التوزيع الغاوسي المعدل أُسّيًا

في نظرية الاحتمالات ، يصف التوزيع الغاوسي المعدل أُسّيًا ( EMG ، المعروف أيضًا بالتوزيع الغاوسي المُحسَّن ) مجموع متغيرات عشوائية مستقلة طبيعية وأُسّية . يمكن التعبير عن المتغير العشوائي الغاوسي المُحسَّن Z بالصيغة Z = X + Y ، حيث X و Y مستقلان، و X يتبع التوزيع الغاوسي بمتوسط ​​μ وتباين σ² ، و Y يتبع التوزيع ^{الأُسّي} بمعدل λ . يتميز هذا التوزيع بانحراف موجب مميز عن المكون الأُسّي.

ويمكن اعتبارها أيضًا دالة مرجحة لدالة أسية مزاحة حيث يكون الوزن دالة للتوزيع الطبيعي.

دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الغاوسي المعدل أُسّيًا هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {\lambda }{2}}\exp \left[{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)\right]\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

حيث erfc هي دالة الخطأ التكميلية المعرفة على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$

يتم اشتقاق دالة الكثافة هذه من خلال عملية الالتفاف بين دالتي الكثافة الاحتمالية الطبيعية والأسية .

يُستخدم شكل بديل ولكنه مكافئ لتوزيع تخطيط كهربية العضل (EMG) لوصف شكل الذروة في الكروماتوغرافيا . ^{[ 2 ]} وهو كما يلي

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\exp \left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}\right)^{2}-{\frac {x-\mu }{\tau }}\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$

1

أين

${\displaystyle h}$هي سعة التوزيع الغاوسي،

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$هو زمن الاسترخاء الأسي،${\displaystyle \tau ^{2}}$هو تباين لدالة كثافة الاحتمال الأسية .

لا يمكن حساب هذه الدالة لبعض قيم المعاملات (على سبيل المثال،${\displaystyle \tau =0}$) بسبب تجاوز سعة الحساب. وقد اقترح ديلي صيغة بديلة، ولكنها مكافئة، لكتابة الدالة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right){\frac {\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {erfcx} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$

2

أين${\displaystyle \operatorname {erfcx} t=\exp t^{2}\cdot \operatorname {erfc} t}$هي دالة خطأ تكميلية مُقاسة

بالنسبة لهذه الصيغة، يكون تجاوز السعة الحسابية ممكنًا أيضًا، لكن منطقة التجاوز مختلفة.

بالنسبة لقيم τ الصغيرة جدًا، يمكن استخدام صيغة تقاربية للصيغة الثانية، مما يسمح بتقييمها لـ${\displaystyle \tau =0}$:

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}{1+{\frac {\left(x-\mu \right)\tau }{\sigma ^{2}}}}},}$

3

يمكن اتخاذ قرار بشأن استخدام الصيغة بناءً على المعلمة${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$:

بالنسبة لـ z < 0، يجب إجراء الحساب ^{[ 2 ]} وفقًا للصيغة الأولى،

بالنسبة لـ 0 ≤ z ≤ 6.71·10 ⁷ (في حالة تنسيق الفاصلة العائمة مزدوجة الدقة ) وفقًا للصيغة الثانية،

وبالنسبة لـ z > 6.71·10 ⁷ وفقًا للشكل التقاربي للصيغة الثانية.

يمكن حساب المنوال ( موقع الذروة، القيمة الأكثر احتمالاً) ^{[ 2 ]} باستخدام مشتقة الصيغة 2، حيث تُستخدم دالة الخطأ التكميلية المُقاسة erfcxinv(). كما اقترح كلامبيت وآخرون ^{[ 2 ]} قيمًا تقريبية. على الرغم من أن قيمة المنوال أعلى من قيمة دالة غاوس الأصلية، إلا أن الذروة تقع دائمًا على دالة غاوس الأصلية (غير المُعدلة).

توجد ثلاثة معايير: متوسط ​​التوزيع الطبيعي ( μ )، والانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي ( σ )، ومعامل التضاؤل ​​الأسي ( τ = 1 / λ ). ويُستخدم الشكل K = τ / σ أحيانًا لوصف التوزيع. وبناءً على قيم هذه المعايير، قد يختلف شكل التوزيع من توزيع طبيعي تقريبًا إلى توزيع أسي تقريبًا.

يمكن تقدير معلمات التوزيع من بيانات العينة باستخدام طريقة العزوم كما يلي: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle m=\mu +\tau ,}$

${\displaystyle s^{2}=\sigma ^{2}+\tau ^{2},}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\tau ^{3}}{(\sigma ^{2}+\tau ^{2})^{3/2}}},}$

حيث m هو متوسط ​​العينة، و s هو الانحراف المعياري للعينة، و γ ₁ هو معامل الالتواء .

وبحل هذه المعادلات لإيجاد المعاملات نحصل على:

${\displaystyle {\hat {\mu }}=m-s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}=s^{2}\left[1-\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{2/3}\right],}$

${\displaystyle {\hat {\tau }}=s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3}.}$

يُستخدم هذا التوزيع كنموذج نظري لشكل قمم الكروماتوغرافيا . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 12 ]} وقد اقتُرح كنموذج إحصائي للوقت بين الانقسامات في الخلايا المنقسمة. ^{[ 13 ] [ 14 ]} كما يُستخدم في نمذجة حزم الأيونات العنقودية. ^{[ 15 ]} ويُستخدم بشكل شائع في علم النفس وعلوم الدماغ الأخرى في دراسة أزمنة الاستجابة. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} وفي صيغة معدلة قليلاً حيث يُضبط متوسط ​​المكون الطبيعي على الصفر، يُستخدم أيضًا في تحليل الحدود العشوائية ، كأحد مواصفات التوزيع لحد الخطأ المركب الذي ينمذج عدم الكفاءة. ^{[ 19 ]} في معالجة الإشارات، تم توسيع نطاق استخدام تخطيط كهربية العضل (EMG) ليشمل الحالة متعددة الوسائط مع حد تذبذب اختياري لتمثيل إشارات الصوت الرقمية. ^{[ 8 ]}

تُعدّ هذه العائلة من التوزيعات حالة خاصة أو حدّية من التوزيع الطبيعي-الأسّي-غاما . ويمكن اعتبارها أيضًا تعميمًا ثلاثي المعاملات للتوزيع الطبيعي بإضافة خاصية الالتواء؛ ومن التوزيعات المشابهة التوزيع الطبيعي الملتوي ، الذي يتميز بذيل أرق. هذا التوزيع هو توزيع احتمالي مركب يتغير فيه متوسط ​​التوزيع الطبيعي عشوائيًا كتوزيع أسّي مُزاح .

تم اقتراح توزيع غاوسي ناقص أسي لنمذجة أسعار الخيارات. ^{[ 20 ]} إذا كان للمتغير العشوائي Y معلمات μ و σ و λ ، فإن سالبه -Y يتبع توزيعًا غاوسيًا معدلًا أُسّيًا بمعلمات -μ و σ و λ ، وبالتالي يكون متوسط ​​Y هو μ.${\displaystyle \mu -{\tfrac {1}{\lambda }}}$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}+{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$.