مجموعة مرتبة خطيًا

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر المجرد ، تُعرف المجموعة المرتبة خطيًا أو المرتبة كليًا بأنها مجموعة G مزودة بترتيب كلي "≤" ثابت تحت الإزاحة . وقد يحمل هذا المصطلح معاني مختلفة. نقول إن ( G , ≤) هي:

  • المجموعة المرتبة من اليسار إذا كان ≤ ثابتًا من اليسار، أي أن a  ≤ b يستلزم ca ≤ cb لجميع a و b و c في G ،     
  • المجموعة المرتبة من اليمين إذا كان ≤ ثابتًا من اليمين، أي أن a  ≤ b يستلزم ac ≤ bc لجميع a و b و c في G ،     
  • المجموعة المرتبة ثنائياً إذا كان ≤ ثابتة ثنائياً، أي أنها ثابتة من اليسار واليمين.

يُقال إن المجموعة G قابلة للترتيب من اليسار (أو من اليمين ، أو ثنائية الترتيب ) إذا وُجد ترتيب ثابت من اليسار (أو من اليمين، أو ثنائية الترتيب) على G. الشرط الضروري البسيط لكي تكون المجموعة قابلة للترتيب من اليسار هو ألا تحتوي على عناصر ذات ترتيب منتهٍ؛ إلا أن هذا ليس شرطًا كافيًا. من المتكافئ أن تكون المجموعة قابلة للترتيب من اليسار أو من اليمين؛ ومع ذلك، توجد مجموعات قابلة للترتيب من اليسار ولكنها ليست ثنائية الترتيب.

تعريفات إضافية

في هذا القسم،≤{\displaystyle \leq }هو ترتيب ثابت من اليسار على مجموعةجي{\displaystyle G}مع عنصر الهويةهـ{\displaystyle e}ينطبق كل ما قيل على الترتيبات الثابتة من اليمين مع التعديلات الواضحة. لاحظ أن≤{\displaystyle \leq }إن كونها ثابتة من اليسار يكافئ الترتيب≤′{\displaystyle \leq '}محدد بواسطةز≤′ح{\displaystyle g\leq 'h}إذا وفقط إذاح-1≤ز-1{\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}كونها ثابتة من اليمين. على وجه الخصوص، فإن كون المجموعة قابلة للترتيب من اليسار هو نفسه كونها قابلة للترتيب من اليمين.

قياسًا على الأعداد العادية، نسمي عنصرًاز≠هـ{\displaystyle g\not =e}موجب إذا كانت المجموعة المرتبة موجبةهـ≤ز{\displaystyle e\leq g}تُسمى مجموعة العناصر الموجبة في زمرة مرتبة بالمخروط الموجب ، ويُرمز لها غالبًا بـجي+{\displaystyle G_{+}}؛ التدوين المختلف قليلاًجي+{\displaystyle G^{+}}يُستخدم للمخروط الموجب مع عنصر الوحدة. [ 1 ]

المخروط الموجبجي+{\displaystyle G_{+}}يُحدد هذا الترتيب≤{\displaystyle \leq }في الواقع، من خلال خاصية الثبات من اليسار نرى أنز≤ح{\displaystyle g\leq h}إذا وفقط إذاز-1ح∈جي+{\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}في الواقع، يمكن تعريف المجموعة المرتبة من اليسار على أنها مجموعةجي{\displaystyle G}بالإضافة إلى مجموعة فرعيةP{\displaystyle P}تحقيق الشرطين التاليين:

  1. لز،ح∈P{\displaystyle g,h\in P}لدينا أيضًازح∈P{\displaystyle gh\in P}؛
  2. يتركP-1={ز-1|ز∈P}{\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1}\mid g\in P\}}، ثمجي{\displaystyle G}هو الاتحاد المنفصل لـP،P-1{\displaystyle P,P^{-1}}و{هـ}{\displaystyle \{e\}}.

الطلب≤P{\displaystyle \leq _{P}}مرتبط بـP{\displaystyle P}يتم تعريفها بواسطةز≤Pح⇔ز-1ح∈P{\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}الشرط الأول هو ثبات اليسار، والثاني هو أن يكون الترتيب محددًا جيدًا وكاملًا. المخروط الموجب لـ≤P{\displaystyle \leq _{P}}يكونP{\displaystyle P}.

الترتيب الثابت من اليسار≤{\displaystyle \leq }تكون الدالة ثنائية التناظر إذا وفقط إذا كانت ثنائية التناظر، أي إذاز≤ح{\displaystyle g\leq h}ثم لأيx∈جي{\displaystyle x\in G}لديناxزx-1≤xحx-1{\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}كذلك. وهذا يعادل كون المخروط الموجب مستقراً تحت التحويلات الذاتية الداخلية .

لوأ∈جي{\displaystyle a\in G}ثم القيمة المطلقة لـأ{\displaystyle a}، ويرمز إليه بـ|أ|{\displaystyle |a|}، ويُعرَّف بأنه:|أ|:={أ،لو أ≥0،أ-1،خلاف ذلك.{\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\a^{-1},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} إذا كانت المجموعة بالإضافة إلى ذلكجي{\displaystyle G}إذا كانت أبيلية ، فعندئذٍ لأيأ،ب∈جي{\displaystyle a,b\in G}تتحقق متباينة المثلث التالية :|أ+ب|≤|أ|+|ب|{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}[ 2 ]​

أمثلة

أي زمرة قابلة للترتيب من اليسار أو اليمين تكون خالية من الالتواء ، أي أنها لا تحتوي على عناصر ذات رتبة منتهية باستثناء العنصر المحايد. في المقابل، أثبت فريدريك ويليم ليفي أن الزمرة الأبيلية الخالية من الالتواء قابلة للترتيب الثنائي؛ [ 3 ] وهذا ينطبق أيضًا على الزمر العديمة القوة [ 4 ]، ولكن توجد زمر خالية من الالتواء ومُقدمة بشكل منتهٍ ، وهي غير قابلة للترتيب من اليسار.

مجموعات منظمة أرخميدس

أثبت أوتو هولدر أن كل زمرة أرخميدية (زمرة ثنائية الترتيب تحقق خاصية أرخميدية ) متماثلة مع زمرة جزئية من الزمرة الجمعية للأعداد الحقيقية ( فوكس وسالس ، 2001 ، ص 61) . إذا كتبنا الزمرة الأرخميدية lo بصيغة الضرب، فيمكن إثبات ذلك بالنظر إلى إتمام ديديكيند . جي^{\displaystyle {\widehat {G}}}إغلاق مجموعة لو بموجبن{\displaystyle n}الجذور من الرتبة n. نُزوّد ​​هذا الفضاء بالطوبولوجيا المعتادة ذات الترتيب الخطي، ومن ثم يمكن إثبات أنه لكلز∈جي^{\displaystyle g\in {\widehat {G}}}الخرائط الأسيةز⋅:(R،+)→(جي^،⋅):ليمأناqأنا∈سؤال↦ليمأنازqأنا{\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}هي تماثلات طوبولوجية محددة جيدًا تحافظ على الترتيب أو تعكسه . قد يكون إكمال زمرة من الرتبة 10 صعبًا في حالة الزمر غير الأرخميدية. في هذه الحالات، يمكن تصنيف الزمرة حسب رتبتها ، والتي ترتبط بنوع ترتيب أكبر سلسلة من الزمر الجزئية المحدبة.

أمثلة أخرى

المجموعات الحرة قابلة للترتيب من اليسار. وبشكل أعم، ينطبق هذا أيضًا على مجموعات آرتين ذات الزوايا القائمة . [ 5 ] مجموعات الجدائل قابلة للترتيب من اليسار أيضًا. [ 6 ]

المجموعة التي تم تحديدها من خلال العرض التقديمي⟨أ،ب|أ2بأ2ب-1،ب2أب2أ-1⟩{\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }هي خالية من الالتواء ولكنها غير قابلة للترتيب من اليسار؛ [ 7 ] تجدر الإشارة إلى أنها مجموعة بلورية ثلاثية الأبعاد (يمكن تمثيلها كمجموعة مولدة من نصفي دورة منزلقة بمحاور متعامدة وطول إزاحة متساوٍ)، وهي نفس المجموعة التي ثبت أنها مثال مضاد لفرضية الوحدة . وبشكل أعم، يُعد موضوع قابلية ترتيب مجموعات الفضاءات ثلاثية الأبعاد مثيرًا للاهتمام لعلاقته بمختلف الثوابت الطوبولوجية. [ 8 ] توجد مجموعة فضاءات ثلاثية الأبعاد قابلة للترتيب من اليسار ولكنها غير قابلة للترتيب الثنائي [ 9 ] (في الواقع، لا تُحقق الخاصية الأضعف المتمثلة في كونها قابلة للإشارة محليًا).

حظيت الزمر القابلة للترتيب من اليسار باهتمام من منظور الأنظمة الديناميكية، إذ من المعروف أن الزمرة القابلة للعد تكون قابلة للترتيب من اليسار إذا وفقط إذا كانت تؤثر على خط الأعداد الحقيقية بواسطة التشاكلات. [ 10 ] ومن الأمثلة غير ذات الصلة بهذا النموذج الشبكات في زمر لي ذات الرتب العليا ؛ ومن المعروف (على سبيل المثال) أن الزمر الفرعية ذات المؤشر المحدود فيSلن(Z){\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}لا يمكن ترتيبها من اليسار؛ [ 11 ] وقد تم الإعلان عن تعميم واسع النطاق لهذا الأمر في عام 2020. [ 12 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ ديروين ونافاس وريفاس 2014 ، 1.1.1.
  2. ↑ للاطلاع على الزمر الأبيلية، انظر التعريف 6 في: ميلنيكوف، ألكسندر ج. (2010). الزمر والحقول الأبيلية المرتبة القابلة للحساب . البرامج، البراهين، العمليات. المؤتمر السادس حول قابلية الحوسبة في أوروبا، CiE 2010. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  6158. بونتا ديلغادا، جزر الأزور، البرتغال: سبرينغر. الصفحات 321-330 . 
  3. ↑ ليفي 1942 .
  4. ^ ديروين ونافاس وريفاس 2014 ، 1.2.1.
  5. ↑ دوشامب، جيرار؛ تيبون، جان إيف (1992). "ترتيبات بسيطة للمجموعات التبادلية الجزئية الحرة". المجلة الدولية للجبر والحساب . 2 (3): 351-355 . doi : 10.1142/S0218196792000219 . Zbl 0772.20017 . 
  6. ^ ديهورنوي ، باتريك. دينيكوف، إيفان؛ رولفسن، ديل. ويست، بيرت (2002). لماذا الضفائر قابلة للطلب؟ . باريس: شركة الرياضيات الفرنسية. ص. الثالث عشر + 190. ISBN  2-85629-135-X.
  7. ^ ديروين ونافاس وريفاس 2014 ، 1.4.1.
  8. ^ بوير ، ستيفن. رولفسن، ديل. ويست، بيرت (2005). "مجموعات متعددة قابلة للترتيب" . حوليات معهد فورييه . 55 (1): 243– 288. أرخايف : الرياضيات/0211110 . دوى : 10.5802/aif.2098 . زبل 1068.57001 . 
  9. ↑ بيرغمان، جورج (1991). "المجموعات القابلة للترتيب من اليمين والتي لا يمكن الإشارة إليها محليًا" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 147 (2): 243-248 . doi : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Zbl 0677.06007 . 
  10. ↑ Deroin, Navas & Rivas 2014 , Proposition 1.1.8.
  11. ↑ ويت، ديف (1994). "لا يمكن للمجموعات الحسابية ذات الرتبة الأعلى من \(\mathbb{Q}\) أن تؤثر على مشعبات من الرتبة \(1\)". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 122 (2): 333-340 . doi : 10.2307/2161021 . JSTOR 2161021. Zbl 0818.22006 .  
  12. ↑ ديروين، برتراند؛ هورتادو، سيباستيان (2020). "عدم قابلية ترتيب الشبكات من اليسار في زمر لي شبه البسيطة ذات الرتبة الأعلى". arXiv : 2008.10687 [ math.GT ].

مراجع

  • ديروين، برتراند؛ نافاس، أندريس؛ ريفاس ، كريستوبال (2014). “المجموعات والأوامر والديناميكيات”. أرخايف : 1408.5805 [ math.GT ].
  • ليفي، ف. و. (1942)، "المجموعات المرتبة"، وقائع الأكاديمية الهندية للعلوم ، A16 (4) 256: 256-263 ، doi : 10.1007/BF03174799 ، S2CID 198139979 
  • فوكس، لازلو؛ سالسي، لويجي (2001)، الوحدات النمطية على المجالات غير النويثرية ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  84، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-1963-0، MR 1794715 
  • غيس، إ. (2001)، “المجموعات المؤثرة على الدائرة”. L’Enseignement Mathématique ، 47 : 329– 407