مجموع ريمان

في الرياضيات ، يُعرف مجموع ريمان بأنه نوع من تقريب التكامل بمجموع محدود. سُمّي هذا المجموع نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان ، الذي عاش في القرن التاسع عشر . من تطبيقاته الشائعة التكامل العددي ، أي تقريب مساحة الدوال أو الخطوط على الرسم البياني، حيث يُعرف أيضًا بقاعدة المستطيل . كما يُمكن استخدامه لتقريب أطوال المنحنيات وغيرها من التقريبات.

يُحسب المجموع بتقسيم المنطقة إلى أشكال ( مستطيلات ، أو أشباه منحرفات ، أو قطع مكافئ ، أو مكعبات - أحيانًا متناهية الصغر) تُشكل معًا منطقة مشابهة للمنطقة المراد قياسها، ثم حساب مساحة كل شكل من هذه الأشكال، وأخيرًا جمع كل هذه المساحات الصغيرة. يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد تقريب عددي للتكامل المحدد حتى لو لم تُسهّل النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل إيجاد حل مغلق .

لأن المنطقة المقسمة إلى أشكال صغيرة لا تتطابق عادةً مع شكل المنطقة المقاسة، فإن مجموع ريمان سيختلف عن المساحة المقاسة. ويمكن تقليل هذا الخطأ بتقسيم المنطقة بدقة أكبر باستخدام أشكال أصغر فأصغر. ومع ازدياد صغر الأشكال، يقترب المجموع من تكامل ريمان .

يترك${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$لتكن دالة معرفة على فترة مغلقة${\displaystyle [a,b]}$من الأعداد الحقيقية،${\displaystyle \mathbb {R} }$، و${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$كجزء من​${\displaystyle [a,b]}$، إنه $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$مجموع ريمان${\displaystyle S}$ل${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle [a,b]}$مع التقسيم${\displaystyle P}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ أين${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$و${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$[ ^{1 ]} قد ينتج المرء مجاميع ريمان مختلفة اعتمادًا على ^أي${\displaystyle x_{i}^{*}}$يتم اختيار قيم s. في النهاية، لن يكون لهذا الأمر أهمية، إذا كانت الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان ، عندما يكون الفرق أو عرض الحدود المجموعية${\displaystyle \Delta x_{i}}$يقترب من الصفر.

خيارات محددة لـ${\displaystyle x_{i}^{*}}$أعطِ أنواعًا مختلفة من مجاميع ريمان:

• لو${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$بالنسبة لجميع i ، فإن الطريقة هي القاعدة اليسرى ^{[ 2 ] [ 3 ]} وتعطي مجموع ريمان الأيسر .
• لو${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$بالنسبة لجميع i ، فإن الطريقة هي القاعدة الصحيحة ^{[ 2 ] [ 3 ]} وتعطي مجموع ريمان الصحيح .
• لو${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$بالنسبة لجميع i ، فإن الطريقة هي قاعدة نقطة المنتصف ^{[ 2 ] [ 3 ]} وتعطي مجموع ريمان الأوسط .
• لو${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$(أي ، أعلى${\textstyle f}$زيادة${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$)، الطريقة هي القاعدة العليا وتعطي مجموع ريمان العلوي أو مجموع داربو العلوي .
• لو${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$(أي، الحد الأدنى لـ f على${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$)، الطريقة هي القاعدة الدنيا وتعطي مجموع ريمان الأدنى أو مجموع داربو الأدنى .

تُعدّ جميع طرق جمع ريمان هذه من أبسط الطرق لإجراء التكامل العددي . وبشكل عام، تكون الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا تقاربت جميع مجاميع ريمان كلما ازدادت دقة التقسيم.

على الرغم من أنها لا تُشتق كمجموع ريمان، فإن حساب متوسط ​​مجموعي ريمان الأيمن والأيسر يُعرف بقاعدة شبه المنحرف ، ويُعطي مجموعًا شبه منحرف . وهي إحدى أبسط الطرق العامة لتقريب التكاملات باستخدام المتوسطات المرجحة. ويليها في التعقيد قاعدة سيمبسون وصيغ نيوتن-كوتس .

أي مجموع ريمان على تجزئة معينة (أي، لأي اختيار لـ${\displaystyle x_{i}^{*}}$بين${\displaystyle x_{i-1}}$و${\displaystyle x_{i}}$يقع هذا التكامل بين مجموعي داربو السفلي والعلوي. ويشكل هذا أساس تكامل داربو ، الذي يكافئ في النهاية تكامل ريمان.

تُعدّ طرق جمع ريمان الأربعة الأنسب عادةً هي تلك التي تستخدم فترات فرعية متساوية الحجم. ولذلك، تُقسّم الفترة [ a , b ] إلى${\displaystyle n}$فترات فرعية، طول كل منها $${\displaystyle \Delta x={\frac {ba}{n}}.}$$

ستكون النقاط في التقسيم بعد ذلك $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

حكم اليسار

بالنسبة لقاعدة اليسار، تُقارب الدالة بقيمها عند النهايات اليسرى للفترات الجزئية. ينتج عن ذلك مستطيلات متعددة بقاعدة Δx وارتفاع f(a + iΔx) . بتطبيق ذلك على i = 0 , 1 , ..., n − 1 ، وجمع المساحات الناتجة، نحصل على$${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

يمثل مجموع ريمان الأيسر تقديرًا زائدًا إذا كانت الدالة f متناقصة بشكل رتيب على هذه الفترة، وتقديرًا ناقصًا إذا كانت متزايدة بشكل رتيب . وسيكون خطأ هذه الصيغة هو $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(ba)^{2}}{2n}},}$$ أين${\displaystyle M_{1}}$هي القيمة القصوى للقيمة المطلقة لـ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$خلال الفترة الزمنية.

قاعدة الحق

بالنسبة للقاعدة الصحيحة، تُقارب الدالة بقيمها عند النهايات اليمنى للفترات الجزئية. ينتج عن ذلك مستطيلات متعددة بقاعدة Δx وارتفاع f ( a + iΔx ) . بتطبيق ذلك على i = 1، ...، n ، وجمع المساحات الناتجة، نحصل على$${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

يُشير مجموع ريمان الأيمن إلى تقدير أقل إذا كانت الدالة f متناقصة بشكل رتيب ، وتقدير أعلى إذا كانت متزايدة بشكل رتيب . وسيكون خطأ هذه الصيغة هو $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ أين${\displaystyle M_{1}}$هي القيمة القصوى للقيمة المطلقة لـ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$خلال الفترة الزمنية.

قاعدة نقطة المنتصف

في قاعدة نقطة المنتصف، تُقارب الدالة بقيمها عند نقاط منتصف الفترات الجزئية. وهذا يُعطي f ( a + Δx / 2) للفترة الجزئية الأولى، وf ( a + 3Δx /2) للفترة التالية، وهكذا حتى f ( b − Δx / 2 ) . بجمع المساحات الناتجة، نحصل على $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

سيكون خطأ هذه الصيغة هو $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ أين${\displaystyle M_{2}}$هي القيمة القصوى للقيمة المطلقة لـ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$على مدى الفترة. هذا الخطأ هو نصف خطأ مجموع شبه المنحرف؛ ولذلك فإن مجموع ريمان الأوسط هو الطريقة الأكثر دقة لمجموع ريمان.

قاعدة شبه المنحرف

في قاعدة شبه المنحرف، يتم تقريب الدالة بمتوسط ​​قيمها عند طرفي الفترات الجزئية. باستخدام صيغة المساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$بالنسبة لشبه منحرف ذي أضلاع متوازية b1 _و b2 وارتفاع h ، فإن _مجموع المساحات الناتجة يعطي$${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

سيكون خطأ هذه الصيغة هو $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ أين${\displaystyle M_{2}}$هي القيمة القصوى للقيمة المطلقة لـ${\displaystyle f''(x)}$.

إن التقريب الذي يتم الحصول عليه باستخدام مجموع شبه المنحرف لدالة ما هو نفسه متوسط ​​مجموعي الطرفين الأيسر والأيمن لتلك الدالة.

لمجموع ريمان أحادي البعد على المجال${\displaystyle [a,b]}$عندما يتقلص الحد الأقصى لحجم فترة جزئية إلى الصفر (أي عندما تؤول نهاية معيار الفترات الجزئية إلى الصفر)، فإن بعض الدوال ستتقارب جميع مجاميع ريمان الخاصة بها إلى القيمة نفسها. تُعرَّف هذه القيمة الحدية، إن وُجدت، بأنها تكامل ريمان المحدد للدالة على المجال. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

في نطاق محدود الحجم، إذا تقلص الحد الأقصى لحجم فترة جزئية إلى الصفر، فهذا يعني أن عدد الفترات الجزئية يؤول إلى اللانهاية. بالنسبة للتقسيمات المحدودة، تُعدّ مجاميع ريمان دائمًا تقريبًا للقيمة الحدية، ويتحسن هذا التقريب كلما ازدادت دقة التقسيم. توضح الرسوم المتحركة التالية كيف أن زيادة عدد الفترات الجزئية (مع تقليل الحد الأقصى لحجمها) يُحسّن تقريب "المساحة" تحت المنحنى.

• 
  مجموع ريمان الأيسر
• 
  مجموع ريمان الأيمن
• 
  مجموع ريمان الأوسط

بما أن الدالة الحمراء هنا يفترض أنها دالة سلسة ، فإن جميع مجاميع ريمان الثلاثة ستتقارب إلى نفس القيمة عندما يؤول عدد الفترات الفرعية إلى اللانهاية.

مقارنة مجموع ريمان الأيمن مع تكامل x ↦ x ² على${\textstyle [0,2]}$.

تمثيل مرئي للمساحة تحت المنحنى y = x² على الفترة [0, 2]. باستخدام الدوال الأصلية، تكون هذه المساحة ^بالضبط${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

تقريب المساحة تحت المنحنى y = x² على الفترة [0, 2] باستخدام مجموع ريمان الأيمن. لاحظ أنه نظرًا لأن الدالة متزايدة بشكل رتيب، ^فإن مجموع ريمان الأيمن سيُبالغ دائمًا في تقدير المساحة التي يُساهم بها كل حد في المجموع (ويفعل ذلك إلى أقصى حد).

قيمة مجموع ريمان الأيمن لـ x ↦ x ² على${\textstyle [0,2]}$مع ازدياد عدد المستطيلات، تقترب المساحة من المساحة الدقيقة لـ${\textstyle {\dfrac {8}{3}}}$.

على سبيل المثال، يمكن حساب المساحة تحت المنحنى y = x ² على الفترة [0، 2] إجرائيًا باستخدام طريقة ريمان.

يتم أولاً تقسيم الفترة [0، 2] إلى n فترات فرعية، ويُعطى كل منها عرضًا قدره${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$هذه هي عروض مستطيلات ريمان (المشار إليها فيما يلي بـ "المربعات"). ولأننا سنستخدم مجموع ريمان الأيمن، فإن تسلسل إحداثيات x للمربعات سيكون كالتالي:${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$لذلك، سيكون تسلسل ارتفاعات الصناديق كالتالي:${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$من الحقائق المهمة أن${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$، و${\displaystyle x_{n}=2}$.

ستكون مساحة كل صندوق${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$وبالتالي فإن مجموع ريمان الأيمن النوني سيكون كالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

إذا نُظر إلى النهاية عندما n → ∞، يُمكن استنتاج أن التقريب يقترب من القيمة الفعلية للمساحة تحت المنحنى مع ازدياد عدد المربعات. ومن ثم: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

تتفق هذه الطريقة مع التكامل المحدد كما تم حسابه بطرق أكثر آلية: $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

لأن الدالة متصلة ومتزايدة بشكل رتيب على الفترة، فإن مجموع ريمان الأيمن يُبالغ في تقدير التكامل بأكبر قدر (بينما يُقلل مجموع ريمان الأيسر من تقدير التكامل بأكبر قدر). هذه الحقيقة، الواضحة بديهيًا من الرسوم البيانية، تُبين كيف تُحدد طبيعة الدالة مدى دقة تقدير التكامل. على الرغم من بساطتها، فإن مجموعي ريمان الأيمن والأيسر غالبًا ما يكونان أقل دقة من التقنيات الأكثر تقدمًا لتقدير التكامل، مثل قاعدة شبه المنحرف أو قاعدة سيمبسون .

تحتوي الدالة المثال على مشتقة أصلية يسهل إيجادها، لذا فإن تقدير التكامل بواسطة مجاميع ريمان هو في الغالب تمرين أكاديمي؛ ومع ذلك، يجب أن نتذكر أنه ليس لكل الدوال مشتقات أصلية، لذا فإن تقدير تكاملاتها عن طريق الجمع أمر مهم عمليًا.

تعتمد الفكرة الأساسية وراء مجموع ريمان على "تقسيم" المجال إلى أجزاء، وضرب "حجم" كل جزء بقيمة معينة تأخذها الدالة على ذلك الجزء، ثم جمع كل هذه النواتج. ويمكن تعميم هذه الفكرة لتشمل مجموع ريمان للدوال على مجالات متعددة الأبعاد.

على الرغم من أن عملية تقسيم المجال تبدو بديهية وسهلة الفهم، إلا أن التفاصيل التقنية لكيفية تقسيم المجال تصبح أكثر تعقيدًا بكثير من الحالة أحادية البعد، وتتضمن جوانب من الشكل الهندسي للمجال. ^{[ 4 ]}

• مضاد المشتق
• طريقة أويلر وطريقة نقطة المنتصف ، وهما طريقتان مرتبطتان لحل المعادلات التفاضلية
• تكامل ليبيغ
• التكامل الريماني ، نهاية مجاميع ريمان عندما يصبح التقسيم دقيقًا إلى ما لا نهاية
• قاعدة سيمبسون ، وهي طريقة عددية قوية تفوق قوة مجاميع ريمان الأساسية أو حتى قاعدة شبه المنحرف.
• قاعدة شبه المنحرف ، طريقة عددية تعتمد على متوسط ​​مجموع ريمان الأيسر والأيمن

• وايسستين، إريك دبليو. “ريمان سوم” . عالم الرياضيات .
• محاكاة توضح تقارب مجاميع ريمان