إحصائية V

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

إحصائيات V هي فئة من الإحصائيات سميت نسبة إلى ريتشارد فون ميزس الذي طور نظرية التوزيع التقاربي في ورقة بحثية أساسية عام 1947. [ 1 ] ترتبط إحصائيات V ارتباطًا وثيقًا بإحصائيات U [ 2 ] [ 3 ] (U تعني " غير متحيزة ") التي قدمها فاسيلي هوفدينغ عام 1948. [ 4 ] إحصائية V هي دالة إحصائية (لعينة) معرفة بواسطة دالة إحصائية معينة لتوزيع احتمالي.

الدوال الإحصائية

إحصائيات يمكن تمثيلها كدوالتي(Fن){\displaystyle T(F_{n})}دالة التوزيع التجريبية(Fن){\displaystyle (F_{n})}تُسمى هذه الدوال بالدوال الإحصائية . [ 5 ] تلعب قابلية تفاضل الدالة T دورًا رئيسيًا في منهج فون ميزس؛ ولذلك، يعتبر فون ميزس الدوال الإحصائية القابلة للتفاضل . [ 1 ]

أمثلة على الدوال الإحصائية

  1. اللحظة المركزية رقم k هي الدالةتي(F)=∫(x-μ)كدF(x){\displaystyle T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)}، أينμ=هـ[X]{\displaystyle \mu =E[X]}هي القيمة المتوقعة لـ X. الدالة الإحصائية المرتبطة بها هي العزم المركزي للعينة رقم k .
    تين=مك=تي(Fن)=1ن∑أنا=1ن(xأنا-x¯)ك.{\displaystyle T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.}
  2. إحصائية جودة المطابقة مربع كاي هي دالة إحصائية T ( F n )، تتوافق مع الدالة الإحصائية
    تي(F)=∑أنا=1ك(∫أأنادF-صأنا)2صأنا،{\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},}

    حيث A i هي الخلايا k و p i هي الاحتمالات المحددة للخلايا في ظل الفرضية الصفرية.

  3. تعتمد إحصائيات جودة المطابقة لـ Cramér –von-Mises و Anderson–Darling على الدالة
    تي(F)=∫(F(x)-F0(x))2w(x؛F0)دF0(x)،{\displaystyle T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),}

    حيث w ( x ; F0 ) دالة وزن محددة، و F0 توزيع صفري محدد. إذا كانت w دالة التطابق، فإن T ( Fn ) هي إحصائية كرامر-فون ميزس المعروفة لجودة المطابقة؛ إذا w(x؛F0)=[F0(x)(1-F0(x))]-1{\displaystyle w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}}إذن T ( F n ) هي إحصائية أندرسون-دارلينج .

التمثيل كإحصائية V

لنفترض أن x1 ، ...، xn عينة. في التطبيقات النموذجية، يكون للدالة الإحصائية تمثيل إحصائية V.

Vمن=1نم∑أنا1=1ن⋯∑أنام=1نح(xأنا1،xأنا2،...،xأنام)،{\displaystyle V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),}

حيث h دالة نواة متناظرة. يناقش سيرفلينج [ 6 ] كيفية إيجاد النواة عمليًا. يُطلق على V mn اسم إحصائية V من الدرجة m . 

النواة المتناظرة من الدرجة 2 هي دالة h ( x , y ) بحيث يكون h ( x , y ) = h ( y , x ) لجميع قيم x و y في مجال h. بالنسبة للعينات x1 ، ...، xn ، يتم تعريف إحصائية V المقابلة. 

V2،ن=1ن2∑أنا=1ن∑ج=1نح(xأنا،xج).{\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).}

مثال على إحصائية V

  1. مثال على إحصائية V من الدرجة الثانية هو العزم المركزي الثاني m² . إذا كانت h ( x , y ) = ( x - y ) ² /2، فإن إحصائية V المقابلة هي
    V2،ن=1ن2∑أنا=1ن∑ج=1ن12(xأنا-xج)2=1ن∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2،{\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},}

    وهو مُقدِّر الاحتمال الأقصى للتباين . وباستخدام نفس النواة، فإن إحصائية U المقابلة هي تباين العينة (غير المتحيز):

    s2=(ن2)-1∑أنا<ج12(xأنا-xج)2=1ن-1∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2{\displaystyle s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}.

التوزيع التقاربي

في الأمثلة من 1 إلى 3، يختلف التوزيع التقاربي للإحصائية: في (1) يكون طبيعيًا ، وفي (2) يكون مربع كاي ، وفي (3) يكون مجموعًا مرجحًا لمتغيرات مربع كاي.

يُعدّ منهج فون ميزس نظريةً موحدةً تُغطي جميع الحالات المذكورة أعلاه. [ 1 ] وبشكلٍ غير رسمي، يعتمد نوع التوزيع التقاربي لدالة إحصائية على رتبة "الانحلال"، والتي تُحدد من خلال الحدّ الذي يُمثّل أول حدّ غير صفري في متسلسلة تايلور للدالة T. فإذا كان هذا الحدّ هو الحدّ الخطي، يكون التوزيع النهائي طبيعيًا؛ وإلا فإن أنواع التوزيعات ذات الرتب الأعلى تنشأ (في ظلّ شروط مناسبة بحيث تتحقق نظرية النهاية المركزية). 

توجد سلسلة هرمية من الحالات موازية للنظرية التقاربية لإحصاءات U. [ 7 ] ليكن A ( m ) الخاصية المعرفة على النحو التالي:

أكون ) :​
  1. Var( h ( X 1 , ..., X k )) = 0 لـ k < m ، و Var( h ( X 1 , ..., X k )) > 0 لـ k = m ؛
  2. يؤول المقدار n m /2 R mn إلى الصفر (احتمالياً). ( R mn هو حد الباقي في متسلسلة تايلور لـ T. )

الحالة m = 1 (نواة غير متدهورة):

إذا كانت A (1) صحيحة، فإن الإحصائية هي متوسط ​​العينة ونظرية النهاية المركزية تعني أن T(F n ) طبيعي تقاربياً .

في مثال التباين (4)، يكون m 2 طبيعيًا تقاربيًا بمتوسطσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}والتباين(μ4-σ4)/ن{\displaystyle (\mu _{4}-\sigma ^{4})/n}، أينμ4=هـ(X-هـ(X))4{\displaystyle \mu _{4}=E(X-E(X))^{4}}.

الحالة m = 2 (نواة متدهورة):

لنفترض أن العبارة (2) صحيحة، وهـ[ح2(X1،X2)]<∞،هـ|ح(X1،X1)|<∞،{\displaystyle E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,}وهـ[ح(x،X1)]≡0{\displaystyle E[h(x,X_{1})]\equiv 0}ثم يتقارب التوزيع nV 2,n في التوزيع إلى مجموع مرجح لمتغيرات مربع كاي المستقلة:

نV2،ن⟶د∑ك=1∞λكZك2،{\displaystyle nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}

أينZك{\displaystyle Z_{k}}هي متغيرات طبيعية معيارية مستقلة وλك{\displaystyle \lambda _{k}}هي ثوابت تعتمد على التوزيع F والدالة T. في هذه الحالة، يُطلق على التوزيع التقاربي اسم الشكل التربيعي للمتغيرات العشوائية الغاوسية المركزية . تُسمى الإحصائية V 2, n إحصائية V ذات النواة المنحلة . تُعد إحصائية V المرتبطة بدالة كرامر-فون ميزس [ 1 ] (المثال 3) مثالًا على إحصائية V ذات النواة المنحلة. [ 8 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 4 فون ميزس (1947)
  2. ↑ لي (1990)
  3. ^ كوروليوك وبوروفسكيتش (1994)
  4. ↑ هوفدينغ (1948)
  5. ↑ فون ميزس (1947)، ص 309؛ سيرفلينج (1980)، ص 210.
  6. ↑ الخدم (1980، القسم 6.5)
  7. ↑ سيرفلينج (1980، الفصل 5-6)؛ لي (1990، الفصل 3)
  8. ↑ انظر لي (1990، ص 160) لوظيفة النواة.

مراجع