نظرية التوازي الفائق

في الهندسة الزائدية ، يقال إن خطين متوازيان للغاية إذا لم يتقاطعا ولم يكونا متوازيين بشكل نهائي .

تنص نظرية التوازي الفائق على أن كل زوج من الخطوط المتوازية الفائقة (المختلفة) له عمود مشترك فريد (خط زائد عمودي على كلا الخطين).

ليكن r و s خطين متوازيين للغاية.

من أي نقطتين مختلفتين A و C على s ارسم AB و CB' عموديين على r مع B و B' على r .

إذا حدث أن AB = CB'، فإن العمود المشترك المطلوب يصل بين منتصفات AC و BB' (بسبب تناظر الشكل الرباعي Saccheri ACB'B).

وإلا، يمكننا افتراض أن AB < CB' دون فقدان للعمومية. ليكن E نقطة على الخط s على الجانب المقابل لـ A من C. خذ A' على CB' بحيث يكون A'B' = AB. ارسم من A' خطًا s' (A'E') على الجانب الأقرب إلى E، بحيث تكون الزاوية B'A'E' مساوية للزاوية BAE. عندئذٍ يتقاطع s' مع s في نقطة عادية D'. أنشئ نقطة D على الشعاع AE بحيث يكون AD = A'D'.

إذن D' ≠ D. فهما على نفس البعد من r وكلاهما يقع على s. لذا فإن المنصف العمودي لـ D'D (قطعة من s) يكون عموديًا أيضًا على r. ^{[ 1 ]}

(إذا كان r و s متوازيين تقاربياً بدلاً من أن يكونا متوازيين للغاية، فإن هذا البناء سيفشل لأن s' لن يتقاطع مع s. بل سيكون s' متوازياً بشكل محدود مع كل من s و r.)

يترك

${\displaystyle a<b<c<d}$

لنفترض أن لدينا أربع نقاط متميزة على المحور السيني للمستوى الديكارتي .${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$أنصاف دوائر فوق المحور الأفقي بأقطار${\displaystyle ab}$و${\displaystyle cd}$على التوالي. ثم في نموذج بوانكاريه نصف المستوي HP،${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$تمثل خطوطًا متوازية للغاية.

قم بتكوين الحركتين الزائديتين التاليتين :

${\displaystyle x\to xa}$

${\displaystyle {\mbox{انعكاس في نصف دائرة الوحدة.}}}$

ثم${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (ba)^{-1},\quad c\to (ca)^{-1},\quad d\to (da)^{-1}.}$

والآن تابع مع هاتين الحركتين الزائديتين:

${\displaystyle x\to x-(ba)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(ca)^{-1}-(ba)^{-1}\right]^{-1}x}$

ثم${\displaystyle a}$يقيم في${\displaystyle \infty }$،${\displaystyle b\to 0}$،${\displaystyle c\to 1}$،${\displaystyle d\to z}$(على سبيل المثال). نصف الدائرة الفريد، الذي يقع مركزه عند نقطة الأصل، عمودي على الدائرة الموجودة على${\displaystyle 1z}$يجب أن يكون نصف قطر أحد الضلعين مماسًا لنصف قطر الضلع الآخر. المثلث القائم الزاوية المتكون من الإحداثي السيني ونصفَي القطر العموديين له وتر طوله${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)}$. منذ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)}$ نصف قطر نصف الدائرة على${\displaystyle 1z}$، العمود المشترك المطلوب له نصف قطر مربع

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

الحركات الزائدية الأربع التي أنتجت${\displaystyle z}$يمكن عكس كل ما سبق وتطبيقه بترتيب عكسي على نصف الدائرة المتمركزة عند نقطة الأصل ونصف قطرها${\displaystyle {\sqrt {z}}}$للحصول على الخط الزائدي الفريد العمودي على كلا الخطين المتوازيين الفائقين${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$.

في نموذج بلترامي-كلاين للهندسة الزائدية:

• يتوافق خطان متوازيان للغاية مع وترين غير متقاطعين .
• أقطاب هذين الخطين هي نقاط التقاطع الخاصة بالخطوط المماسية لدائرة الحدود عند نهايات الأوتار .
• يتم تمثيل الخطوط العمودية على الخط l بواسطة أوتار يمتد امتدادها عبر قطب l .
• ومن ثم نرسم الخط الفريد بين قطبي الخطين المعطاة، ونقطعه مع دائرة الحدود؛ وسيكون وتر التقاطع هو العمود المشترك المطلوب للخطوط المتوازية للغاية.

إذا كان أحد الأوتار قطرًا، فلن يكون لدينا قطب، ولكن في هذه الحالة يكون أي وتر عمودي على القطر عموديًا أيضًا في نموذج Beltrami-Klein، ولذلك نرسم خطًا يمر بقطب الخط الآخر ويتقاطع مع القطر بزاوية قائمة للحصول على العمود المشترك.

يكتمل البرهان بإثبات أن هذا البناء ممكن دائمًا:

• إذا كان كلا الوترين قطرين، فإنهما يتقاطعان (في مركز الدائرة المحيطة).
• إذا كان أحد الأوتار فقط قطرًا، فإن الوتر الآخر يمتد بشكل متعامد إلى أسفل إلى جزء من الوتر الأول الموجود في داخله، ويتقاطع خط من القطب متعامد مع القطر مع كل من القطر والوتر.
• إذا لم يكن كلا الخطين قطرين، فيمكننا مدّ المماسات المرسومة من كل قطب لتكوين شكل رباعي بداخله دائرة الوحدة. القطبان هما رأسان متقابلان لهذا الشكل الرباعي، والأوتار هي خطوط مرسومة بين أضلاع متجاورة للرأس، عبر الزوايا المتقابلة. ولأن الشكل الرباعي محدب، فإن الخط الواصل بين القطبين يتقاطع مع كلا الوترين المرسومين عبر الزوايا، ويحدد الجزء من الخط الواصل بين الوترين الوتر المطلوب العمودي على الوترين الآخرين.

بدلاً من ذلك، يمكننا إنشاء العمود المشترك للخطوط المتوازية للغاية كما يلي: الخطوط المتوازية للغاية في نموذج بلترامي-كلاين عبارة عن وترين غير متقاطعين. لكنهما في الواقع يتقاطعان خارج الدائرة. قطبية نقطة التقاطع هي العمود المشترك المطلوب. ^{[ 2 ]}

• كارول بورسوك وواندا شميليو (1960) أسس الهندسة ، صفحة 291.