ثلاثي عشر الأضلاع

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة ، يُعرف المضلع الثلاثي عشر أو المضلع الثلاثي عشر أو المضلع ذو 13 ضلعًا بأنه مضلع ذو ثلاثة عشر ضلعًا .

ضلع ثلاثي عشر منتظم

يتم تمثيل الشكل الثلاثي عشر المنتظم بواسطة رمز شلافلي {13}.

يبلغ قياس كل زاوية داخلية في مضلع منتظم ثلاثي عشري الأضلاع حوالي 152.308 درجة ، ومساحة المضلع الذي طول ضلعه a تُعطى بالعلاقة التالية:

أ=134أ2سرير أطفال⁡π13≃13.1858أ2.{\displaystyle A={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}.}

بناء

بما أن العدد 13 هو عدد أولي من أعداد بيربونت ولكنه ليس عددًا أوليًا من أعداد فيرما ، فلا يمكن إنشاء المضلع الثلاثي عشر المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة . ومع ذلك، يمكن إنشاؤه باستخدام طريقة النيوسيس ، أو تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

فيما يلي رسم متحرك من عملية بناء باستخدام برنامج نيوسيس لشكل ثلاثي عشر منتظم بنصف قطر دائرة محيطة.ياأ¯=12،{\displaystyle {\overline {OA}}=12,}وفقًا لأندرو إم. جليسون ، [ 1 ] استنادًا إلى تقسيم الزاوية الثلاثية بواسطة توماهوك (الأزرق الفاتح).

إنشاء نيوسيس لمضلع ثلاثي عشر منتظم (triskaidecagon) بنصف قطر دائرة محيطةياأ¯=12{\displaystyle {\overline {OA}}=12}كرسوم متحركة (  دقيقة  و44 ثانية)، تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام أداة توماهوك (باللون الأزرق الفاتح). هذا الإنشاء مشتق من المعادلة التالية: كوس⁡(2π13)=112(226-213كوس⁡(13دالة الظل العكسي⁡(26+5139))+13-1).{\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {26+5{\sqrt {13}}}{9}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1\right).}

التناظر

تناظرات شكل منتظم ثلاثي عشري الأضلاع. تُلوّن الرؤوس وفقًا لمواقع تناظرها. تُرسَم مرايا زرقاء تمر عبر الرؤوس والحواف. تُوضَع رتب الدوران في المركز.

يتمتع الشكل الثلاثي عشر المنتظم بتناظر Dih 13 ، من الرتبة 26. وبما أن 13 عدد أولي ، فهناك مجموعة فرعية واحدة ذات تناظر ثنائي السطوح: Dih 1 ، وتناظران دوريان للمجموعة : Z 13 و Z 1 .

يمكن ملاحظة هذه التناظرات الأربعة في أربعة تناظرات مميزة على المضلع ثلاثي عشر الأضلاع. وقد صنّفها جون كونواي بحرف وترتيب المجموعة. [ 2 ] التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r26 ، بينما يُرمز لعدم وجود تناظر بـ a1 . تُقسّم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للأعمدة)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. أما التناظرات الدورية في العمود الأوسط، فتُرمز لها بـ g نسبةً إلى رتب دورانها المركزية.

تسمح كل مجموعة فرعية متناظرة بدرجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g13 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

الاستخدام النقدي

يُستخدم الشكل الثلاثي عشر المنتظم كشكل لعملة الـ 20 كرونة التشيكية . [ 3 ]

الشكل الثلاثي عشر هو شكل نجمي ذو 13 ضلعًا . توجد خمسة أشكال منتظمة تُعطى برموز شلافلي : {13/2}، {13/3}، {13/4}، {13/5}، و{13/6}. ولأن 13 عدد أولي، فإن أيًا من الأشكال الثلاثية العشرة ليس شكلًا مركبًا.

على الرغم من ظهور النجوم ذات 13 ضلعًا في مخطوطة توبكابي ، إلا أنها ليست من هذه الأشكال المنتظمة. [ 4 ]

مضلعات بيتري

المضلع الثلاثي عشر المنتظم هو مضلع بيتري للمضلع البسيط ذي الاثني عشر عنصرًا :

12​
12-simplex

مراجع

  1. ↑ غليسون، أندرو ماتي (مارس 1988). "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع ذو الثلاثة عشر ضلعًا، ص  192-194 (ص 193، الشكل 4)" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (3): 186-194 . doi : 10.2307/2323624 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 19 ديسمبر 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 ديسمبر 2015 .
  2. ↑ جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، (2008) تناظرات الأشياء، ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 20، رموز شيفلي المعممة، أنواع تناظر المضلع، الصفحات  275-278)
  3. ↑ كولين ر. بروس الثاني، وجورج كوهاج، وتوماس مايكل، كتالوج العملات العالمية القياسي لعام 2007 ، منشورات كراوس، 2006، رقم ISBN 0896894290، ص  81.
  4. ↑ كرومويل، بيتر ر. (2010). "التصاميم الهندسية الإسلامية من مخطوطة توبكابي الأولى: ترتيبات غير مألوفة للنجوم" . مجلة الرياضيات والفنون . 4 (2): 73-85 . doi : 10.1080/17513470903311669 . MR 2786387 .