مجموعة ثنائية السطوح

مضلع منتظم مع${\displaystyle n}$الجانب لديه${\displaystyle 2n}$تناظرات مختلفة:${\displaystyle n}$التناظرات الدورانية و${\displaystyle n}$تناظرات الانعكاس ؛ هنا،${\displaystyle n\geq 3}$تشكل الدورانات والانعكاسات المرتبطة بها مجموعة ثنائية السطوح${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$. لو${\displaystyle n}$إذا كان عدد الأضلاع فرديًا، فإن كل محور انعكاس للتناظر يربط منتصف أحد الأضلاع بالرأس المقابل.${\displaystyle n}$إذا كان العدد زوجيًا، فهناك${\displaystyle n/2}$محاور التناظر التي تربط منتصفات الأضلاع المتقابلة و${\displaystyle n/2}$محاور تناظر تربط الرؤوس المتقابلة. في كلتا الحالتين، توجد${\displaystyle n}$محاور التناظر و${\displaystyle 2n}$^{[ 5 ]} ينتج عن الانعكاس حول أحد محاور التناظر، ثم الانعكاس حول محور تناظر آخر، دوران بزاوية تساوي ضعف الزاوية بين المحورين. ^{[ 6 ]}

كما هو الحال مع أي شكل هندسي، فإن تركيب تناظرين لمضلع منتظم يُعدّ تناظرًا لهذا الشكل أيضًا. وباعتبار تركيب التناظرات لإنتاج تناظر آخر عملية ثنائية، فإن هذا يُعطي تناظرات المضلع البنية الجبرية لمجموعة منتهية . ^{[ 7 ]}

يوضح جدول كايلي التالي تأثير التركيب في المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 6 ،${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$— تناظرات المثلث متساوي الأضلاع . هنا،${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$يدل على الهوية،${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$و${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$تشير إلى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 120 درجة و240 درجة على التوالي، وكذلك${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$،${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$، و${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$تشير إلى الانعكاسات عبر الخطوط الثلاثة الموضحة في الصورة المجاورة.

على سبيل المثال،${\displaystyle \mathrm {s} _{2}\mathrm {s} _{1}=\mathrm {r} _{1}}$بسبب الانعكاس${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$ينتج عن الانعكاس s ₂ دوران بمقدار 120 درجة. ترتيب العناصر التي تدل على التركيب يكون من اليمين إلى اليسار، مما يعكس الاصطلاح القائل بأن العنصر يؤثر على التعبير الموجود على يمينه. عملية التركيب ليست تبديلية . ^{[ 7 ]}

بشكل عام، المجموعة${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$يحتوي على عناصر${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}}$و${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n-1}}$، مع تركيبها المحدد بالصيغ التالية: $${\displaystyle {\begin{align}\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},&\qquad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\\\mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _ {j}=\mathrm {s} _{ij}،&\qquad \mathrm {s} _{i}\،\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{ij}.\end{محاذاة}}}$$

في جميع الحالات، يتم إجراء عمليات جمع وطرح الأرقام السفلية باستخدام الحساب النمطي مع المعامل.${\displaystyle n}$.

بوضع المضلع المنتظم في مركز نقطة الأصل، تعمل عناصر المجموعة ثنائية السطوح كتحويلات خطية للمستوى . وهذا يسمح لعناصر${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$يتم تمثيلها كمصفوفات ، حيث يكون التركيب هو ضرب المصفوفات . هذا مثال على تمثيل المجموعة (ثنائي الأبعاد) .

على سبيل المثال، عناصر المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 8 ،${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$— يمكن تمثيل التناظر الجماعي للمربع — بواسطة المصفوفات الثمانية التالية: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$$هنا، تمثل هذه المصفوفات تناظرات مربع محاذٍ للمحاور ومتمركز عند نقطة الأصل ، والذي يؤثر على المستوى عن طريق الضرب في متجهات عمودية من الإحداثيات.${\textstyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$العنصر${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$يمثل الهوية. العناصر${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$و${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$يمثل الانعكاس عبر المحورين الأفقي والرأسي. العناصر${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$و${\displaystyle \mathrm {s} _{3}}$يمثل الانعكاس عبر الأقطار. ثلاثة عناصر أخرى${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$،${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$، و${\displaystyle \mathrm {r} _{3}}$هي دورات حول مركز. ^{[ 8 ]}

r ₀ الموضع الابتدائي للمربع

r ₁ دوران بمقدار 270 درجة

دوران بمقدار 180 _درجة

r ₃ دوران بمقدار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة

انعكاس أفقي s ₀

1 _انعكاس رأسي

انعكاس قطري من الشمال الغربي إلى الجنوب الشرقي s ₂

انعكاس قطري s ₃ شمال شرق - جنوب غرب

بشكل عام، المصفوفات الخاصة بعناصر${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$يكون لها الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$ هنا، العنصر${\displaystyle \mathrm {r} _{k}}$هي مصفوفة دوران ، تعبر عن دوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle 2\pi k/n}$العنصر${\displaystyle \mathrm {s} _{k}}$هو انعكاس عبر خط يصنع زاوية${\displaystyle \pi k/n}$مع${\displaystyle x}$المحور -

D _n هو الناتج شبه المباشر لـ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\{1,s\}}$العمل على${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$عن طريق التماثل الذاتي${\displaystyle \varphi _{s}(r)=r^{-1}}$[ ^{9 ]​}

وبالتالي فإن له عرضًا ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}}$

باستخدام العلاقة${\displaystyle s^{2}=1}$، فنحصل على العلاقة${\displaystyle r=s\cdot sr}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle s}$و${\displaystyle t:=sr}$يُظهر هذا الاستبدال أيضًا أن${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$العرض التقديمي

${\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .}$

على وجه الخصوص، ينتمي D _n إلى فئة مجموعات كوكسيتر .

• 
  التناظر ثنائي الأبعاد D ₁₆ – الختم الإمبراطوري لليابان، يمثل زهرة الأقحوان ذات الثمانية بتلات .
• 
  التناظر ثنائي الأبعاد D ₆ – نجمة داود الحمراء
• 
  التناظر ثنائي الأبعاد D ₁₂ — الراية البحرية لجمهورية الصين (الشمس البيضاء)
• 
  التناظر ثنائي الأبعاد D ₂₄ – عجلة أشوكا ، كما هو موضح على العلم الوطني لجمهورية الهند .

تكون جميع الانعكاسات مترافقة عندما يكون n فرديًا، ولكنها تنقسم إلى فئتين من الترافق إذا كان n زوجيًا. إذا نظرنا إلى التناظرات المتساوية لمضلع منتظم ذي n ضلعًا: بالنسبة لـ n الفردي، توجد دورانات في المجموعة بين كل زوج من المرايا، بينما بالنسبة لـ n الزوجي ، لا يمكن الوصول إلا إلى نصف المرايا من واحدة بهذه الدورانات. هندسيًا، في المضلع الفردي، يمر كل محور تناظر برأس وضلع، بينما في المضلع الزوجي توجد مجموعتان من المحاور، كل منهما تُقابل فئة ترافق: تلك التي تمر برأسين وتلك التي تمر بضلعين.

جبريًا، هذا مثال على نظرية سيلو المترافقة (لـ n فردي): بالنسبة لـ n فردي، يشكل كل انعكاس، جنبًا إلى جنب مع العنصر المحايد، مجموعة فرعية من الرتبة 2، وهي مجموعة فرعية من سيلو 2 ( 2 = 2 ¹ هو أكبر قوة للعدد 2 تقسم 2 n = 2[2 k + 1] )، بينما بالنسبة لـ n زوجي، فإن هذه المجموعات الفرعية من الرتبة 2 ليست مجموعات فرعية من سيلو لأن 4 (قوة أعلى للعدد 2) يقسم رتبة المجموعة.

بالنسبة لـ n، يوجد بدلاً من ذلك تماثل خارجي يتبادل نوعي الانعكاسات (بشكل صحيح، فئة من التماثلات الخارجية، والتي تكون جميعها مترافقة بواسطة تماثل داخلي).

_{تحتوي المجموعة D9} على 18 تشاكلًا ذاتيًا داخليًا . وبصفتها مجموعة تماثل ثنائية الأبعاد، فإن المجموعة D9 _تحتوي على مرايا بفواصل 20 درجة. توفر التشاكلات الذاتية الداخلية الـ 18 دورانًا للمرايا بمضاعفات 20 درجة، بالإضافة إلى الانعكاسات. وبصفتها مجموعة تماثل، فإن جميع هذه التشاكلات ذاتية. أما بصفتها مجموعة مجردة، فتوجد بالإضافة إلى ذلك 36 تشاكلًا ذاتيًا خارجيًا ؛ على سبيل المثال، ضرب زوايا الدوران في 2.

D₁₀ has 10 inner automorphisms. As 2D isometry group D₁₀, the group has mirrors at 18° intervals. The 10 inner automorphisms provide rotation of the mirrors by multiples of 36°, and reflections. As isometry group there are 10 more automorphisms; they are conjugates by isometries outside the group, rotating the mirrors 18° with respect to the inner automorphisms. As abstract group there are in addition to these 10 inner and 10 outer automorphisms, 20 more outer automorphisms; e.g., multiplying rotations by 3.

Compare the values 6 and 4 for Euler's totient function, the multiplicative group of integers modulo n for n = 9 and 10, respectively. This triples and doubles the number of automorphisms compared with the two automorphisms as isometries (keeping the order of the rotations the same or reversing the order).

The only values of n for which φ(n) = 2 are 3, 4, and 6, and consequently, there are only three dihedral groups that are isomorphic to their own automorphism groups, namely D₃ (order 6), D₄ (order 8), and D₆ (order 12).^[11][12][13]

The inner automorphism group of D_n is isomorphic to:^[14]

• D_n if n is odd;
• D_n / Z₂ if n is even (for n = 2, D₂ / Z₂ = 1 ).