متعدد الأوجه موحد

للمضلعات المنتظمة من الرتبة n عدد n من عمليات التصحيح . التصحيح الصفري هو الشكل الأصلي. التصحيح ( n -1) هو الشكل الثنائي . يختزل التصحيح الحواف إلى رؤوس، ويختزل التصحيح الثنائي الوجوه إلى رؤوس، ويختزل التصحيح الثلاثي الخلايا إلى رؤوس، ويختزل التصحيح الرباعي الوجوه ذات الـ 4 أوجه إلى رؤوس، ويختزل التصحيح الخماسي الوجوه ذات الـ 5 أوجه إلى رؤوس، وهكذا.

يمكن استخدام رمز شلافلي الموسع لتمثيل الأشكال المصححة، مع رمز سفلي واحد:

• التصحيح رقم k = t _k {p ₁ , p ₂ , ..., p _n−1 } = k r .

عمليات القطع التي يمكن تطبيقها على متعددات الوجوه المنتظمة من الرتبة n بأي تركيبة. يحتوي مخطط كوكسيتر الناتج على عقدتين محاطتين بحلقة، وتُسمى العملية نسبةً إلى المسافة بينهما. يقطع القطع الرؤوس، ويقطع التشكيل الحواف، ويقطع القطع السريع الوجوه، ويقطع القطع البطيء الخلايا. كل عملية أعلى تقطع العمليات الأدنى منها أيضًا، لذا فإن التشكيل يقطع الرؤوس أيضًا.

1. t _0,1 أو t : القطع - يُطبق على المضلعات وما فوقها. يزيل القطع الرؤوس، ويُضيف وجهًا جديدًا مكان كل رأس سابق. تُقطع الأوجه، مما يُضاعف أضلاعها. (المصطلح، الذي صاغه كيبلر ، مشتق من الكلمة اللاتينية truncare التي تعني "القطع").

   

   • وهناك عمليات اقتطاع أعلى أيضًا: اقتطاع ثنائي t _1,2 أو 2t ، اقتطاع ثلاثي t _2,3 أو 3t ، اقتطاع رباعي t _3,4 أو 4t ، اقتطاع خماسي t _4,5 أو 5t ، إلخ.
2. t _0,2 أو rr : الكانتيليشن - يُطبق على المجسمات متعددة الأوجه وما فوقها. يمكن اعتباره تصحيحًا لتصحيحه . يقوم الكانتيليشن باقتطاع كل من الرؤوس والحواف واستبدالها بأوجه جديدة. تُستبدل الخلايا بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (المصطلح، الذي صاغه جونسون، مشتق من الفعل cant ، مثل bevel ، بمعنى القطع بوجه مائل).

   

   • وهناك أيضاً أبراج أعلى: الأبراج الثنائية t _1,3 أو r2r ، والأبراج الثلاثية t _2,4 أو r3r ، والأبراج الرباعية t _3,5 أو r4r ، إلخ.
   • t _0,1,2 أو tr : اقتطاع الكانتي - يُطبق على المجسمات متعددة الأوجه وما فوقها. يمكن اعتباره اقتطاعًا لعملية التصحيح . يقتطع الكانتي الرؤوس والحواف ويستبدلها بأوجه جديدة. تُستبدل الخلايا بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (يجمع المصطلح المركب بين الكانتيليشن والاقتطاع).
     • وهناك أيضاً زخارف أعلى: الزخرفة الثنائية t _1,2,3 أو t2r ، والزخرفة الثلاثية t _2,3,4 أو t3r ، والزخرفة الرباعية t _3,4,5 أو t4r ، إلخ.
3. t _0,3 : الحذف الجزئي - يُطبق على متعدد السطوح الرباعي المنتظم وما فوق. يقوم الحذف الجزئي بحذف الرؤوس والحواف والوجوه، واستبدال كل منها بوجوه جديدة. تُستبدل الوجوه الرباعية بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (المصطلح، الذي صاغه جونسون، مشتق من الكلمة اللاتينية runcina التي تعني " مستوى النجار ").
   • وهناك أيضًا درجات أعلى من التفتت: التفتت الثنائي t _1,4 ، والتفتت الثلاثي t _2,5 ، إلخ.
4. t _0,4 أو 2r2r : التقسيم السطحي - يُطبق على متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة وما فوقها. يقوم التقسيم السطحي بحذف الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا، واستبدال كل منها بوجوه جديدة. تُستبدل الوجوه الخماسية بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (المصطلح، الذي صاغه جونسون، مشتق من الكلمة اليونانية stereos التي تعني "صلب").
   • وهناك أيضًا مستويات أعلى من الستيرية: الستيرية الثنائية t _1,5 أو 2r3r ، والستيرية الثلاثية t _2,6 أو 2r4r ، إلخ.
   • t _0,2,4 أو 2t2r : Stericantellation - يتم تطبيقه على متعددات الوجوه الموحدة ذات 5- وما فوق.
     • وهناك أيضًا مستويات أعلى من الستيرية: الستيرية الثنائية t _1,3,5 أو 2t3r ، والستيرية الثلاثية t _2,4,6 أو 2t4r ، إلخ.
5. t _0,5 : التقطيع - يُطبق على متعددات الوجوه السداسية المنتظمة وما فوقها. يقوم التقطيع باقتطاع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا والوجوه الرباعية، واستبدال كل منها بوجوه جديدة. تُستبدل الوجوه السداسية بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (التقطيع مشتق من الكلمة اليونانية pente التي تعني "خمسة").
   • وهناك أيضًا خماسيات أعلى: خماسي ثنائي t _1,6 ، خماسي ثلاثي t _2,7 ، إلخ.
6. t _0,6 أو 3r3r : التقسيم السداسي - يُطبق على متعددات الوجوه المنتظمة ذات 7 أبعاد وما فوق. يقوم التقسيم السداسي بحذف الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا والوجوه الرباعية والوجوه الخماسية، واستبدال كل منها بأوجه جديدة. تُستبدل الوجوه السباعية بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (كلمة "التقسيم السداسي" مشتقة من الكلمة اليونانية hex التي تعني "ستة").
   • وهناك أيضًا عمليات سداسية أعلى: عملية سداسية ثنائية : t _1,7 أو 3r4r ، عملية سداسية ثلاثية : t _2,8 أو 3r5r ، إلخ.
   • t _0,3,6 أو 3t3r : سداسي السطوح - يتم تطبيقه على متعددات الوجوه الموحدة 7 وما فوق.
     • وهناك أيضًا عمليات هكسية أعلى: ثنائية الهكسية : t _1,4,7 أو 3t4r ، ثلاثية الهكسية : t _2,5,8 أو 3t5r ، إلخ.
7. t _0,7 : التقسيم السباعي - يُطبق على متعددات الوجوه المنتظمة ذات 8 أبعاد وما فوق. يقوم التقسيم السباعي بحذف الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا والوجوه الرباعية والخماسية والسداسية، واستبدال كل منها بأوجه جديدة. تُستبدل الوجوه الثمانية بنسخ موسعة طوبولوجيًا من نفسها. (كلمة "التقسيم السباعي" مشتقة من الكلمة اليونانية hepta التي تعني "سبعة").
   • وهناك أيضًا مجموعات سباعية أعلى: مجموعة سباعية ثنائية t _1,8 ، ومجموعة سباعية ثلاثية t _2,9 ، إلخ.
8. t _0,8 أو 4r4r : التثليث - يتم تطبيقه على متعددات الوجوه الموحدة ذات 9 وما فوق.
9. t _0,9 : Ennecation - يتم تطبيقه على متعددات الوجوه المنتظمة ذات 10 مستويات وما فوق.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن إجراء عمليات اقتطاع مركبة تُنتج أيضًا متعددات وجوه منتظمة جديدة. على سبيل المثال، الاقتطاع المتكرر هو عملية اقتطاع متكرر واقتطاع مطبقتان معًا.

إذا تم تطبيق جميع عمليات الاقتطاع في وقت واحد، فيمكن تسمية العملية بشكل عام بالاقتطاع الشامل .

تُزيل عملية خاصة تُسمى التناوب الرؤوس المتناوبة من متعدد السطوح ذي الأوجه الزوجية فقط. ويُطلق على متعدد السطوح المتناوب المقطوع اسم " القطع" .

يمكن دائمًا إنشاء متعددات الوجوه الناتجة، وهي ليست عاكسة بشكل عام، كما أنها لا تحتوي بشكل عام على حلول متعددة الوجوه موحدة .

تُعرف مجموعة متعددات الوجوه المتكونة من تناوب المكعبات الفائقة باسم المكعبات النصفية . في ثلاثة أبعاد، ينتج عن ذلك رباعي الأوجه ؛ وفي أربعة أبعاد، ينتج عن ذلك مكعب ذو 16 خلية ، أو مكعب نصفي .

المضلع الوحيد أحادي البعد هو القطعة المستقيمة. وهو يطابق عائلة كوكسيتر _A1 .

في بُعدين، توجد عائلة لانهائية من المضلعات المنتظمة المحدبة، وأبسطها المثلث متساوي الأضلاع . تتحول المضلعات المنتظمة المقتطعة إلى مضلعات شبه منتظمة هندسيًا ثنائية اللون ، ذات ضعف عدد الأضلاع، أي t{p}={2p}. تُعرض أدناه بعض المضلعات المنتظمة الأولى (وأشكالها شبه المنتظمة):

اسم	المثلث ( ثنائي الأبعاد )	مربع ( مربع ثنائي ) ( مكعب ثنائي )	البنتاغون	مسدس	سباعي الأضلاع	مثمن	إنياجون	العشاري	أحد عشر ضلعًا
شلافلي	{3}	{4} t{2}	{5}	{6} t{3}	{7}	{8} t{4}	{9}	{10} t{5}	{11}
مخطط كوكسيتر
صورة
اسم	اثنا عشر مضلعًا	ثلاثي عشر الأضلاع	رباعي عشر الأضلاع	خماسي عشري	سداسي عشري	سباعي عشري	ثماني عشري	إينيديكاتون	مضلع عشروني
شلافلي	{12} t{6}	{13}	{14} t{7}	{15}	{16} t{8}	{17}	{18} t{9}	{19}	{20} t{10}
مخطط كوكسيتر
صورة

يوجد أيضًا عدد لا نهائي من المضلعات النجمية (مضلع واحد لكل عدد نسبي أكبر من 2)، لكنها غير محدبة. أبسط مثال على ذلك هو النجمة الخماسية ، التي تُقابل العدد النسبي 5/2. يمكن اقتطاع المضلعات النجمية المنتظمة، {p/q}، إلى مضلعات نجمية شبه منتظمة، t{p/q}=t{2p/q}، لكنها تُصبح تغطية مزدوجة إذا كان q زوجيًا. يمكن أيضًا إجراء اقتطاع باستخدام مضلع ذي اتجاه معكوس t{p/(p−q)}={2p/(p−q)}، على سبيل المثال t{5/3}={10/3}.

اسم	نجمة خماسية	الرسوم البيانية السباعية		ثمانية الأجرام	أنماط الشخصية التسعة		ديكاجرام	... n-grams
شلافلي	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3} t{4/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3} t{5/3}	{ p/q }
مخطط كوكسيتر
صورة

المضلعات المنتظمة، التي يُرمز لها برمز شلافلي {p} للمضلع ذي p ضلعًا. المضلعات المنتظمة ثنائية ذاتيًا، لذا فإن عملية التصحيح تُنتج نفس المضلع. عملية القطع المنتظم تُضاعف عدد الأضلاع إلى {2p}. عملية الحذف، التي تُبدّل القطع، تُعيد المضلع الأصلي {p}. بالتالي، فإن جميع المضلعات المنتظمة هي أيضًا مضلعات منتظمة. يمكن إجراء العمليات التالية على المضلعات المنتظمة لاستنتاج المضلعات المنتظمة، وهي بدورها مضلعات منتظمة:

عملية	رموز شلافلي الموسعة		نتيجة عادية	مخطط كوكسيتر	موضع		التناظر
					(1)	(0)
أحد الوالدين	{p}	t 0 {p}	{p}		{}	--	[p] (الترتيب 2p)
مُقوَّم (مزدوج)	r{p}	t 1 {p}	{p}		--	{}	[p] (الترتيب 2p)
مختصر	t{p}	t 0,1 {p}	{2p}		{}	{}	[[p]]=[2p] (الرتبة 4p)
نصف	h{2p}		{p}		--	--	[1 + ,2p]=[p] (رتبة 2p)
سحق	s{p}		{p}		--	--	[[p]] + =[p] (من الرتبة 2p)

في ثلاثة أبعاد، يصبح الوضع أكثر إثارة للاهتمام. هناك خمسة مجسمات منتظمة محدبة، تُعرف باسم المجسمات الأفلاطونية :

اسم	Schläfli {p,q}	رسم بياني	صورة (شفافة)	صورة (صلبة)	صورة (كرة)	الوجوه {p}	الحواف	الرؤوس {q}	التناظر	مزدوج
رباعي الأوجه ( ثلاثي بسيط ) (هرم)	{3,3}					4 {3}	6	4 {3}	تي دي	(نفسه)
مكعب ( مكعب ثلاثي الأبعاد ) (سداسي الأوجه)	{4,3}					6 {4}	12	8 {3}	أوه​	المجسم الثماني
ثماني السطوح ( 3-أورثوبلكس )	{3,4}					8 {3}	12	6 {4}	أوه​	مكعب
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	{5,3}					12 {5}	30	20 {3}2	أنا​	المجسم العشري الوجوه
المجسم العشري الوجوه	{3,5}					20 {3}	30	12 {5}	أنا​	مجسم ذو اثني عشر وجهًا

بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا 13 مجسمًا متعدد السطوح شبه منتظم، أو مجسمات أرخميدس ، والتي يمكن الحصول عليها من خلال إنشاءات ويثوف ، أو عن طريق إجراء عمليات مثل القطع على المجسمات الأفلاطونية، كما هو موضح في الجدول التالي:

	أحد الوالدين	مختصر	تم تصحيحه	مُقتطع (ثنائي متعدٍ)	مُقوَّم ثنائيًا (مزدوجًا)	مُقَنَّط	مقطوع بالكامل ( مقطع جزئيًا )	سحق
رباعي الأوجه 3-3-2	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
ثماني الأوجه 4-3-2	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
عشروني الوجوه 5-3-2	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)

وهناك أيضًا مجموعة لا نهائية من الموشورات ، واحدة لكل مضلع منتظم، ومجموعة مقابلة من الموشورات المضادة .

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	الرسم التخطيطي ورموز Schläfli
P 2p	موشور				tr{2,p}
أ ب	المنشور المضاد				sr{2,p}

تشمل المجسمات النجمية المنتظمة أربعة مجسمات نجمية منتظمة أخرى، ومجسمات كبلر-بوانسو ، و53 مجسمًا نجميًا شبه منتظم. كما توجد مجموعتان لانهائيتان، هما الموشورات النجمية (واحدة لكل مضلع نجمي) والموشورات النجمية المضادة (واحدة لكل عدد نسبي أكبر من 3/2).

الإنشاءات

يمكن تعريف المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة من نوع Wythoff والتبليطات برمز Wythoff الخاص بها ، والذي يحدد المنطقة الأساسية للكائن. وينطبق امتداد لترميز Schläfli ، الذي استخدمه Coxeter أيضًا ، على جميع الأبعاد؛ ويتكون من الحرف 't'، متبوعًا بسلسلة من الأرقام الفرعية التي تُقابل العقد الحلقية في مخطط Coxeter ، ومتبوعًا برمز Schläfli للمجسم متعدد الأوجه الأساسي المنتظم. على سبيل المثال، يُمثل المجسم ثماني الأوجه المقطوع بالترميز: t _0,1 {3,4}.

عملية	رمز شلافلي			مخطط كوكسيتر		رمز Wythoff	موضع:
أحد الوالدين	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p,q}	t 0 {p,q}			q | 2 p	{p}	{ }	--	--	--	{ }
ثنائي التوجيه (أو مزدوج )	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q,p}	t 2 {p,q}			ص | 2 ق	--	{ }	{q}	{ }	--	--
مختصر	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	t{p,q}	t 0,1 {p,q}			2 ق | ص	{2p}	{ }	{q}	--	{ }	{ }
مُقتطع ثنائيًا (أو ثنائي مُقتطع)	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	t{q,p}	t 1,2 {p,q}			2 ص | ق	{p}	{ }	{2q}	{ }	{ }	--
تم تصحيحه	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p,q}	t 1 {p,q}			2 | pq	{p}	--	{q}	--	{ }	--
مُقَدَّس (أو مُوسَّع )	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	rr{p,q}	t 0,2 {p,q}			pq | 2	{p}	{ }×{ }	{q}	{ }	--	{ }
مختصرة (أو مختصرة بالكامل )	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	tr{p,q}	t 0,1,2 {p,q}			2 pq |	{2p}	{ }×{}	{2q}	{ }	{ }	{ }

عملية	رمز شلافلي			مخطط كوكسيتر		رمز Wythoff	موضع:
تم تصحيح الانحناء	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	sr{p,q}				| 2 pq	{p}	{3} {3}	{q}	--	--	--
سحق	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	s{p,2q}	ht 0,1 {p,q}				s{2p}	{3}	{q}	--	{3}

توليد المثلثات

في أربعة أبعاد، توجد ستة مجسمات رباعية منتظمة محدبة ، وسبعة عشر منشورًا على المجسمات الأفلاطونية والأرخميدية (باستثناء المنشور المكعب، الذي سبق اعتباره تيسيراكت ) ، ومجموعتان لانهائيتان: المنشورات على المنشورات المضادة المحدبة، والمنشورات المزدوجة . كما توجد أيضًا واحد وأربعون مجسمًا رباعيًا شبه منتظم محدب، بما في ذلك المنشور المضاد الكبير غير الويثوفي والمجسم ذو الأربع والعشرين خلية المقطوعة . ويتكون كلا هذين المجسمين الرباعيين الخاصين من مجموعات فرعية من رؤوس المجسم ذي الستمائة خلية .

لم تُحصَ جميع المجسمات النجمية المنتظمة رباعية الأبعاد. تشمل المجسمات التي حُصِدَت عشرة مجسمات نجمية منتظمة (شلافلي-هيس) رباعية الأبعاد، و57 موشورًا على مجسمات نجمية منتظمة، بالإضافة إلى ثلاث مجموعات لانهائية: الموشورات على الموشورات النجمية المضادة، والموشورات الثنائية الناتجة عن ضرب مضلعين نجميين، والموشورات الثنائية الناتجة عن ضرب مضلع عادي بمضلع نجمي. يوجد عدد غير معروف من المجسمات رباعية الأبعاد التي لا تندرج ضمن الفئات المذكورة أعلاه؛ وقد اكتُشِفَ أكثر من ألف مجسم حتى الآن.

يمكن اعتبار كل متعدد سطوح منتظم بمثابة صور لمنطقة أساسية في عدد قليل من المرايا. في متعدد السطوح رباعي الأبعاد (أو خلية نحل مكعبة ثلاثية الأبعاد)، تكون المنطقة الأساسية محصورة بأربع مرايا. المرآة في الفضاء الرباعي هي مستوى فائق ثلاثي الأبعاد ، ولكن من الأنسب لأغراضنا أن نقتصر على دراسة تقاطعها ثنائي الأبعاد مع السطح ثلاثي الأبعاد للكرة الفائقة ؛ وبذلك تشكل المرايا رباعي سطوح غير منتظم .

يتم توليد كل من الأشكال المتعددة المنتظمة الستة عشر ذات البعد 4 بواسطة واحدة من مجموعات التناظر الأربع، كما يلي:

• المجموعة [3,3,3]: الخلية الخماسية {3,3,3}، وهي ذاتية التناظر؛
• المجموعة [3,3,4]: 16 خلية {3,3,4} ومكعبها المزدوج {4,3,3}؛
• المجموعة [3،4،3]: المجموعة المكونة من 24 خلية {3،4،3}، ذاتية الازدواج؛
• المجموعة [3,3,5]: 600 خلية {3,3,5}، وثنائيتها المكونة من 120 خلية {5,3,3}، وعشرة تشكيلات منتظمة لها.
• المجموعة [3 ^1,1,1 ]: تحتوي فقط على الأعضاء المتكررة من عائلة [3,3,4].

(تُسمى المجموعات باستخدام تدوين كوكسيتر .)

يتم توليد ثمانية من خلايا النحل المحدبة المنتظمة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بشكل مماثل من خلية النحل المكعبة {4,3,4}، من خلال تطبيق نفس العمليات المستخدمة لتوليد متعددات الوجوه المنتظمة رباعية الأبعاد من نوع Wythoffian.

بالنسبة لأي مُجسم تناظر بسيط، يمكن وضع نقطة توليد على أي من الرؤوس الأربعة، أو الحواف الستة، أو الوجوه الأربعة، أو الحجم الداخلي. على كل عنصر من هذه العناصر الخمسة عشر، توجد نقطة صورتها، المنعكسة في المرايا الأربعة، هي رؤوس متعدد السطوح رباعي منتظم.

تُكتب رموز شلافلي الموسعة بحرف t متبوعًا بواحد إلى أربعة أرقام سفلية 0، 1، 2، 3. إذا كان هناك رقم سفلي واحد، فإن نقطة التوليد تقع على زاوية المنطقة الأساسية، أي نقطة التقاء ثلاث مرايا. تُرمز هذه الزوايا بـ

• 0 : رأس متعدد السطوح الرباعي الأصلي (مركز خلية الثنائي)
• 1 : مركز حافة الأصل (مركز وجه الثنائي)
• 2 : مركز وجه الأصل (مركز حافة الوجه الآخر)
• 3 : مركز خلية الأصل (رأس الخلية الثنائية)

(بالنسبة للمضلعين الرباعيين المتناظرين ذاتيًا، تعني كلمة "متناظر" مضلعًا رباعيًا مشابهًا في الوضع المتناظر.) يشير وجود رمزين سفليين أو أكثر إلى أن نقطة التوليد تقع بين الزوايا المشار إليها.

ملخص بنائي

يُلخّص الجدول أدناه الأشكال البنائية الخمسة عشر حسب العائلة. تُدرج العائلات ذاتية التناظر في عمود واحد، بينما تُدرج العائلات الأخرى في عمودين مع مدخلات مشتركة في مخططات كوكسيتر المتناظرة . يُدرج الصف العاشر الأخير الإنشاءات ذات الخلايا الأربع والعشرين المقطوعة. يشمل ذلك جميع متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة غير المنشورية، باستثناء المنشور المضاد الكبير غير الويثوفي ، الذي لا ينتمي إلى عائلة كوكسيتر.

أ 4	4 قبل الميلاد		د 4	F 4	H 4
[3,3,3]	[4,3,3]		[3,3 1,1 ]	[3,4,3]	[5,3,3]
5-خلية {3،3،3}	16 خلية {3،3،4}	مكعب رباعي الأبعاد {4،3،3}	ديميتسيراكت {3,3 1,1 }	24 خلية {3،4،3}	600 خلية {3،3،5}	120 خلية {5،3،3}
مقوم 5 خلايا r{3,3,3}	مقوم ذو 16 خلية r{3,3,4}	مكعب رباعي الأضلاع مصحح r{4,3,3}	مُقَسَّمٌ مُعَدَّلٌ r{3,3 1,1 }	مقوم 24 خلية r{3,4,3}	مقوم 600 خلية r{3,3,5}	مقوم 120 خلية r{5,3,3}
t{3,3,3} المقتطعة ذات 5 خلايا	t{3,3,4} المقتطعة ذات 16 خلية	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع t{4,3,3}	demitesseract t{3,3 1,1 }	t{3,4,3} المقتطعة ذات 24 خلية	t{3,3,5} المقتطعة ذات 600 خلية	t{5,3,3} المقتطعة المكونة من 120 خلية
rr{3,3,3} ذو 5 خلايا متقابلة	rr{3,3,4} ذات 16 خلية متقابلة	مكعب رباعي الأبعاد ذو ضلعين rr{4,3,3}	مكعب نصف دائري ذو شكل نصف دائري 2r{3,3 1,1 }	rr {3,4,3}	rr{3,3,5} ذات 600 خلية	rr{5,3,3} ذات 120 خلية
خلايا خماسية محروقة t 0,3 {3,3,3}	خلايا 16 محروقة t 0,3 {3,3,4}	مكعب رباعي الأبعاد مقلوب t 0,3 {4,3,3}		خلايا 24 محروقة t 0,3 {3,4,3}	خلايا محروقة 600 خلية، خلايا محروقة 120 خلية، t 0,3 {3,3,5}
t 1,2 {3,3,3} ، مقطع ثنائيًا مكونًا من 5 خلايا	2t{3,3,4} مبتورة ثنائياً مكونة من 16 خلية	مكعب رباعي الأبعاد مُقتطع ثنائياً 2t{4,3,3}	مجزأة القطع 2t{3,3 1,1 }	2t{3,4,3} مبتورة ثنائياً مكونة من 24 خلية	600 خلية مقطوعة بتات، 120 خلية مقطوعة بتات، 2t{3,3,5}
خلايا tr{3,3,3} المقطوعة ذات 5 خلايا	خلايا مبتورة ذات 16 خلية tr{3,3,4}	tesseract مقطوعة tr{4,3,3}	omnitruncated demitesseract tr{3,3 1,1 }	خلايا tr{3,4,3} ذات 24 خلية مقطوعة	خلايا مقتطعة 600 خلية tr{3,3,5}	خلايا مبتورة ذات 120 خلية tr{5,3,3}
runcitruncated 5-cell t 0,1,3 {3,3,3}	runcitruncated 16-cell t 0,1,3 {3,3,4}	runcitruncated tesseract t 0,1,3 {4,3,3}	runcicantellated demitesseract rr{3,3 1,1 }	runcitruncated 24-cell t 0,1,3 {3,4,3}	runcitruncated 600-cell t 0,1,3 {3,3,5}	runcitruncated 120-cell t 0,1,3 {5,3,3}
omnitruncated 5-cell t 0,1,2,3 {3,3,3}	omnitruncated 16-cell t 0,1,2,3 {3,3,4}	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل t 0,1,2,3 {3,3,4}		omnitruncated 24-cell t 0,1,2,3 {3,4,3}	خلية واحدة مقطوعة بالكامل 120 خلية خلية واحدة مقطوعة بالكامل 600 خلية t 0,1,2,3 {5,3,3}
	خلايا sr{3,3,4} متناوبة ومختصرة ذات 16 خلية		snub demitesseract sr{3,3 1,1 }	خلايا متناوبة مقطوعة مكونة من 24 خلية s{3,4,3}

أشكال مختصرة

يُحدد الجدول التالي 15 شكلاً من أشكال الاقتطاع. يمكن أن يحتوي كل شكل على نوع خلية واحد إلى أربعة أنواع، تقع في المواضع 0 و1 و2 و3 كما هو موضح أعلاه. تُسمى الخلايا باستخدام ترميز الاقتطاع متعدد السطوح.

• يتم تمثيل المنشور ذي n ضلعًا على النحو التالي : {  n}×{ }.
• تظهر الخلفية الخضراء على النماذج التي تعادل إما النموذج الأصلي أو النموذج المزدوج.
• الخلفية الحمراء توضح عمليات اقتطاع الأصل، والخلفية الزرقاء توضح عمليات اقتطاع الثنائي.

عملية	رمز شلافلي		مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع:
				(3)	(2)	(1)	(0)
أحد الوالدين	{p,q,r}	t 0 {p,q,r}		{p,q}	--	--	--
تم تصحيحه	r{p,q,r}	t 1 {p,q,r}		r{p,q}	--	--	{q,r}
ثنائي التقويم (أو ثنائي التقويم)	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t 2 {p,q,r}		{q,p}	--	--	r{q,r}
ثلاثي التوجيه (أو ثنائي )	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t 3 {p,q,r}		--	--	--	{r,q}
مختصر	t{p,q,r}	t 0,1 {p,q,r}		t{p,q}	--	--	{q,r}
مختصرة	2t{p,q,r}	2t{p,q,r}		t{q,p}	--	--	t{q,r}
ثلاثي القطع (أو ثنائي القطع)	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t 2,3 {p,q,r}		{q,p}	--	--	t{r,q}
مُقَنَّط	rr{p,q,r}	t 0,2 {p,q,r}		rr{p,q}	--	{ }×{r}	r{q,r}
ثنائي الكانتيل (أو ثنائي الكانتيل)	r2r{p,q,r} = rr{r,q,p}	t 1,3 {p,q,r}		r{p,q}	{p}×{ }	--	rr{q,r}
مُوسّع (أو مُوسّع )	e{p,q,r}	t 0,3 {p,q,r}		{p,q}	{p}×{ }	{ }×{r}	{r,q}
مقتطع	tr{p,q,r}	tr{p,q,r}		tr{p,q}	--	{ }×{r}	t{q,r}
ثنائي القطع (أو ثنائي القطع)	t2r{p,q,r} = tr{r,q,p}	t 1,2,3 {p,q,r}		t{q,p}	{p}×{ }	--	tr{q,r}
مقطوع	e t {p,q,r}	t 0,1,3 {p,q,r}		t{p,q}	{2p}×{ }	{ }×{r}	rr{q,r}
Runcicantellated (أو runcitruncated dual)	e 3t {p,q,r} = e t {r,q,p}	t 0,2,3 {p,q,r}		tr{p,q}	{p}×{ }	{ }×{2r}	t{r,q}
Runcicantitruncated (or omnitruncated )	o{p,q,r}	t 0,1,2,3 {p,q,r}		tr{p,q}	{2p}×{ }	{ }×{2r }	tr{q,r}

أنصاف الأشكال

توجد أنصاف الهياكل التي تحتوي على ثقوب بدلاً من العقد الحلقية. يجب أن تكون الفروع المجاورة للثقوب والعقد غير النشطة ذات رتبة زوجية. تمتلك أنصاف الهياكل رؤوسًا مماثلة لتلك الموجودة في الهياكل الحلقية.

عملية	رمز شلافلي		مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع:
				(3)	(2)	(1)	(0)
نصف متبادل	h{p,2q,r}	ht 0 {p,2q,r}		h{p,2q}	--	--	--
مقوم بالتناوب	hr{2p,2q,r}	ht 1 {2p,2q,r}		hr{2p,2q}	--	--	h{2q,r}
اقتطاع متناوب	s{p,2q,r}	ht 0,1 {p,2q,r}		s{p,2q}	--	--	h{2q,r}
اقتطاع متناوب	2s{2p,q,2r}	ht 1,2 {2p,q,2r}		s{q,2p}	--	--	s{q,2r}
مُقوَّم مُقَطَّع مُتَبَدِّد	sr{p,q,2r}	ht 0,1,2 {p,q,2r}		sr{p,q}	--	s{2,2r}	s{q,2r}
التقطيع المتبادل أومنيسنوب	os{p,q,r}	ht 0,1,2,3 {p,q,r}		sr{p,q}	{p}×{ }	{ }×{r}	sr{q,r}

في الأبعاد الخمسة وما فوقها، توجد ثلاثة أشكال متعددة السطوح منتظمة، هي المكعب الفائق ، والمُجَسَّم البسيط، والمُجَسَّم المتقاطع . وهي تعميمات للمكعب ثلاثي الأبعاد، والهرم الرباعي، والهرم الثماني، على التوالي. لا توجد أشكال متعددة السطوح نجمية منتظمة في هذه الأبعاد. تُستخلص معظم الأشكال متعددة السطوح المنتظمة ذات الأبعاد الأعلى بتعديل الأشكال متعددة السطوح المنتظمة، أو بأخذ حاصل الضرب الديكارتي لأشكال متعددة السطوح ذات أبعاد أقل.

في الأبعاد الستة والسبعة والثمانية، تبرز زمر لي البسيطة الاستثنائية ، E6 و E7 و E8 _. بوضع حلقات على عدد غير صفري من عقد مخططات كوكسيتر ، يمكن الحصول على 39 متعدد وجوه سداسي جديد، _{و 127 متعدد وجوه سباعي جديد ،} و255 متعدد وجوه ثماني جديد. ومن الأمثلة البارزة متعدد _الوجوه 421 .