نظام الإحداثيات الديكارتية

رسم توضيحي لمستوى إحداثيات ديكارتية. تم تحديد أربع نقاط وتسميتها بإحداثياتها: (2، 3) باللون الأخضر، (-3، 1) باللون الأحمر، (-1.5، -2.5) باللون الأزرق، ونقطة الأصل (0، 0) باللون الأرجواني.

في الهندسة ، يُعرف نظام الإحداثيات الديكارتية (بالإنجليزية: Dicktysian ) في المستوى بأنه نظام إحداثيات يُحدد كل نقطة فيه بشكل فريد بواسطة زوج من الأعداد الحقيقية يُسمى الإحداثيات ، وهي المسافات المُوجهة إلى تلك النقطة من خطين ثابتين متعامدين ، يُطلق عليهما خطوط الإحداثيات أو محاور الإحداثيات . تُسمى نقطة تقاطع المحاور بنقطة الأصل ، وإحداثياتها ( 0 ، 0 ) . تُمثل اتجاهات المحاور أساسًا متعامدًا . يُشكل الجمع بين نقطة الأصل والأساس $إطارًا$ إحداثيًا يُسمى الإطار الديكارتي .

وبالمثل، يمكن تحديد موقع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاث إحداثيات ديكارتية ، وهي المسافات الموجهة من النقطة إلى ثلاثة مستويات متعامدة. وبشكل أعم، تحدد $n$ إحداثيات ديكارتية موقع النقطة في فضاء إقليدي ذي $n$ بُعد ، لأي بُعد $n$ . هذه الإحداثيات هي المسافات الموجهة من النقطة إلى $n$ مستويات فائقة ثابتة متعامدة .

نظام إحداثيات ديكارتية مع دائرة نصف قطرها 2 ومركزها نقطة الأصل المحددة باللون الأحمر. معادلة الدائرة هي ( س - أ ) ^² + ( ص - ب ) ^² = *نق²* ^، حيث أ و ب هما إحداثيات المركز ( أ ، ب )، *ونق* هو نصف القطر.

سُميت الإحداثيات الديكارتية نسبةً إلى رينيه ديكارت ، الذي أحدث اختراعه لها في القرن السابع عشر ثورةً في الرياضيات، إذ مكّن من التعبير عن مسائل الهندسة باستخدام الجبر والتفاضل والتكامل . وباستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، يمكن وصف الأشكال الهندسية (مثل المنحنيات) $بمعادلات$ تتضمن إحداثيات نقاط الشكل. على سبيل المثال، يمكن وصف دائرة نصف قطرها 2 $،$ مركزها نقطة الأصل، بأنها مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها $x$ و $y$ المعادلة $x² + y² = 4$ ؛ ويمكن حساب مساحة الدائرة ومحيطها ومماسها عند أي نقطة من هذه المعادلة باستخدام التكاملات والمشتقات ، بطريقة يمكن تطبيقها على أي منحنى.

تُعدّ الإحداثيات الديكارتية أساس الهندسة التحليلية ، وتُقدّم تفسيرات هندسية قيّمة للعديد من فروع الرياضيات الأخرى، مثل الجبر الخطي ، والتحليل المركب ، والهندسة التفاضلية ، وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، ونظرية الزمر ، وغيرها. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك مفهوم تمثيل الدالة بيانيًا . كما تُعدّ الإحداثيات الديكارتية أدوات أساسية لمعظم التخصصات التطبيقية التي تتعامل مع الهندسة، بما في ذلك علم الفلك ، والفيزياء ، والهندسة ، وغيرها الكثير. وهي نظام الإحداثيات الأكثر شيوعًا في رسومات الحاسوب ، والتصميم الهندسي بمساعدة الحاسوب ، ومعالجة البيانات الأخرى ذات الصلة بالهندسة .

تاريخ

يشير مصطلح "ديكارتي" إلى عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت ، الذي نشر هذه الفكرة عام 1637 أثناء إقامته في هولندا. وقد اكتشفها بشكل مستقل بيير دي فيرما ، الذي عمل أيضًا في ثلاثة أبعاد، مع أن فيرما لم ينشر هذا الاكتشاف. ^[¹^] واستخدمت الراهبة الفرنسية نيكول أورسم إنشاءات مشابهة للإحداثيات الديكارتية قبل زمن ديكارت وفيرما بفترة طويلة. ^[²^]

استخدم كلٌّ من ديكارت وفيرما محورًا واحدًا في معالجاتهما، وكان طولهما متغيرًا يُقاس بالنسبة لهذا المحور. ^{[ 3 ]} وقد طُرح مفهوم استخدام زوج من المحاور لاحقًا، بعد أن تُرجم كتاب ديكارت " الهندسة" إلى اللاتينية عام 1649 على يد فرانس فان شوتين وتلاميذه. وقدّم هؤلاء المعلقون عدة مفاهيم في محاولتهم لتوضيح الأفكار الواردة في عمل ديكارت. ^{[ 4 ]}

لعب تطوير نظام الإحداثيات الديكارتية دورًا أساسيًا في تطوير حساب التفاضل والتكامل على يد إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز . ^{[ 5 ]} وقد عُمِّم وصف المستوى بإحداثيين لاحقًا إلى مفهوم الفضاءات المتجهة . ^{[ 6 ]}

تم تطوير العديد من أنظمة الإحداثيات الأخرى منذ ديكارت، مثل الإحداثيات القطبية للمستوى، والإحداثيات الكروية والأسطوانية للفضاء ثلاثي الأبعاد.

وصف

بُعد واحد

يُطلق على الخط الأفيني ذي نظام الإحداثيات الديكارتية المختار اسم خط الأعداد . لكل نقطة على الخط إحداثية عددية حقيقية، ويمثل كل عدد حقيقي نقطة ما على الخط.

توجد درجتان من الحرية في اختيار نظام الإحداثيات الديكارتية للخط، ويمكن تحديدهما باختيار نقطتين مختلفتين على طول الخط وتعيينهما لعددين حقيقيين مختلفين (عادةً ما يكونان صفرًا وواحدًا). ويمكن بعد ذلك تعيين أعداد لنقاط أخرى بشكل فريد عن طريق الاستيفاء الخطي . وبالمثل، يمكن تعيين نقطة واحدة لعدد حقيقي محدد، على سبيل المثال نقطة الأصل التي تقابل الصفر، ويمكن اختيار طول موجه على طول الخط كوحدة قياس، حيث يشير التوجيه إلى التوافق بين الاتجاهات على طول الخط والأعداد الموجبة أو السالبة. ^{[ أ ]} تتوافق كل نقطة مع المسافة الموجهة من نقطة الأصل (عدد قيمته المطلقة تساوي المسافة، ويتم اختيار إشارة $+$ أو $-$ بناءً على الاتجاه).

يمكن تمثيل التحويل الهندسي للخط بدالة لمتغير حقيقي ، فعلى سبيل المثال، يُقابل إزاحة الخط عملية جمع، بينما يُقابل تغيير حجم الخط عملية ضرب. ويمكن ربط أي نظامي إحداثيات ديكارتية على الخط بدالة خطية (دالة من الشكل θ). $x\mapsto ax+b$ ) نقل إحداثيات نقطة معينة من نظام إحداثيات إلى إحداثياتها في النظام الآخر. اختيار نظام إحداثيات لكل خط من خطين مختلفين يُنشئ تحويلاً خطياً من أحد الخطين إلى الآخر، حيث ينقل كل نقطة على أحد الخطين إلى النقطة على الخط الآخر التي لها نفس الإحداثيات.

بعدين

يُعرَّف نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد (ويُسمى أيضًا نظام الإحداثيات المستطيلة أو نظام الإحداثيات الديكارتية المتعامدة ^{[ 7 ]} ) بزوج مرتب من الخطوط المتعامدة (المحاور)، ووحدة طول واحدة لكل محور، واتجاه محدد لكل محور. تُعتبر نقطة تقاطع المحورين نقطة الأصل لكليهما، مما يحوّل كل محور إلى خط أعداد . لأي نقطة P ، يُرسم خط يمر عبر P عموديًا على كل محور، وتُفسَّر نقطة تقاطعه مع المحور كعدد. هذان العددان، بهذا الترتيب، هما الإحداثيات الديكارتية للنقطة P. يسمح البناء العكسي بتحديد النقطة P بمعرفة إحداثياتها.

يُطلق على الإحداثيين الأول والثاني اسميْ المحورين السيني والصادي للنقطة P ، على التوالي؛ وتُسمى نقطة تقاطع المحورين بنقطة الأصل في نظام الإحداثيات. تُكتب الإحداثيات عادةً على شكل رقمين بين قوسين، بهذا الترتيب، مفصولين بفاصلة، كما في (3، -10.5) . بالتالي، فإن إحداثيات نقطة الأصل هي (0، 0) ، وإحداثيات النقاط الواقعة على نصف المحور الموجب، على بُعد وحدة واحدة من نقطة الأصل، هي (1، 0) و (0، 1) .

في الرياضيات والفيزياء والهندسة، يُعرَّف المحور الأول عادةً بأنه أفقي ومتجه نحو اليمين، بينما يكون المحور الثاني رأسيًا ومتجهًا نحو الأعلى. (مع ذلك، في بعض سياقات رسومات الحاسوب ، قد يكون محور الإحداثيات متجهًا نحو الأسفل). غالبًا ما يُرمز إلى نقطة الأصل بالحرف O ، ويُشار إلى الإحداثيين عادةً بالحرفين X و Y ، أو x و y . ويمكن الإشارة إلى المحورين حينها بالمحور X والمحور Y. ويعود اختيار هذه الأحرف إلى الاصطلاح الأصلي، وهو استخدام الجزء الأخير من الأبجدية للدلالة على القيم المجهولة، بينما كان يُستخدم الجزء الأول منها للدلالة على القيم المعروفة.

يُطلق على المستوى الإقليدي ذي نظام الإحداثيات الديكارتية المختار اسمالمستوى الديكارتي . في المستوى الديكارتي، يمكن للمرء أن يحدد الممثلين المتعارف عليهم لأشكال هندسية معينة، مثلدائرة الوحدة(نصف قطرها يساوي وحدة الطول، ومركزها عند نقطة الأصل)،ومربع الوحدة(قطره له نقاط نهاية عند(0، 0)و(1، 1))،والقطع الزائد للوحدة، وما إلى ذلك.

يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع قائمة الزاوية . يمكن تسمية الأرباع أو ترقيمها بطرق مختلفة، ولكن الربع الذي تكون فيه جميع الإحداثيات موجبة يُسمى عادةً الربع الأول .

إذا كانت إحداثيات نقطة ما هي ( x , y ) ، فإن مسافاتها من المحور X ومن المحور Y هي | y | و | x | على التوالي؛ حيث | · | تشير إلى القيمة المطلقة للعدد.

ثلاثة أبعاد

يتكون نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء ثلاثي الأبعاد من ثلاثة محاور مرتبة تمر بنقطة مشتركة (نقطة الأصل ) ، وتكون متعامدة فيما بينها؛ لكل محور اتجاه، ووحدة طول واحدة لجميع المحاور الثلاثة. وكما هو الحال في الفضاء ثنائي الأبعاد، يصبح كل محور خط أعداد. لأي نقطة P في الفضاء، يُنظر إلى مستوى يمر عبر P عمودي على كل محور من محاور الإحداثيات، وتُفسر النقطة التي يقطع عندها هذا المستوى المحور كرقم. إحداثيات P الديكارتية هي تلك الأرقام الثلاثة، بالترتيب المختار. ويمكن تحديد النقطة P بمعرفة إحداثياتها الثلاثة من خلال عملية عكسية.

بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار كل إحداثية لنقطة P بمثابة المسافة من P إلى المستوى المحدد بواسطة المحورين الآخرين، مع تحديد الإشارة من خلال اتجاه المحور المقابل.

يُحدد كل زوج من المحاور مستوى إحداثيات . تقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثمانية أجزاء ثمانية . وهذه الأجزاء الثمانية هي:

${\begin{محاذاة}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{محاذاة}}$

تُكتب الإحداثيات عادةً على شكل ثلاثة أرقام (أو صيغ جبرية) محاطة بأقواس ومفصولة بفواصل، كما في $(3، -2.5، 1)$ أو $(t ، u + v ، π /2)$ . وبالتالي، فإن نقطة الأصل لها الإحداثيات $(0، 0، 0)$ ، ونقاط الوحدة على المحاور الثلاثة هي $(1، 0، 0)$ ، $(0، 1، 0)$ ، و $(0، 0، 1)$ .

تُعرف الإحداثيات في المحاور الثلاثة بالأسماء القياسية: المحور السيني ، والمحور الصادي ، والمحور الإحداثي . ^{[ 8 ]} ويُرمز لهذه الإحداثيات عادةً بالأحرف x و y و z . ويمكن الإشارة إلى المحاور بالمحور السيني ، والمحور الصادي ، والمحور العيني ، على التوالي. كما يمكن الإشارة إلى مستويات الإحداثيات بالمستوى xy ، والمستوى yz ، والمستوى xz .

في سياقات الرياضيات والفيزياء والهندسة، يُعرَّف المحوران الأولان أو يُصوَّران عادةً على أنهما أفقيان، بينما يشير المحور الثالث إلى الأعلى. في هذه الحالة، يُطلق على الإحداثي الثالث اسم الارتفاع أو العلو . ويُختار هذا التوجيه عادةً بحيث تبدو الزاوية القائمة (90 درجة) من المحور الأول إلى المحور الثاني عكس اتجاه عقارب الساعة عند النظر إليها من النقطة $(0، 0، 1)$ ؛ وهو ما يُعرف بقاعدة اليد اليمنى .

أبعاد أعلى

بما أن الإحداثيات الديكارتية فريدة وغير مبهمة، يمكن تحديد نقاط المستوى الديكارتي بأزواج من الأعداد الحقيقية ؛ أي بالضرب الديكارتي $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ، أين $\mathbb {R}$ هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. وبالمثل، يمكن تعريف النقاط في أي فضاء إقليدي ذي بُعد n بمجموعات (قوائم) من n عددًا حقيقيًا؛ أي بالضرب الديكارتي $\mathbb {R} ^{n}$ .

التعميمات

يُمكن تعميم مفهوم الإحداثيات الديكارتية ليشمل محاور غير متعامدة، أو وحدات قياس مختلفة على طول كل محور. في هذه الحالة، تُحسب كل إحداثية بإسقاط النقطة على أحد المحاور في اتجاه موازٍ للمحور الآخر (أو، بشكل عام، للمستوى الفائق المحدد بجميع المحاور الأخرى). في نظام الإحداثيات المائل هذا ، يجب تعديل حسابات المسافات والزوايا عن تلك المستخدمة في أنظمة الإحداثيات الديكارتية القياسية، ولا تنطبق العديد من الصيغ القياسية (مثل صيغة فيثاغورس للمسافة) (انظر المستوى الأفيني ).

الرموز والاصطلاحات

تُكتب الإحداثيات الديكارتية لنقطة ما عادةً بين قوسين ، مفصولة بفواصل، كما في (10، 5) أو (3، 5، 7) . ويُشار إلى نقطة الأصل غالبًا بالحرف الكبير O. في الهندسة التحليلية، يُرمز للإحداثيات المجهولة أو العامة عادةً بالحرفين ( x ، y ) في المستوى، و( x ، y ، z ) في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذا العرف مُستمد من اصطلاح جبري، حيث تُستخدم الأحرف القريبة من نهاية الأبجدية للقيم المجهولة (مثل إحداثيات النقاط في العديد من المسائل الهندسية)، والأحرف القريبة من البداية للكميات المُعطاة.

تُستخدم هذه الأسماء التقليدية غالبًا في مجالات أخرى، مثل الفيزياء والهندسة، مع إمكانية استخدام رموز أخرى. على سبيل المثال، في رسم بياني يوضح تغير الضغط مع الزمن ، يُرمز لإحداثيات الرسم البياني بالرمزين p و t . يُسمى كل محور عادةً باسم الإحداثي المقاس عليه؛ فيُقال المحور x ، والمحور y ، والمحور t ، وهكذا.

من الاصطلاحات الشائعة الأخرى لتسمية الإحداثيات استخدام الرموز السفلية، مثل ( x1 _,x2 _, ..., xn ₎ للإحداثيات n في فضاء ذي n بُعد، خاصةً عندما يكون n أكبر من ₃ أو غير مُحدد. يُفضل بعض المؤلفين الترقيم ( x0 _,x1 , ..., xn _-₁ ). تُعد هذه الترميزات مفيدةً للغاية في برمجة الحاسوب : فبفضل تخزين إحداثيات النقطة كمصفوفة ، بدلاً من سجل ، يُمكن استخدام الرمز السفلي لفهرسة الإحداثيات.

في الرسوم التوضيحية الرياضية للأنظمة الديكارتية ثنائية الأبعاد، يُقاس الإحداثي الأول (المعروف تقليديًا باسم المحور السيني ) على طول محور أفقي ، موجه من اليسار إلى اليمين. ثم يُقاس الإحداثي الثاني (المحور الصادي ) على طول محور رأسي ، موجه عادةً من الأسفل إلى الأعلى. يتعلم الأطفال الصغار الذين يدرسون النظام الديكارتي عادةً ترتيب قراءة القيم قبل ترسيخ مفاهيم المحاور س ، ص، ع ، وذلك بالبدء بوسائل تذكير ثنائية الأبعاد (على سبيل المثال، "السير في الممر ثم صعود الدرج" وهو ما يُشبه السير مباشرةً عبر المحور س ثم الصعود عموديًا على طول المحور ص ).

مع ذلك، غالباً ما تستخدم رسومات الحاسوب ومعالجة الصور نظام إحداثيات يكون فيه المحور الصادي متجهاً للأسفل على شاشة الحاسوب. وقد تطور هذا النظام في ستينيات القرن الماضي (أو قبل ذلك) انطلاقاً من الطريقة التي كانت تُخزن بها الصور في مخازن العرض .

في الأنظمة ثلاثية الأبعاد، يُعتمد تمثيل المستوى xy أفقيًا، مع إضافة المحور z لتمثيل الارتفاع (موجبًا للأعلى). كما يُعتمد توجيه المحور x نحو المشاهد، إما إلى اليمين أو اليسار. إذا أظهر الرسم التخطيطي ( إسقاط ثلاثي الأبعاد أو رسم منظور ثنائي الأبعاد ) المحورين x و y أفقيًا ورأسيًا على التوالي، فيجب أن يُظهر المحور z متجهًا خارج الصفحة نحو المشاهد أو الكاميرا. في مثل هذا الرسم التخطيطي ثنائي الأبعاد لنظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، يظهر المحور z كخط أو شعاع متجهًا للأسفل واليسار أو للأسفل واليمين، حسب منظور المشاهد أو الكاميرا . في أي رسم تخطيطي أو عرض، يكون توجيه المحاور الثلاثة، ككل، اختياريًا. مع ذلك، يجب أن يتوافق توجيه المحاور بالنسبة لبعضها البعض دائمًا مع قاعدة اليد اليمنى ، ما لم يُنص على خلاف ذلك صراحةً. تفترض جميع قوانين الفيزياء والرياضيات هذه الخاصية اليمينية ، مما يضمن الاتساق.

في الرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد، نادرًا ما يُستخدم مصطلحا "الفواصل" و"الإحداثيات" للإشارة إلى المحورين x و y على التوالي. وعند استخدامهما، يُطلق على الإحداثي z أحيانًا اسم "التطبيق" . وتُستخدم مصطلحات "الفواصل " و "الإحداثيات" و "التطبيق" أحيانًا للإشارة إلى محاور الإحداثيات بدلًا من قيمها. ^{[ 7 ]}

الأرباع والأثمان

تقسم محاور نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد المستوى إلى أربعة أرباع لا نهائية ، [ ^{7 ] يحد} كل ربع منها نصفا محور. عادةً ما تُرقّم هذه الأرباع من الأول إلى الرابع، ويُشار إليها بالأرقام الرومانية : الأول (حيث تكون الإحداثيات موجبة)، والثاني (حيث تكون الإحداثية السينية سالبة - والإحداثية الصادية موجبة +)، والثالث (حيث تكون الإحداثيات السينية والصادية سالبة -)، والرابع (الإحداثية السينية موجبة، والإحداثية الصادية سالبة). عند رسم المحاور وفقًا للعرف الرياضي، يكون الترقيم عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الربع العلوي الأيمن ("الشمالي الشرقي").

وبالمثل، يُعرّف نظام الإحداثيات الديكارتية ثلاثي الأبعاد تقسيم الفضاء إلى ثمانية أجزاء أو أجزاء ثمانية ، ^{[ 7 ]} وفقًا لإشارات إحداثيات النقاط. ويُعتمد في تسمية أي جزء ثماني على سرد إشاراته؛ على سبيل المثال، (+ + +) أو (− + −) . ويُعرف الجزء الثماني، وهو تعميم للربع والجزء الثماني إلى أي عدد من الأبعاد، باسم الجزء العلوي ، ويُطبق عليه نظام تسمية مماثل.

الصيغ الديكارتية للمستوى

المسافة بين نقطتين

المسافة الإقليدية بين نقطتين في المستوى ذي الإحداثيات الديكارتية $(x_{1},y_{1})$ و $(x_{2},y_{2})$ يكون

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

هذه هي النسخة الديكارتية لنظرية فيثاغورس . في الفضاء ثلاثي الأبعاد، المسافة بين النقاط $(x_{1},y_{1},z_{1})$ و $(x_{2},y_{2},z_{2})$ يكون

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$

والتي يمكن الحصول عليها من خلال تطبيقين متتاليين لنظرية فيثاغورس. ^{[ 9 ]}

التحويلات الإقليدية

التحويلات الإقليدية أو الحركات الإقليدية هي عمليات تحويل ( تقابلية ) لنقاط المستوى الإقليدي إلى نفسها، مع الحفاظ على المسافات بين النقاط. وهناك أربعة أنواع من هذه التحويلات (وتسمى أيضًا بالتماثلات): الإزاحات ، والدورانات ، والانعكاسات ، والانعكاسات الانزلاقية . ^{[ 10 ]}

ترجمة

إن نقل مجموعة من النقاط على المستوى، مع الحفاظ على المسافات والاتجاهات بينها، يُكافئ إضافة زوج ثابت من الأرقام ( أ ، ب ) إلى الإحداثيات الديكارتية لكل نقطة في المجموعة. أي، إذا كانت الإحداثيات الأصلية لنقطة ما هي ( س ، ص) ، فبعد النقل ستكون (س، ص ) .

$(x',y')=(x+a,y+b).$

تناوب

لتدوير شكل عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل بزاوية معينة $\theta$ يكافئ ذلك استبدال كل نقطة ذات إحداثيات ( س ، ص ) بالنقطة ذات الإحداثيات ( س ' ، ص ' )، حيث

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

هكذا:

$(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$

انعكاس

إذا كانت ( س ، ص ) هي الإحداثيات الديكارتية لنقطة ما، فإن ( -س ، ص ) هي إحداثيات انعكاسها حول محور الإحداثيات الثاني (محور ص)، كما لو كان هذا الخط مرآة. وبالمثل، فإن ( س ، -ص ) هي إحداثيات انعكاسها حول محور الإحداثيات الأول (محور س). وبشكل أعم، فإن الانعكاس حول خط يمر بنقطة الأصل ويصنع زاوية $\theta$ بالنسبة للمحور السيني، فإن ذلك يكافئ استبدال كل نقطة ذات إحداثيات ( س ، ص ) بالنقطة ذات الإحداثيات ( س '، ص ') ، حيث

${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}$

هكذا: $(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$

انعكاس الانزلاق

الانعكاس الانزلاقي هو تركيب انعكاس حول خط متبوعًا بإزاحة في اتجاه ذلك الخط. ويمكن ملاحظة أن ترتيب هاتين العمليتين غير مهم (إذ يمكن أن تأتي الإزاحة أولًا، ثم الانعكاس).

الشكل المصفوفي العام للتحويلات

يمكن وصف جميع التحويلات الأفينية للمستوى بطريقة موحدة باستخدام المصفوفات. ولهذا الغرض، تُستخدم الإحداثيات $(x,y)$ يتم تمثيل بيانات نقطة ما عادةً كمصفوفة عمودية ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$ النتيجة $(x',y')$ تطبيق تحويل أفيني على نقطة $(x,y)$ يتم تحديده بالصيغة ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,$ أين $A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}$ هي مصفوفة 2×2 و $b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ هي مصفوفة عمودية. ^{[ 11 ]} أي، ${\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{محاذاة}}$

من بين التحويلات الأفينية، تتميز التحويلات الإقليدية بحقيقة أن المصفوفة $A$ متعامد ؛ أي أن أعمدته عبارة عن متجهات متعامدة ذات معيار إقليدي يساوي واحدًا، أو بشكل صريح، $A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0$ و $A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.$

هذا يُعادل القول بأن حاصل ضرب المصفوفة $A$ في منقولتها يساوي مصفوفة الوحدة . إذا لم تتحقق هذه الشروط، فإن الصيغة تصف تحويلاً أفينياً أكثر عمومية .

يكون التحويل إزاحةً إذا وفقط إذا كانت $A$ هي مصفوفة الوحدة . ويكون التحويل دورانًا حول نقطة ما إذا وفقط إذا كانت $A$ مصفوفة دوران ، أي أنها متعامدة. $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.$

يتم الحصول على انعكاس أو انعكاس انزلاقي عندما، $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$

بافتراض عدم استخدام الترجمات (أي، $b_{1}=b_{2}=0$ يمكن تركيب التحويلات ببساطة عن طريق ضرب مصفوفات التحويل المرتبطة بها. في الحالة العامة، من المفيد استخدام المصفوفة الموسعة للتحويل؛ أي إعادة كتابة صيغة التحويل. ${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},$ أين $A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.$ بهذه الحيلة، يتم الحصول على تركيب التحويلات الأفينية عن طريق ضرب المصفوفات الموسعة.

التحويل الأفيني

التحويلات الأفينية للمستوى الإقليدي هي تحويلات تُحوّل الخطوط إلى خطوط، ولكنها قد تُغيّر المسافات والزوايا. وكما ذُكر في القسم السابق، يُمكن تمثيلها باستخدام المصفوفات المُوسّعة. ${\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.$

التحويلات الإقليدية هي تحويلات تآلفية بحيث تكون مصفوفة 2×2 لـ $A_{i,j}$ متعامد .

يتم الحصول على المصفوفة الموسعة التي تمثل تركيب تحويلين خطيين عن طريق ضرب مصفوفاتهما الموسعة.

بعض التحويلات الأفينية التي ليست تحويلات إقليدية قد حصلت على أسماء محددة.

التوسع

يُعدّ تغيير المقياس مثالًا على التحويل الأفيني غير الإقليدي. فتكبير أو تصغير شكل ما يُكافئ ضرب الإحداثيات الديكارتية لكل نقطة فيه بالعدد الموجب نفسه m . فإذا كانت ( x , y ) إحداثيات نقطة على الشكل الأصلي، فإن إحداثيات النقطة المقابلة لها على الشكل المُعدَّل هي ( x , y).

$(x',y')=(mx,my).$

إذا كانت قيمة m أكبر من 1، يصبح الرقم أكبر؛ وإذا كانت قيمة m بين 0 و 1، يصبح الرقم أصغر.

قص

يؤدي تحويل القص إلى دفع الجزء العلوي من المربع جانبيًا لتشكيل متوازي أضلاع . ويُعرَّف القص الأفقي كما يلي:

$(x',y')=(x+ys,y)$

يمكن تطبيق القص عموديًا أيضًا:

$(x',y')=(x,xs+y)$

التوجه واليدوية

في بعدين

يُحدد تثبيت أو اختيار المحور السيني المحور الصادي حتى اتجاهه. أي أن المحور الصادي هو بالضرورة العمودي على المحور السيني المار بالنقطة صفر على المحور السيني . ولكن يُمكن اختيار أي من نصفي الخطين على العمودي يُعتبر موجبًا وأيهما سالبًا. ويُحدد كل من هذين الخيارين اتجاهًا مختلفًا (يُسمى أيضًا اتجاهية ) المستوى الديكارتي.

تعتبر الطريقة المعتادة لتوجيه المستوى، مع توجيه المحور x الموجب إلى اليمين وتوجيه المحور y الموجب إلى الأعلى (مع كون المحور x هو المحور "الأول" والمحور y هو المحور "الثاني")، هي التوجيه الموجب أو القياسي ، ويسمى أيضًا التوجيه الأيمن .

من الطرق الشائعة المستخدمة لتحديد الاتجاه الموجب قاعدة اليد اليمنى . بوضع اليد اليمنى شبه المغلقة على المستوى مع توجيه الإبهام لأعلى، تشير الأصابع من المحور السيني إلى المحور الصادي ، في نظام إحداثيات ذي اتجاه موجب.

الطريقة الأخرى لتوجيه الطائرة هي اتباع قاعدة اليد اليسرى ، وذلك بوضع اليد اليسرى على الطائرة مع توجيه الإبهام لأعلى.

عند توجيه الإبهام بعيدًا عن نقطة الأصل على طول محور باتجاه الموجب، يشير انحناء الأصابع إلى دوران موجب على طول ذلك المحور.

بغض النظر عن القاعدة المستخدمة لتوجيه المستوى، فإن تدوير نظام الإحداثيات سيحافظ على التوجيه. سيؤدي تغيير أي محور واحد إلى عكس التوجيه، لكن تغيير كلا المحورين سيبقي التوجيه دون تغيير.

في ثلاثة أبعاد

بمجرد تحديد المحورين س و ص ، يتم تحديد الخط الذي يجب أن يقع عليه المحور ع ، ولكن هناك اتجاهان محتملان لهذا الخط. يُطلق على نظامي الإحداثيات الناتجين اسم "يميني" و"يساري". ^{[ 12 ]} يُطلق على الاتجاه القياسي، حيث يكون المستوى س ص أفقيًا ويتجه المحور ع للأعلى ( ويشكل المحوران س و ص نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد موجب الاتجاه في المستوى س ص عند النظر إليه من أعلى المستوى س ص )، اسم "يميني" أو "موجب" .

يُستمد الاسم من قاعدة اليد اليمنى . إذا كان إصبع السبابة في اليد اليمنى مُشيرًا للأمام، والإصبع الوسطى مثنيًا للداخل بزاوية قائمة عليه، والإبهام موضوعًا بزاوية قائمة على كليهما، فإن الأصابع الثلاثة تُشير إلى الاتجاه النسبي للمحاور س ، ص ، ع في نظام إحداثيات يميني . يُشير الإبهام إلى المحور س ، والسبابة إلى المحور ص ، والإصبع الوسطى إلى المحور ع . وعلى العكس، إذا تم تطبيق نفس الترتيب على اليد اليسرى، ينتج نظام إحداثيات يساري.

يوضح الشكل 7 نظام إحداثيات يساري وآخر يميني. ولأن الجسم ثلاثي الأبعاد يُمثَّل على الشاشة ثنائية الأبعاد، ينتج عن ذلك تشوهٌ وغموض. يُقصد بالمحور المتجه للأسفل (واليمين) أن يشير نحو المُشاهد، بينما يُقصد بالمحور "الأوسط" أن يشير بعيدًا عنه. الدائرة الحمراء موازية للمستوى الأفقي xy ، وتشير إلى الدوران من المحور x إلى المحور y (في كلتا الحالتين). لذا، يمر السهم الأحمر أمام المحور z .

الشكل 8 هو محاولة أخرى لتصوير نظام إحداثيات يميني. وكما في السابق، ينشأ غموضٌ نتيجة إسقاط نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد على المستوى. يرى العديد من المشاهدين الشكل 8 وكأنه "ينقلب" بين مكعب محدب و "زاوية" مقعرة . وهذا يتوافق مع الاتجاهين المحتملين للفضاء. رؤية الشكل على أنه محدب تعطي نظام إحداثيات يساري. لذا، فإن الطريقة "الصحيحة" لرؤية الشكل 8 هي تخيل المحور السيني وكأنه يشير نحو المشاهد، وبالتالي رؤية زاوية مقعرة.

تمثيل متجه في الأساس القياسي

يمكن تمثيل نقطة في الفضاء ضمن نظام إحداثيات ديكارتية بمتجه موضع ، والذي يمكن اعتباره سهمًا يشير من نقطة الأصل في نظام الإحداثيات إلى تلك النقطة. ^{[ 13 ]} إذا كانت الإحداثيات تمثل مواقع مكانية (إزاحات)، فمن الشائع تمثيل المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة المطلوبة على النحو التالي: $\mathbf {r}$ في بُعدين، يمكن كتابة المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات الديكارتية (x، y) على النحو التالي:

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,$

أين $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ و $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ هي متجهات وحدة في اتجاه المحورين السيني والصادي على التوالي، ويُشار إليها عمومًا بالأساس القياسي (في بعض مجالات التطبيق، قد يُشار إليها أيضًا باسم المتجهات الموجهة ). وبالمثل، في ثلاثة أبعاد، يكون المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات الديكارتية $(x,y,z)$ يمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 14 ]} $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,$

أين $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},$ و $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

لا يوجد تفسير طبيعي لضرب المتجهات للحصول على متجه آخر ينطبق على جميع الأبعاد، ولكن توجد طريقة لاستخدام الأعداد المركبة لإجراء هذا الضرب. في المستوى الديكارتي ثنائي الأبعاد، نربط النقطة ذات الإحداثيات ( x , y ) بالعدد المركب z = x + iy . هنا، i هي الوحدة التخيلية ، وتُعرَّف بالنقطة ذات الإحداثيات (0, 1) ، لذا فهي ليست متجه الوحدة في اتجاه المحور x . بما أن الأعداد المركبة يمكن ضربها للحصول على عدد مركب آخر، فإن هذا الربط يوفر وسيلة "لضرب" المتجهات. في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد، يمكن إجراء ربط مماثل باستخدام مجموعة جزئية من الكواترنيونات .

انظر أيضاً

روبوت الإحداثيات الديكارتية
أفقي وعمودي
مخطط جونز ، الذي يرسم أربعة متغيرات بدلاً من اثنين
الإحداثيات المتعامدة ، نوع من أنظمة الإحداثيات المنحنية
نظام الإحداثيات القطبية
شبكة منتظمة
نظام الإحداثيات الكروية

ملحوظات

↑ لنفترض وجود شعاعين أو نصفي خط ناتجين عن تقسيم الخط عند نقطة الأصل. يمكن تخصيص أحد نصفي الخط للأعداد الموجبة، والآخر للأعداد السالبة.

الاقتباسات

↑ بيكس، روبرت أ.؛ ديسوزا، هاري ج. "الهندسة التحليلية" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2017 .
↑ كينت وفوجاكوفيتش 2017 ، انظر هنا
↑ كاتز، فيكتور ج. (2009). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثالثة). بوسطن: أديسون-ويسلي. ص 484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826 .
↑ بيرتون 2011 ، ص 374 .
↑ بيرلينسكي 2011
↑ أكسلر 2015 ، ص. 1
1 2 3 4 إيفانوف، أ.ب. (2001) [1994]، "نظام الإحداثيات المتعامدة الديكارتية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
↑ "الإحداثيات الديكارتية" . planetmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أغسطس 2024 .
↑ هيوز-هاليت، ماكالوم وجليسون 2013
↑ سمارت 1998 ، الفصل 2 .
^ برانان، إسبلين وجراي 1998 ، ص. 49 .
↑ أنطون، بيفنز وديفيس 2021 ، ص 657
^ برانان، إسبلن وجراي 1998 ، الملحق 2، الصفحات من 377 إلى 382
↑ غريفيثس 1999

المراجع العامة والمستشهد بها

أكسلر، شيلدون (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0أُرشف من الأصل بتاريخ 27 مايو 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2022 .
بيرلينسكي، ديفيد (2011). جولة في حساب التفاضل والتكامل . مجموعة كنوبف دابلداي للنشر. رقم ISBN 9780307789730.
برانان، ديفيد أ.؛ إسبلين، ماثيو ف.؛ غراي، جيريمي ج. (1998). الهندسة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-59787-6.
بورتون، ديفيد م. (2011). تاريخ الرياضيات/مقدمة ( الطبعة السابعة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-338315-6.
غريفيث، ديفيد ج. (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-805326-0.
هيوز-هاليت، ديبورا؛ ماكالوم، ويليام ج.؛ غليسون، أندرو م. (2013). حساب التفاضل والتكامل: متغير واحد ومتعدد المتغيرات ( الطبعة السادسة). جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0470-88861-2.
كينت، ألكسندر جيه؛ فوجاكوفيتش، بيتر (4 أكتوبر 2017). دليل روتليدج لرسم الخرائط ورسم الخرائط . روتليدج. ISBN 9781317568216.
سمارت، جيمس ر. (1998)، الهندسة الحديثة ( الطبعة الخامسة)، باسيفيك غروف: بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-534-35188-5
أنطون، هوارد؛ بيفنز، إيرل سي؛ ديفيس، ستيفن (2021). حساب التفاضل والتكامل: متعدد المتغيرات . جون وايلي وأولاده . ص 657. ISBN 978-1-119-77798-4.

للمزيد من القراءة

ديكارت، رينيه (2001). مقال في المنهج، والبصريات، والهندسة، والأرصاد الجوية . ترجمة بول ج. أوسكامب ( طبعة منقحة). إنديانابوليس، إنديانا: دار هاكيت للنشر. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510 .
كورن، جي. أ.، وكورن، تي. إم. (1961). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين (الطبعة الأولى ). نيويورك: ماكجرو هيل. الصفحات 55-79 . رقم مكتبة الكونغرس 59-14456 . رقم مركز المكتبات الكندي 19959906 .
مارجيناو إتش ، مورفي جي إم (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . نيويورك: دي. فان نوستراند. LCCN 55-10911 .
مون، ب.، وسبنسر، د. إ. (1988). "الإحداثيات المستطيلة (س، ص، ع)". دليل نظرية المجال، بما في ذلك أنظمة الإحداثيات، والمعادلات التفاضلية، وحلولها (الطبعة الثانية والثالثة المصححة ). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 9-11 (الجدول 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
مورس، ب.م. ، وفيشباخ، هـ. (1969). مناهج الفيزياء النظرية، الجزء الأول ( الطبعة الأولى). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-043316-8. إل سي سي إن 52-11515 .
سوير ر، زابو الأول (1967). الرياضيات Hilfsmittel des Ingenieurs . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. إل سي سي إن 67-25285 .

روابط خارجية

[7] لنفترض وجود شعاعين أو نصفي خط ناتجين عن تقسيم الخط عند نقطة الأصل. يمكن تخصيص أحد نصفي الخط للأعداد الموجبة، والآخر للأعداد السالبة.

[1] بيكس، روبرت أ.؛ ديسوزا، هاري ج. "الهندسة التحليلية" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2017 .

[2] كينت وفوجاكوفيتش 2017 ، انظر هنا

[3] كاتز، فيكتور ج. (2009). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثالثة). بوسطن: أديسون-ويسلي. ص 484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826 .

[4] بيرتون 2011 ، ص 374 .

[5] بيرلينسكي 2011

[6] أكسلر 2015 ، ص. 1

[:0-8] 1 2 3 4 إيفانوف، أ.ب. (2001) [1994]، "نظام الإحداثيات المتعامدة الديكارتية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

[9] "الإحداثيات الديكارتية" . planetmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أغسطس 2024 .

[10] هيوز-هاليت، ماكالوم وجليسون 2013

[11] سمارت 1998 ، الفصل 2 .

[12] برانان، إسبلين وجراي 1998 ، ص. 49 .

[13] أنطون، بيفنز وديفيس 2021 ، ص 657

[14] برانان، إسبلن وجراي 1998 ، الملحق 2، الصفحات من 377 إلى 382

[15] غريفيثس 1999

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ أ ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]