعادلة ^{[16] : ث.12}

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

القطعة المتوسطة (وتسمى أيضًا المتوسط ​​أو الخط الأوسط) لشبه المنحرف هي القطعة التي تصل بين منتصفي الساقين. وهي موازية للقاعدتين. وطولها م يساوي متوسط ​​طولي القاعدتين أ و ب لشبه المنحرف، ^[13]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

القطعة المتوسطة من شبه المنحرف هي واحدة من القطعتين المتوسطتين (القطعة المتوسطة الأخرى تقسم شبه المنحرف إلى مساحات متساوية).

الارتفاع (أو الارتفاع ) هو المسافة العمودية بين القاعدتين. في حالة اختلاف طول القاعدتين ( a ≠ b )، يمكن تحديد ارتفاع شبه المنحرف h بطول أضلاعه الأربعة باستخدام الصيغة ^[13]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(pa)(pb)(pbd)(pbc)}}{2|ba|}}}$

حيث c و d هما أطوال الساقين و . ${\displaystyle ص=أ+ب+ج+د}$

المساحة K لشبه المنحرف تعطى بواسطة ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

حيث a و b هما طولا الضلعين المتوازيين، و h هو الارتفاع (المسافة العمودية بين هذين الضلعين)، و m هو المتوسط ​​الحسابي لطولي الضلعين المتوازيين. في عام 499 م ، استخدم أريابهاتا ، عالم الرياضيات والفلك العظيم من العصر الكلاسيكي للرياضيات الهندية وعلم الفلك الهندي ، هذه الطريقة في أريابهاتيا (القسم 2.8). وهذا ينتج عنه كحالة خاصة الصيغة المعروفة لمساحة المثلث ، من خلال اعتبار المثلث شبه منحرف منحط حيث تقلص أحد الأضلاع المتوازية إلى نقطة.

استنتج عالم الرياضيات الهندي في القرن السابع بهسكارا الأول الصيغة التالية لمساحة شبه منحرف بأضلاع متتالية أ ، ج ، ب ، د :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

حيث أن a و b متوازيان و b > a . ^[17] يمكن تحليل هذه الصيغة إلى نسخة أكثر تناسقًا ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.}$

عندما ينكمش أحد الأضلاع المتوازية إلى نقطة ما (على سبيل المثال أ = 0)، فإن هذه الصيغة تُختزل إلى صيغة هيرون لمساحة المثلث.

هناك صيغة مكافئة أخرى للمساحة، والتي تشبه إلى حد كبير صيغة هيرون، وهي ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}}$

أين هو نصف محيط شبه المنحرف. (هذه الصيغة مشابهة لصيغة براهماجوبتا ، لكنها تختلف عنها، حيث أن شبه المنحرف قد لا يكون دائريًا (محاطًا بدائرة). الصيغة هي أيضًا حالة خاصة من صيغة بريتشنايدر للرباعي العام ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(أ+ب+ج+د)}$

ومن صيغة بريتشنايدر، يتبع ذلك أن

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

الخط المتوسط ​​الذي يربط بين الأضلاع المتوازية يقسم المنطقة.

أطوال الأقطار هي ^[13]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

حيث أن a هي القاعدة القصيرة، و b هي القاعدة الطويلة، و c و d هما الساقين شبه المنحرفتين.

إذا تم تقسيم شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات بواسطة قطريه AC و BD (كما هو موضح على اليمين)، متقاطعين عند O ، فإن مساحة AOD تساوي مساحة BOC ، وحاصل ضرب مساحات AOD و BOC يساوي مساحة AOB و COD . نسبة مساحات كل زوج من المثلثات المتجاورة هي نفسها النسبة بين أطوال الأضلاع المتوازية. ^[13]${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

ليكن شبه المنحرف له رؤوس A و B و C و D على التوالي وله ضلعان متوازيان AB و DC . ليكن E تقاطع القطرين وليكن F على الضلع DA وليكن G على الضلع BC بحيث يكون FEG موازيًا لـ AB و CD . عندئذٍ يكون FG هو المتوسط ​​التوافقي لـ AB و DC : ^[18]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

الخط الذي يمر عبر كل من نقطة تقاطع الأضلاع غير المتوازية الممتدة ونقطة تقاطع الأقطار، يقسم كل قاعدة. ^[19]

يقع مركز المنطقة (مركز الكتلة للصفيحة المنتظمة ) على طول القطعة المستقيمة التي تربط بين نقاط منتصف الأضلاع المتوازية، على مسافة عمودية x من الضلع الأطول b كما هو موضح بواسطة ^[20]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

يقسم مركز المنطقة هذا الجزء بنسبة (عند أخذه من الجانب القصير إلى الجانب الطويل) ^{[21] : ص 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

إذا تقاطع منصفات الزاوية للزاويتين A و B عند P ، وتقاطع منصفات الزاوية للزاويتين C و D عند Q ، فإن ^[19]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

في الهندسة المعمارية، تُستخدم الكلمة للإشارة إلى الأبواب والنوافذ والمباني المتماثلة المبنية بشكل أوسع عند القاعدة، وتتناقص نحو الأعلى، على الطراز المصري. إذا كانت لها جوانب مستقيمة وزوايا حادة، فإن أشكالها تكون عادةً شبه منحرفة متساوية الساقين . كان هذا هو الأسلوب القياسي للأبواب والنوافذ لدى الإنكا . ^[22]

مسألة السلم المتقاطع هي مسألة إيجاد المسافة بين الضلعين المتوازيين لشبه منحرف قائم، مع الأخذ بعين الاعتبار أطوال الأضلاع القطرية والمسافة من الساق العمودية إلى التقاطع القطري.

في علم التشكل والتصنيف وغيرها من التخصصات الوصفية التي يكون فيها مصطلح لهذه الأشكال ضروريًا، فإن مصطلحات مثل شبه المنحرف أو شبه المنحرف تكون مفيدة بشكل عام في وصف أعضاء أو أشكال معينة. ^[23]

في هندسة الكمبيوتر، وبشكل خاص المنطق الرقمي وهندسة الكمبيوتر، تُستخدم الأشكال شبه المنحرفة عادةً لتمثيل المجمِّعات . المجمِّعات هي عناصر منطقية تختار بين عناصر متعددة وتنتج خرجًا واحدًا بناءً على إشارة محددة. ستستخدم التصميمات النموذجية الأشكال شبه المنحرفة دون تحديد أنها مجمِّعات لأنها متكافئة عالميًا.

• المخروط الناقص ، جسم صلب له وجوه شبه منحرفة
• عدد مهذب ، ويعرف أيضًا باسم عدد شبه منحرف
• الإسفين ، هو متعدد السطوح محدد بمثلثين وثلاثة وجوه شبه منحرفة.

• د. فرايفرت، أ. سيجلر، م. ستوبل: الخصائص المشتركة للأشكال شبه المنحرفة والأشكال الرباعية المحدبة

• "شبه المنحرف" في موسوعة الرياضيات
• وايسشتاين، إريك دبليو. "شبه منحرف قائم". MathWorld .
• تعريف شبه المنحرف، مساحة شبه المنحرف، متوسط ​​شبه المنحرف (مع رسوم متحركة تفاعلية)
• شبه منحرف (أمريكا الشمالية) في elsy.at: دورة متحركة (البناء، المحيط، المساحة)
• قاعدة شبه المنحرف في الأساليب العددية لطلبة البكالوريوس
• أوتار كاو وإيريك كالو، الأساليب العددية مع التطبيقات (2008)