بروبريزم

في الهندسة ذات الأبعاد الأربعة أو أعلى، يُعرف المنشور الجزئي بأنه متعدد السطوح الناتج عن الضرب الديكارتي لمتعددي سطوح أو أكثر، كل منها ذو بعدين أو أعلى. وقد صاغ هذا المصطلح جون هورتون كونواي للإشارة إلى المنشور الناتج . يساوي بُعد فضاء المنشور الجزئي مجموع أبعاد جميع عناصره الناتجة. غالبًا ما يُنظر إلى المنشورات الجزئية على أنها عناصر ذات k وجه لمتعددات سطوح منتظمة . ^{[ 1 ]}

عدد الرؤوس في المنشور يساوي حاصل ضرب عدد الرؤوس في جميع المضلعات في الناتج.

أدنى رتبة تناظر لمنشور هي حاصل ضرب رتب التناظر لجميع متعددات الوجوه. ويمكن الحصول على رتبة تناظر أعلى إذا كانت متعددات الوجوه في حاصل الضرب متطابقة.

يكون المنشور محدبًا إذا كانت جميع متعددات الوجوه الناتجة عنه محدبة.

المتجه f هو عدد عناصر الوجه k في متعدد السطوح، من k = 0 (النقاط) إلى k = n - 1 (الأوجه). يمكن أن يشمل المتجه f الموسع أيضًا k = -1 (السطح الصفري)، أو k = n (الجسم). تتضمن عمليات ضرب الموشور عنصر الجسم. (يتضمن ثنائي عمليات ضرب الموشور السطح الصفري، بينما تتضمن عمليات ضرب الهرم كليهما).

يمكن حساب متجه f لضرب المنشور، A×B، على النحو التالي (f _A , 1 )*(f _B , 1 )، مثل ضرب كثير الحدود بمعاملات كثير الحدود.

على سبيل المثال، ينتج عن ضرب مثلث، f=(3,3)، وضلع، f=(2) منشور ثلاثي ذو 6 رؤوس و9 أضلاع و5 أوجه:

f _A (x) = (3,3, 1 ) = 3 + 3x + x ² (مثلث)

f _B (x) = (2, 1 ) = 2 + x (dion)

f _A∨B (x) = f _A (x) * f _B (x)

= (3 + 3x + x ² ) * (2 + x)

= 6 + 9x + ^5x² + ^x³

= (6,9,5, 1 )

يمكن حساب متجهات f للمكعب الفائق كحاصل ضرب ديكارتي لـ n من الأيونات، {  } ⁿ . كل {  } له f=(2)، ممتد إلى f=(2، 1 ).

على سبيل المثال، سيكون لمكعب 8 أبعاد حاصل ضرب قوى متجه f ممتد: f=(2, 1 ) ⁸ = (4,4, 1 ) ⁴ = (16,32,24,8, 1 ) ² = (256,1024,1792,1792,1120,448,112,16, 1 ). إذا كانت الأطوال متساوية، فإن هذا التضاعف يمثل {  } ⁸ ، ومنشورًا رباعيًا مربعًا {4} ⁴ ، ومنشورًا ثنائيًا رباعي الأبعاد {4,3,3} ² ، ومكعب 8 أبعاد منتظم {4,3,3,3,3,3,3}.

في الهندسة ذات الأبعاد الأربعة أو أعلى، يُعدّ المنشور المزدوج متعدد السطوح الناتج عن الضرب الديكارتي لمتعددي سطوح، كل منهما ثنائي الأبعاد أو أعلى. ويُسمى الضرب الديكارتي لمتعدد سطوح من الرتبة a ومتعدد سطوح من الرتبة b متعدد السطوح من الرتبة (a+b) ، حيث a و b متعددا سطوح من الرتبة 2 أو أعلى.

يشير هذا المصطلح في الغالب إلى حاصل ضرب مضلعين في أربعة أبعاد. وفي سياق حاصل ضرب المضلعات، أطلق هنري ب. مانينغ في عمله الذي صدر عام 1910 لشرح البعد الرابع اسم " الموشورات المزدوجة" . ^{[ 2 ]}

حاصل الضرب الديكارتي لمضلعين هو مجموعة النقاط التالية :

${\displaystyle P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,u,v)|(x,y)\in P_{1},(u,v)\in P_{2}\}}$

حيث P ₁ و P ₂ هما مجموعتا النقاط الموجودة في المضلعات المعنية.

أصغرها هو منشور ثنائي 3-3 ، يتكون من حاصل ضرب مثلثين. إذا كانت المثلثات منتظمة، فيمكن كتابته كحاصل ضرب رموز شلافلي ، {3}  ×  {3}، ويتكون من 9 رؤوس.

يمكن بناء المكعب الفائق (التيسيراكت  ) على شكل منشور مزدوج {4} ×  {4}، وهو حاصل ضرب مربعين متعامدين متساويين في الحجم ، ويتكون من 16 رأسًا. ويمكن بناء المكعب الخماسي  على شكل منشور مزدوج {4} ×  {4,3}، وهو حاصل ضرب مربع ومكعب، بينما يمكن بناء المكعب السداسي على شكل حاصل ضرب مكعبين، {4,3}  ×  {4,3}.

في الهندسة ذات الأبعاد الستة أو أعلى، يُعرف الضرب الثلاثي بأنه متعدد السطوح الناتج عن الضرب الديكارتي لثلاثة متعددات سطوح، كل منها ثنائي الأبعاد أو أعلى. ويُسمى الضرب الديكارتي لمتعدد السطوح من الرتبة a ، ومتعدد السطوح من الرتبة b ، ومتعدد السطوح من الرتبة c، متعدد السطوح من الرتبة ( a  + b + c )، حيث a و b و c متعددات سطوح ثنائية الأبعاد ( مضلع ) أو أعلى.   

أقل الأشكال بُعدًا هي متعددات الوجوه السداسية، وهي حاصل الضرب الديكارتي لثلاثة مضلعات . أصغرها يمكن كتابته على شكل {3}  ×  {3}  ×  {3} في رموز شلافلي إذا كانت منتظمة، ويحتوي على 27 رأسًا. هذا هو حاصل ضرب ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع ، وهو متعدد وجوه منتظم . يمكن حساب متجهات f باستخدام (3,3, 1 ) ^³ = (27,81,108,81,36,9, 1 ).

يمكن إنشاء المكعب السداسي كحاصل ضرب ثلاثي {4} × {4}  ×  {4}  .  ويمكن حساب متجهات f بواسطة (4,4, 1 ) ³ = (64,192,240,160,60,12, 1 ).