الحكم النفعي

في مجال الاختيار الاجتماعي وبحوث العمليات ، تُعرف القاعدة النفعية (وتُسمى أيضًا قاعدة المجموع الأقصى ) بأنها قاعدة تنص على أنه من بين جميع البدائل الممكنة، ينبغي للمجتمع اختيار البديل الذي يُعظم مجموع منافع جميع الأفراد في المجتمع. ^{[ 1 ] : الفقرة الفرعية 2.5.} وهي تمثيل رياضي رسمي للفلسفة النفعية ، وغالبًا ما يتم تبريرها بالرجوع إلى نظرية هارساني النفعية أو نظرية فون نيومان-مورغنشتيرن .

يترك${\displaystyle X}$لنفترض أن لدينا مجموعة من "حالات العالم" أو "البدائل" الممكنة. يرغب المجتمع في اختيار حالة واحدة من بينها.${\displaystyle X}$على سبيل المثال، في انتخابات الفائز الواحد ،${\displaystyle X}$قد يمثل مجموعة المرشحين؛ في سياق تخصيص الموارد ،${\displaystyle X}$قد يمثل ذلك جميع التخصيصات الممكنة للمورد.

يترك${\displaystyle I}$لتكن مجموعة منتهية، تمثل مجموعة من الأفراد. لكل${\displaystyle i\in I}$، يترك${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$لتكن دالة منفعة تصف مقدار السعادة التي يحصل عليها الفرد i من كل حالة ممكنة.

قاعدة الاختيار الاجتماعي هي آلية تستخدم البيانات${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$لاختيار عنصر أو أكثر من${\displaystyle X}$والتي تعتبر "الأفضل" للمجتمع (إن مسألة ما تعنيه كلمة "الأفضل" هي المشكلة الأساسية لنظرية الاختيار الاجتماعي ).

تختار القاعدة النفعية عنصرًا${\displaystyle x\in X}$الذي يزيد من مجموع المنفعة

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

يسهل تفسير قاعدة المنفعة وتطبيقها عندما تمثل الدوال _uᵢ شكلاً ملموساً وقابلاً للقياس من المنفعة. على سبيل المثال: ^{[ 1 ] : 44}

• لنفترض مشكلة توزيع الخشب بين البنائين. قد تمثل دوال المنفعة قدرتهم الإنتاجية –${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$عدد المباني التي يمتلكها الوكيل${\displaystyle i}$يمكن البناء باستخدام${\displaystyle y_{i}}$وحدات الخشب. ثم تقوم القاعدة النفعية بتوزيع الخشب بطريقة تزيد من عدد المباني إلى أقصى حد.
• لنفترض مشكلة توزيع دواء نادر بين المرضى. قد تمثل دوال المنفعة احتمالية شفائهم –${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$احتمالية العامل${\displaystyle i}$للتعافي من خلال الحصول على${\displaystyle y_{i}}$جرعات الدواء. ثم تقوم القاعدة النفعية بتوزيع الدواء بطريقة تزيد من العدد المتوقع للناجين.

عندما تمثل الدوال uᵢ شكلاً مجرداً من "السعادة" _، يصبح تفسير القاعدة النفعية أكثر صعوبة. ولكي تكون الصيغة المذكورة أعلاه منطقية، يجب افتراض أن دوال المنفعة${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$كلاهما أساسيان وقابلان للمقارنة على المستوى الأساسي.

إن فكرة امتلاك الأفراد لدوال منفعة كمية ليست إشكالية. فقد تم افتراض المنفعة الكمية ضمنيًا في نظرية القرار منذ تحليل دانيال برنولي لمفارقة سانت بطرسبرغ . وقد طوّر فرانك ب. رامزي ، وبرونو دي فينيتي ، وفون نيومان ومورغنسترن ، وليونارد سافاج نظريات رياضية دقيقة للمنفعة الكمية (مع تطبيقها على اتخاذ القرارات المحفوفة بالمخاطر). ومع ذلك، في هذه النظريات، لا تكون دالة منفعة الشخص محددة بدقة إلا في حدود "إعادة التحجيم الخطي". وبالتالي، إذا كانت دالة المنفعة${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$يُعد هذا وصفًا صحيحًا لتفضيلاتها، وإذا${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$ثابتان مع${\displaystyle s_{i}>0}$ثم دالة المنفعة "المعاد قياسها"${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$يُعد هذا وصفًا صحيحًا بنفس القدر لتفضيلاتها. إذا قمنا بتعريف حزمة جديدة من دوال المنفعة${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$باستخدام ربما طرق مختلفة${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle s_{i}>0}$للجميع${\displaystyle i\in I}$ثم ننظر في المجموع النفعي

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

ثم بشكل عام، فإن الشخص الذي يحقق أقصى قيمة لـ${\displaystyle V}$لن يكون هو نفسه الشخص الذي يحقق أقصى قيمة لـ${\displaystyle U}$وبالتالي، بمعنى ما، فإن الاختيار الاجتماعي النفعي الكلاسيكي غير محدد جيدًا ضمن النموذج القياسي للمنفعة الأساسية المستخدمة في نظرية القرار، ما لم يتم تحديد آلية "لمعايرة" وظائف المنفعة للأفراد المختلفين.

تقترح النفعية النسبية آلية معايرة طبيعية. لكل${\displaystyle i\in I}$لنفترض أن القيم

${\displaystyle m_{i}\$ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{و}}\quad M_{i}\  :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}

محددة جيدًا. (على سبيل المثال، سيكون هذا صحيحًا دائمًا إذا${\displaystyle X}$محدود، أو إذا${\displaystyle X}$مساحة صغيرة و${\displaystyle u_{i}}$(دالة متصلة.) ثم عرّف

${\displaystyle w_{i}(x)\$ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}

للجميع${\displaystyle x\in X}$. هكذا،${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$هي دالة منفعة "مُعاد قياسها" لها قيمة دنيا تساوي صفرًا وقيمة قصوى تساوي واحدًا. وتختار قاعدة الاختيار الاجتماعي النفعية النسبية العنصر في${\displaystyle X}$الذي يزيد من مجموع المنفعة

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

كدالة اختيار اجتماعي مجردة، تم تحليل النفعية النسبية من قبل كل من كاو (1982)، ^{[ 2 ]} وديلون (1998)، ^{[ 3 ]} وكارني (1998)، ^{[ 4 ]} وديلون وميرتنز (1999)، ^{[ 5 ]} وسيغال (2000)، ^{[ 6 ]} وسوبل (2001) ^{، [ 7 ]} وبيفاتو (2008). ^{[ 8 ]} (يشير إليها كاو (1982) باسم "حل طومسون المعدل").

كل دالة اختيار اجتماعي فعالة وفقًا لمبدأ باريتو هي بالضرورة دالة اختيار نفعية، وهي نتيجة تُعرف باسم نظرية هارساني النفعية . وبالتحديد، يجب أن تكون أي دالة اختيار اجتماعي فعالة وفقًا لمبدأ باريتو عبارة عن توليفة خطية من دوال المنفعة لكل دالة منفعة فردية (بأوزان موجبة تمامًا).

في سياق التصويت، تؤدي القاعدة النفعية إلى عدة طرق للتصويت:

• يُطبق التصويت النطاقي (ويسمى أيضًا التصويت بالنقاط أو التصويت النفعي) قاعدة النفعية النسبية من خلال السماح للناخبين بالتعبير صراحة عن منافعهم لكل بديل على مقياس معياري مشترك.
• يحاول التصويت النفعي الضمني تقريب القاعدة النفعية مع السماح للناخبين بالتعبير فقط عن الترتيبات الترتيبية للمرشحين.

في سياق تخصيص الموارد، تؤدي القاعدة النفعية إلى ما يلي:

• قاعدة خاصة لتقسيم مورد متجانس واحد ؛
• العديد من القواعد والخوارزميات لتقطيع الكعكة النفعية - تقسيم مورد غير متجانس؛
• قاعدة خاصة لتوزيع العناصر بشكل عادل . ^{[ 9 ]}
• مشكلة تعظيم الرفاهية .
• التوفيق المستقر النفعي

• حكم المساواة
• قاعدة التناسب العادل
• مشكلة تعظيم المنفعة