منشور ثلاثي

عندما تتساوى جميع أضلاع المنشور الثلاثي في ​​الطول، تكون قاعدته ووجوهه الجانبية متساوية الأضلاع ومربعة على التوالي . لذا، يُوصف المنشور الثلاثي بأنه شبه منتظم . المنشور شبه المنتظم يعني أن عدد أضلاع قاعدته المضلعة يساوي عدد وجوهه المربعة. ^{[ 8 ]} وبشكل أعم، يُوصف المنشور الثلاثي بأنه منتظم . وهذا يعني أن للمنشور الثلاثي وجوهًا منتظمة ، وله تناظر في تحويل أي رأسين إلى نقطة واحدة، وهو ما يُعرف بالتناظر المتساوي الزوايا . ^{[ 9 ]} الزاوية الثنائية بين وجهين مربعين متجاورين هي الزاوية الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع π /3 = 60° ، والزاوية الثنائية بين المربع والمثلث هي π /2 = 90° . ^{[ 10 ]}

حجم أي منشور هو حاصل ضرب مساحة قاعدته في المسافة بين قاعدتيه. ^{[ 11 ]} في حالة المنشور المثلثي، تكون قاعدته مثلثًا. مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب قاعدته (b) في ارتفاعه (h) ، وتُكتب على النحو التالي : ½ bh . بما أن المسافة بين قاعدتي المنشور المثلثي (l) هي l ، فإن الصيغة العامة لحجمه هي: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{2}}bh\cdot l.}$$ في حالة المنشور المثلثي القائم، حيث تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول l ، يمكن حساب حجمه كحاصل ضرب مساحة المثلث متساوي الأضلاع والمسافة بين قاعدتيه: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle V_{\text{uniform}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l={\frac {\sqrt {3}}{4}}l^{3}\approx 0.433\,l^{3}}$$

مجموعة التناظر ثلاثية الأبعاد للمنشور المثلثي هي التناظر المنشوري _D3h من _الرتبة 12: يبقى شكل المنشور المثلثي دون تغيير عند تدويره بمقدار ثلثي أو ثلثي زاوية كاملة حول محور تناظره المار بقاعدة المركز، وانعكاسه على مستوى أفقي. ^{[ 10 ]} المجسم الثنائي لأي منشور هو هرم ثنائي ، وهو مجسم يتكون من دمج هرمين قاعدتيهما متلاصقتين. في حالة المنشور المثلثي، يكون مجسمه الثنائي هرمًا ثنائيًا مثلثيًا ، وكلاهما يشتركان في مجموعة تناظر ثلاثية الأبعاد. ^{[ 1 ]}

ينتج عن منشورين مثلثين، حيث يتم تثبيت الوجه المربع لأحدهما بربع دورة، شكلًا دوارًا يشبه قرص العسل ، والذي يغطي قرص العسل المنشوري المثلثي الدوار.

التبليط الرباعي

المنشور المثلثي المنتظم هو مجسم متعدد الأوجه ، وهو مجسم يملأ الفراغ ، ويمكن تعريفه بأنه خلية فورونوي لمجموعة ديلون متناظرة لإنشاء خلية نحل . تُعد خلية النحل المنشورية المثلثية مثالًا على أن المنشورات المثلثية هي الأشكال الأولية الوحيدة . ^{[ 18 ]} أما أنواع خلايا النحل الأخرى التي تحتوي على خلية على شكل منشور ثلاثي وأشكال متعددة السطوح أخرى فهي: خلية نحل مكعبة متناوبة مستطيلة (مع ثماني السطوح ورباعيات السطوح منتظمة)، خلية نحل مكعبة متناوبة مستطيلة (مع ثماني السطوح ورباعيات السطوح منتظمة)، خلية نحل موشورية مربعة مقطوعة ، خلية نحل موشورية سداسية مثلثة ، خلية نحل موشورية سداسية مقطوعة ، خلية نحل موشورية سداسية مثلثة معينية ، خلية نحل موشورية سداسية مثلثة مقطوعة ، خلية نحل موشورية مثلثة مستطيلة . ^{[ 19 ]}

قدّم جون هورتون كونواي وتشارلز رادين في عام 1998 التبليط الرباعي ، وهو تبليط ثلاثي الأبعاد غير دوري . تتكون البلاطات الأولية من موشورات مثلثة قائمة الزاوية بأبعاد 30-60-90 ، بعضها مُدار بزاوية π /3 والبعض الآخر بزاوية π /2 في اتجاه عمودي. ^{[ 20 ]}

إلى جانب الهرم الثنائي المثلثي باعتباره متعدد السطوح الثنائي له، ترتبط العديد من متعددات السطوح الأخرى بالمنشور المثلثي. يُعرَّف مجسم جونسون بأنه متعدد سطوح محدب ذو أوجه منتظمة، وقد يُغفل هذا التعريف أحيانًا متعددات السطوح المنتظمة مثل مجسمات أرخميدس ، ومجسمات كاتالان ، والموشورات، والموشورات المضادة . ^{[ 21 ]} يوجد ستة مجسمات جونسون تتضمن بنيتها المنشور المثلثي:

• يتم صنع الهرم المثلثي المطول والهرم المثلثي المزدوج المطول عن طريق تثبيت رباعي الأوجه على قاعدة منشور مثلثي. ^{[ 22 ]}
• يتم بناء المنشور المثلثي المعزز، والمنشور المثلثي المعزز ثنائياً، والمنشور المثلثي المعزز ثلاثياً عن طريق ربط أهرامات مربعة متساوية الأضلاع بالوجه المربع للمنشور . ^{[ 22 ]}
• يُبنى الجيروبيستيجيوم عن طريق ربط منشور ثلاثي بربع دورة على أي وجه مربع لمنشور آخر. ^{[ 22 ]} ويمكنه تغطية مساحة من قرص العسل المنشوري الثلاثي الدوار . ^{[ 23 ]} على عكس المنشور الثلاثي، الذي يُعدّ مجسمًا ثلاثي الأوجه، فإن الجيروبيستيجيوم مجسم ثلاثي الأوجه ، لأن النقاط الموجودة في مراكز خلايا تبليطه وجهًا لوجه (حيث تُجبر على التموضع بفعل التناظر) لها خلايا فورونوي مختلفة الشكل. إذا كان الجيروبيستيجيوم يحتوي على مثلثات قائمة الزاوية متساوية الساقين ومستطيلات فضية ، فإنه يُعدّ مجسمًا ثلاثي الأوجه.

يمكن قطع جزء من منشور ثلاثي بزاوية مائلة. ينتج عن ذلك قاعدتان غير متوازيتين، بحيث يكون لكل مسافة بين هاتين القاعدتين طول ضلع مختلف. إذا كانت الأضلاع الواصلة بين القاعدتين عمودية على إحداهما، فإن هذا المنشور يُصبح منشورًا ثلاثيًا قائمًا. إذا علمنا أن _A هي مساحة قاعدة المنشور الثلاثي، وأن الارتفاعات هي _h₁ و h₂ و h₃ ، _فيمكن حساب حجمه باستخدام الصيغة التالية: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle V={\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}$$

متعدد السطوح شونهاردت هو متعدد سطوح آخر مُشيد من منشور ثلاثي ذي قواعد مثلثة متساوية الأضلاع. بهذه الطريقة، تدور إحدى قواعده حول محور المنشور، مما يُقسّم الأوجه المربعة إلى مضلعات مائلة . يمكن إعادة تقسيم كل وجه مربع إلى مثلثين لتشكيل زاوية ثنائية غير محدبة. ^{[ 25 ]} ونتيجة لذلك، لا يمكن تقسيم متعدد السطوح شونهاردت إلى رباعيات أوجه. كما أنه لا يحتوي على أقطار داخلية. ^{[ 26 ]} سُمّيَ على اسم عالم الرياضيات الألماني إريك شونهاردت ، الذي وصفه عام 1928، على الرغم من أن الفنان كارليس يوهانسونز عرض بنية مشابهة عام 1921. ^{[ 27 ]}

يمكن تقويم المنشور الثلاثي من الغلاف المحدب لحواف نقاط منتصفه. ينتج عن هذا التركيب ثلاثة أوجه مربعة على نفس مستويات الأوجه المربعة للمنشور، ووجهان مثلثان متساويا الأضلاع على مستويات نهايات المنشور المثلثية، وستة أوجه مثلثية متساوية الساقين. وبإنتاج رسم بياني ، يشكل ثنائيّه متعدد السطوح محدبًا آخر يُسمى مجسم هيرشل التساعي . ^{[ 28 ]}

مركب من الموشورات المثلثية

يمكن تكوين عدد من الموشورات المثلثية من خلال مشاركة مركز مشترك. أربعة مركبات متجانسة من الموشورات المثلثية هي: مركب من أربعة موشورات مثلثية ، ومركب من ثمانية موشورات مثلثية ، ومركب من عشرة موشورات مثلثية ، ومركب من عشرين موشورًا مثلثيًا . ^{[ 29 ]}

المنشور المثلثي هو أول شكل في سلسلة متعددة الأبعاد من متعددات الوجوه شبه المنتظمة . كل متعدد وجوه منتظم متتابع يُنشأ من شكل رأس متعدد الوجوه السابق. حدد ثورولد جوسيت هذه السلسلة عام 1900 على أنها تحتوي على جميع أوجه متعددات الوجوه المنتظمة ، بما في ذلك جميع الأشكال البسيطة والمتعامدة ( المثلثات متساوية الأضلاع والمربعات في حالة المنشور المثلثي). في تدوين كوكسيتر ^، يُعطى المنشور المثلثي الرمز − 1 _21. ^[ 30 ^]

k 21 شكلاً في n أبعاد
فضاء	محدود						إقليدي	القطع الزائد
إي إن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكسيتر	E 3 = A 2 A 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = Ẽ {8} = E 8 +	E 10 = T 8 = E 8 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	1920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 21​	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21