Begriffsschrift

Begriffsschrift (بالألمانية تعني تقريبًا "كتابة المفاهيم") هو كتاب عن المنطق من تأليف جوتلوب فريجه ، نُشر عام 1879، والنظام الرسمي الموضح في ذلك الكتاب.

يُترجم مصطلح Begriffsschrift عادةً إلى كتابة المفاهيم أو تدوين المفاهيم ؛ ويُعرّفه العنوان الكامل للكتاب بأنه " لغة صيغية ، مُصممة على غرار لغة الحساب ، للفكر المجرد ". تشابهت دوافع فريجه لتطوير منهجه الرسمي في المنطق مع دوافع لايبنتز في ابتكار حسابه المنطقي (calculus ratiocinator ). (مع ذلك، نفى فريجه بوضوح في مقدمة الكتاب أنه حقق هذا الهدف، وأن هدفه الرئيسي كان بناء لغة مثالية مثل لغة لايبنتز، وهو ما وصفه فريجه بأنه مهمة صعبة ومثالية للغاية - وإن لم تكن مستحيلة). واصل فريجه توظيف حسابه المنطقي في أبحاثه حول أسس الرياضيات ، والتي أجراها على مدى ربع القرن التالي. يُعد هذا العمل الأول في الفلسفة التحليلية ، وهو مجال طوره فلاسفة بريطانيون وأمريكيون لاحقًا.

يتضمن هذا الحساب أول ظهور للمتغيرات الكمية، وهو في جوهره منطق ثنائي القيمة كلاسيكي من الدرجة الثانية مع عنصر محايد. وهو ثنائي القيمة لأن الجمل أو الصيغ تدل إما على الصواب أو الخطأ؛ ومن الدرجة الثانية لأنه يشمل متغيرات العلاقات بالإضافة إلى متغيرات الكائنات، ويسمح بالتكميم على كليهما. يشير المُعدِّل "مع عنصر محايد" إلى أن اللغة تتضمن علاقة التطابق، =. ذكر فريجه أن كتابه هو نسخته من مفهوم " الخاصية الشاملة" ، وهو مفهوم لايبنيتزي سيتم تطبيقه في الرياضيات. ^{[ 1 ]}

في الفصل الأول ، يحدد فريجه الأفكار الأساسية والرموز: الحكم ، والشرطية ، والنفي ، وهوية المحتوى ، ^{[ 2 ]} والوظائف والعمومية .

يقدم فريجه حسابه التفاضلي والتكاملي بأسلوب فريد ^{[ 3 ]} ثنائي الأبعاد ، يعتمد على النفي ، والشرط المادي ، والتكميم الكلي . وتُقدَّم الروابط الأخرى والتكميم الوجودي كتعريفات. ولا حاجة للأقواس.

الشرطي (${\displaystyle B\to A}$) يتم التعبير عنها بواسطة . وفيما يتعلق بمعناها، كتب فريجه: ^{[ 4 ]}

"إذا كان الحرفان A و B يمثلان محتويات يمكن أن تصبح أحكامًا، فهناك الاحتمالات الأربعة التالية:

1. تم تأكيد (أ) وتم تأكيد (ب)؛
2. تم تأكيد (أ) وإنكار (ب)؛
3. تم إنكار (أ) وتأكيد (ب)؛
4. تم رفض طلب (أ) وتم رفض طلب (ب).

الآن

يمثل هذا الحكم أن الاحتمال الثالث من تلك الاحتمالات لا يحدث، بينما يحدث أحد الاحتمالات الثلاثة الأخرى .

المكونات الأساسية هي: ^{[ 5 ]}

المفهوم الأساسي	تدوين فريجه	يوضح الرسم البياني (بالتدوين الحديث)	التدوين الحديث
الحكم	${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$		${\displaystyle p(A)=1,}$ ${\displaystyle p(A)=i}$${\displaystyle \vdash A,\Vdash A}$
النفي		أساسي	${\displaystyle \neg A}$
المادة مشروطة		أساسي	${\displaystyle B\to A}$
العطف المنطقي		${\displaystyle \lnot (B\to \lnot A)}$	${\displaystyle A\land B}$
الفصل المنطقي		${\displaystyle \lnot B\to A}$	${\displaystyle A\lor B}$
التحديد الكمي الشامل		أساسي	${\displaystyle \forall x\,F(x)}$
التحديد الكمي الوجودي		${\displaystyle \lnot \forall x\,\lnot F(x)}$	${\displaystyle \exists x\,F(x)}$
التكافؤ المادي	${\displaystyle A\equiv B}$		${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
هوية	${\displaystyle A\equiv B}$		${\displaystyle A=B}$

بالنظر إلى الماضي، يمكن القول أنه في Begriffsschrift ، يتم تمثيل الصيغ بواسطة أشجار التحليل الخاصة بها .

مثال

تمت كتابة الاقتراح 59 ^{[ 6 ]} بالصيغة الحديثة على النحو التالي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \vdash g\left(b\right)\to \left(\lnot f\left(b\right)\to \lnot \left(\forall a\right)\left(g\left(a\right)\to f\left(a\right)\right)\right)}$.

شجرة التحليل هي

 → / \ g(b) → / \ ¬ ¬ | | f(b) ∀a | → / \ g(a) f(a) 

... في تخطيط أفقي من اليسار إلى اليمين

→ ─── → ─── ¬ ─── ∀a ─── → ─── f(a) \ \ \ g(b) ¬ g(a) \ f(b) 

في Begriffsschrift ، يتم تمثيل الاقتراح 59 كـ ^{[ 6 ]}

├─┬─┬─┬─a̲─┬─── f(a) │ │ └─── g(a) │ └──────┬── f(b) └─────────── g(b) 

في الفصل الثاني، أعلن فريجه أن تسعة من قضاياه تُعدّ بديهيات ، وبررها بالقول بشكل غير رسمي إنها، بالنظر إلى معانيها المقصودة، تُعبّر عن حقائق بديهية. وهذه البديهيات، مُعاد صياغتها بالرموز المعاصرة، هي:

1. ${\displaystyle \vdash A\to (B\to A)}$
2. ${\displaystyle \vdash [A\to (B\to C)]\to [(A\to B)\to (A\to C)]}$
3. ${\displaystyle \vdash [D\to (B\to A)]\to [B\to (D\to A)]}$
4. ${\displaystyle \vdash (B\to A)\to (\lnot A\to \lnot B)}$
5. ${\displaystyle \vdash \lnot \lnot A\to A}$
6. ${\displaystyle \vdash A\to \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash (c=d)\to (f(c)=f(d))}$
8. ${\displaystyle \vdash c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \forall a\,f(a)\to f(c)}$

هذه هي القضايا 1، 2، 8، 28، 31، 41، 52، 54، و58 في كتاب المفاهيم . تحكم القضايا (1)–(3) الاستلزام المادي ، و(4)–(6) النفي ، و(7) و(8) الهوية، و(9) المُكمِّم الكلي . تعبر القضية (7) عن عدم تمييز لايبنتز للمتطابقات ، وتؤكد القضية (8) أن الهوية علاقة انعكاسية .

يتم استنتاج جميع القضايا الأخرى من (1) إلى (9) عن طريق استدعاء أي من قواعد الاستدلال التالية :

• يسمح مبدأ الاستدلال (Modus ponens) بالاستدلال${\displaystyle \vdash B}$من${\displaystyle \vdash A\to B}$و${\displaystyle \vdash A}$؛
• تسمح قاعدة التعميم بالاستنتاج${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$من${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$إذا لم يظهر x في P ؛
• قاعدة الاستبدال ، التي لم يذكرها فريجه صراحةً. يصعب تحديد هذه القاعدة بدقة مقارنةً بالقاعدتين السابقتين، ويستشهد بها فريجه بطرق غير واضحة المشروعة.

تتعلق النتائج الرئيسية للفصل الثالث، بعنوان "أجزاء من نظرية السلسلة العامة"، بما يسمى الآن سلف العلاقة R. " a هو سلف R لـ b " يكتب " aR * b ".

طبّق فريجه نتائج كتابه "Begriffsschrift" ، بما في ذلك تلك المتعلقة بالعلاقة الأصلية، في عمله اللاحق " أسس الحساب" . وبالتالي، إذا اعتبرنا العلاقة xRy هي العلاقة y = x + 1، فإن 0 R * y هي المسند " y عدد طبيعي". وتنص المعادلة (133) على أنه إذا كانت x و y و z أعدادًا طبيعية ، فيجب أن يتحقق أحد الشروط التالية: x < y ، أو x = y ، أو y < x . وهذا ما يُعرف بـ"قانون التثليث ".

للاطلاع على دراسة حديثة ودقيقة حول كيفية تقييم كتاب "Begriffsschrift" في الأدبيات الرياضية الألمانية، انظر فيلكو (1998). ^{[ 8 ]} وقد أبدى بعض المراجعين، ولا سيما إرنست شرودر ، آراءً إيجابية بشكل عام. وتدين جميع الأعمال اللاحقة في المنطق الصوري لهذا الكتاب له، لأن منطقه من الدرجة الثانية كان أول منطق صوري قادر على تمثيل قدر كبير من الرياضيات واللغة الطبيعية.

لا تزال بعض آثار تدوين فريجه باقية في رمز " البوابة الدوارة ".${\displaystyle \vdash }$مستمدة من "Urteilsstrich" ( خط الحكم/الاستنتاج ) │ و"Inhaltsstrich" (أي خط المحتوى ) ──. استخدم فريجه هذه الرموز في كتابه "Begriffsschrift" بصيغة موحدة ├─ للدلالة على صحة قضية ما. وفي كتابه اللاحق "Grundgesetze"، نقّح قليلاً تفسيره لرمز ├─.

في "Begriffsschrift"، يشير "Definitionsdoppelstrich" (أي خط التعريف المزدوج ) │├─ إلى أن القضية هي تعريف. علاوة على ذلك، تشير علامة النفي ${\displaystyle \neg }$يمكن قراءة هذا الرمز على أنه مزيج من خط المحتوى الأفقي مع خط النفي العمودي. أعاد أرند هيتينغ ^{[ 9 ]} استخدام رمز النفي هذا عام 1930 للتمييز بين النفي الحدسي والنفي الكلاسيكي. كما يظهر هذا الرمز في أطروحة الدكتوراه لغيرهارد جنتزن .

في كتاب "Tractatus Logico Philosophicus" ، يُشيد لودفيج فيتجنشتاين بفريجه من خلال استخدام مصطلح "Begriffsschrift" كمرادف للشكلية المنطقية.

في مقالته " حول المعنى والمرجع " عام 1892، يتراجع فريجه عن بعض استنتاجات كتابه "Begriffsschrift" حول الهوية (المشار إليها في الرياضيات بالرمز "="). وعلى وجه الخصوص، يرفض فريجه وجهة نظر "Begriffsschrift" القائلة بأن محمول الهوية يعبر عن علاقة بين الأسماء، لصالح الاستنتاج القائل بأنه يعبر عن علاقة بين الأشياء التي تدل عليها تلك الأسماء.

• فريج ، جوتلوب (1879). Begriffsschrift — eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des rainen Denkens (pdf) (باللغة الألمانية). الفاكس متاح للتنزيل (2.5 ميغابايت). هالي آن دير زاله: لوبريشت وكرامر. ص.  124.

متوفر أيضاً من مركز الرقمنة الاسترجاعية .

الترجمات

• فريجه، جوتلوب (1967) [1879]. "نص المفهوم" (ملف PDF) . في: فان هيجينورت، جان (محرر). من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 . ترجمة ستيفان باور-مينجلبرغ. مطبعة جامعة هارفارد .
• فريجه، جوتلوب (2002) [1879]. التدوين المفاهيمي والمقالات ذات الصلة (ملف PDF) . ترجمة تيريل وارد بينوم. ترجمة وتحرير 1972؛ مع سيرة ذاتية ومقدمة. مطبعة جامعة أكسفورد .  12 صفحة، 291 صفحة . ISBN 978-0198243595.
• فريجه، غوتلوب (1997) [1879]. "مختارات من كتاب المفاهيم (المقدمة والجزء الأول)". قارئ فريجه . ترجمة مايكل بيني. أكسفورد: بلاكويلز .

• صلة القرابة
• حساب التفاضل والتكامل للعبارات المتكافئة
• منطق الرتبة الأولى
• التحليلات السابقة
• قوانين الفكر
• مبادئ الرياضيات
• مفارقة الحصان المفاهيمي

• زالتا، إدوارد ن. "منطق فريجه، ونظريته، وأسسه في الحساب" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• لغة برمجة باطنية : "Gottlob: اكتب الكود باستخدام تدوين مفاهيم فريجه" . esoteric.codes . 27 مارس 2020. تم الاطلاع عليه في 19 يونيو 2022 .