خريطة إضافية

في الجبر ، الخريطة الجمعية ،${\displaystyle \mathbb {Z} }$الدالة الخطية أو الدالة الجمعية هي دالة${\displaystyle f}$وهذا يحافظ على عملية الجمع: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$ لكل زوج من العناصر${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في نطاق ⁠​${\displaystyle f}$على سبيل المثال ، أي دالة خطية هي دالة جمعية. عندما يكون مجالها هو الأعداد الحقيقية ، تُسمى هذه الدالة معادلة كوشي . للاطلاع على حالة خاصة من هذا التعريف، انظر إلى متعددة الحدود الجمعية .

بصورة أكثر رسمية، فإن الخريطة الجمعية هي${\displaystyle \mathbb {Z} }$- تماثل الوحدات . بما أن المجموعة الأبيلية هي${\displaystyle \mathbb {Z} }$- الوحدة ، يمكن تعريفها على أنها تماثل جماعي بين المجموعات الأبيلية.

خريطة${\displaystyle V\times W\to X}$يُطلق على الدالة التي تكون جمعية في كل من وسيطين على حدة اسم دالة ثنائية الجمع أو${\displaystyle \mathbb {Z} }$الخريطة الثنائية الخطية . ^{[ 2 ]}

تشمل الأمثلة النموذجية الدوال بين الحلقات ، أو الفضاءات المتجهة ، أو الوحدات التي تحافظ على المجموعة الجمعية . ولا تحافظ الدالة الجمعية بالضرورة على أي بنية أخرى للكائن؛ على سبيل المثال، عملية الضرب في الحلقة.

لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$إذا كانت الخرائط جمعية، فإن الخريطة${\displaystyle f+g}$(المعرّف نقطيًا ) هو جمعي.

تعريف الضرب القياسي في عدد صحيح

لنفترض أن${\displaystyle X}$هي مجموعة جمعية ذات عنصر محايد${\displaystyle 0}$وأن عكس${\displaystyle x\in X}$يُرمز إليه بـ ⁠${\displaystyle -x}$لأي​${\displaystyle x\in X}$وعدد صحيح${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$، دع: $${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ عندما }}n=0\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ الحدود) }}&&~{\text{ عندما }}n>0\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ الحدود) }}&&~{\text{ عندما }}n<0.\\\end{alignedat}}\right.}$$ هكذا${\displaystyle (-1)x=-x}$ويمكن إثبات ذلك لجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$وكل​${\displaystyle x\in X}$،​${\displaystyle (m+n)x=mx+nx}$و​${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x)}$⁠ . هذا التعريف للضرب القياسي يجعل المجموعة الفرعية الدورية${\displaystyle \mathbb {Z} x}$ل${\displaystyle X}$إلى اليسار${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة ؛ إذا${\displaystyle X}$إذا كانت عملية تبادلية، فإنها تجعل أيضًا${\displaystyle X}$إلى اليسار${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة.

التجانس على الأعداد الصحيحة

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة جمعية بين مجموعات جمعية،${\displaystyle f(0)=0}$وللجميع​${\displaystyle x\in X}$،​${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$(حيث يشير النفي إلى المعكوس الجمعي ) و ^{[ البرهان 1 ]}$${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ لكل }}n\in \mathbb {Z} .}$$ بالتالي،${\displaystyle f(xy)=f(x)-f(y)}$للجميع${\displaystyle x,y\in X}$(حيث، بحسب التعريف، ⁠${\displaystyle xy:=x+(-y)}$) .

بمعنى آخر، كل دالة جمعية متجانسة على مجموعة الأعداد الصحيحة . وبالتالي، فإن كل دالة جمعية بين مجموعات أبيلية هي تشاكل لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الوحدات النمطية .

تماثل${\displaystyle \mathbb {Q} }$-الوحدات النمطية

إذا كانت المجموعات الأبيلية الجمعية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وهي أيضًا وحدات أحادية على الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$(مثل فضاءات المتجهات الحقيقية أو المركبة ) ثم تطبيق إضافي${\displaystyle f:X\to Y}$يفي بـ: ^{[ البرهان 2 ]}$${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ لجميع }}q\in \mathbb {Q} {\text{ و }}x\in X.}$$ بمعنى آخر، كل دالة جمعية متجانسة على الأعداد النسبية . وبالتالي، فإن كل دالة جمعية تربط بين الأعداد الوحدوية${\displaystyle \mathbb {Q} }$-modules هو تشاكل لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-الوحدات النمطية .

على الرغم من كونها متجانسة على مدار${\displaystyle \mathbb {Q} }$كما هو موضح في المقالة المتعلقة بمعادلة كوشي الوظيفية ، حتى عندما${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$ومع ذلك ، لا يزال من الممكن للدالة الجمعية${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$أن تكون غير متجانسة على الأعداد الحقيقية ؛ بعبارة أخرى، توجد دوال جمعية${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$التي ليست على شكل${\displaystyle f(x)=s_{0}x}$لبعض الثوابت${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} }$. على وجه الخصوص، توجد خرائط جمعية ليست خرائط خطية بالنسبة لبنية حلقة موجودة للمجال المقابل .

• الخريطة المضادة للخطية – الخريطة الجمعية المتجانسة المترافقة 

البراهين

• روجر سي ليندون ؛ بول إي. شوب (2001)، نظرية المجموعة التوافقية ، سبرينغر