تحليل الحساسية

يتمثل النهج البديهي الأول (وهو مفيد بشكل خاص في الحالات الأقل تعقيدًا) في تحليل العلاقة بين كل مدخل.${\displaystyle Z_{i}}$والناتج${\displaystyle Y}$باستخدام مخططات التشتت، لاحظ سلوك هذه الأزواج. تُعطي المخططات فكرة أولية عن الارتباط وأي مدخل يؤثر على المخرج. يوضح الشكل 2 مثالًا حيث يكون هناك مدخلان،${\displaystyle Z_{3}}$و${\displaystyle Z_{4}}$ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالناتج.

إحدى أبسط الطرق وأكثرها شيوعًا هي تغيير عامل واحد في كل مرة (OAT)، لمعرفة تأثير ذلك على الناتج. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} تتضمن طريقة OAT عادةً

• بتحريك أحد متغيرات الإدخال مع الإبقاء على المتغيرات الأخرى عند قيمها الأساسية (الاسمية)،
• إعادة المتغير إلى قيمته الاسمية، ثم تكرار ذلك لكل مدخل آخر بنفس الطريقة.

يمكن قياس الحساسية من خلال رصد التغيرات في المخرجات، على سبيل المثال باستخدام المشتقات الجزئية أو الانحدار الخطي . يبدو هذا نهجًا منطقيًا، إذ أن أي تغيير يُلاحظ في المخرجات سيُعزى بشكل قاطع إلى المتغير الوحيد الذي تم تغييره. علاوة على ذلك، بتغيير متغير واحد في كل مرة، يمكن تثبيت جميع المتغيرات الأخرى على قيمها المركزية أو الأساسية. هذا يزيد من قابلية مقارنة النتائج (حيث تُحسب جميع "التأثيرات" بالرجوع إلى نفس النقطة المركزية في الفضاء) ويقلل من احتمالية تعطل برنامج الحاسوب، والتي تزداد احتمالية حدوثها عند تغيير عدة عوامل إدخال في آن واحد. غالبًا ما يُفضل مصممو النماذج تحليل OAT لأسباب عملية. ففي حالة فشل النموذج أثناء تحليل OAT، يعرف مصمم النموذج فورًا عامل الإدخال المسؤول عن الفشل.

على الرغم من بساطته، لا يستكشف هذا النهج فضاء المدخلات بشكل كامل، إذ لا يأخذ في الحسبان التغير المتزامن لمتغيرات المدخلات. وهذا يعني أن نهج OAT لا يستطيع رصد وجود تفاعلات بين متغيرات المدخلات، وهو غير مناسب للنماذج غير الخطية. ^{[ 20 ]}

تتزايد نسبة مساحة الإدخال التي تبقى غير مستكشفة باستخدام منهجية OAT بشكل أُسّي فائق مع ازدياد عدد المدخلات. على سبيل المثال، تُكافئ مساحة معلمات بثلاثة متغيرات، يتم استكشافها واحدًا تلو الآخر، أخذ نقاط على طول المحاور س، ص، ع لمكعب مركزه نقطة الأصل. الغلاف المحدب الذي يُحيط بجميع هذه النقاط هو ثماني السطوح ، حجمه يُعادل سدس مساحة المعلمات الكلية. وبشكل أعم، يُشكل الغلاف المحدب لمحاور مستطيل فائق ثماني السطوح، حجمه يُعادل سدس مساحة المعلمات الكلية.${\displaystyle 1/n!}$مع 5 مدخلات، تنخفض المساحة المستكشفة إلى أقل من 1% من إجمالي مساحة المعلمات. وحتى هذا يُعدّ تقديرًا مبالغًا فيه، لأن الحجم خارج المحور لا يُؤخذ منه أي عينة على الإطلاق. قارن هذا بأخذ عينات عشوائية من المساحة، حيث يقترب الغلاف المحدب من الحجم الكلي مع إضافة المزيد من النقاط. ^{[ 21 ]} في حين أن تباعد OAT ليس مصدر قلق نظريًا للنماذج الخطية ، إلا أن الخطية الحقيقية نادرة في الطبيعة.

سميت هذه الطريقة نسبةً إلى الإحصائي ماكس د. موريس، وهي مناسبة لفحص الأنظمة ذات المعايير المتعددة. وتُعرف أيضاً باسم طريقة التأثيرات الأولية لأنها تجمع بين خطوات متكررة على طول المحاور البارامترية المختلفة. ^{[ 22 ]}

تتضمن الطرق القائمة على المشتقات المحلية أخذ المشتق الجزئي للمخرجات ${\displaystyle Y}$فيما يتعلق بعامل الإدخال${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle \left|{\frac {\partial Y}{\partial X_{i}}}\right|_{{\textbf {x}}^{0}},}$

حيث يشير الرمز السفلي x₀ إلى أن الاشتقاق يُحسب عند نقطة ثابتة في فضاء المدخلات (ومن هنا جاءت كلمة "محلي" في اسم الفئة). يُعدّ كلٌّ من نمذجة المرافق ^{[ 23 ] [ 24 ] والتفاضل} الآلي ^{[ 25 ]} من الطرق التي تسمح بحساب جميع المشتقات الجزئية بتكلفة لا تتجاوز 4-6 أضعاف تكلفة حساب الدالة الأصلية. وعلى غرار نمذجة المرافق الآلية، لا تسعى الطرق المحلية إلى استكشاف فضاء المدخلات بالكامل، إذ إنها تفحص الاضطرابات الصغيرة، عادةً متغيرًا واحدًا في كل مرة. ومن الممكن اختيار عينات مماثلة من حساسية المشتقات باستخدام الشبكات العصبية وإجراء قياس كمي لعدم اليقين.

تتمثل إحدى مزايا الطرق المحلية في إمكانية إنشاء مصفوفة لتمثيل جميع الحساسيات في النظام، مما يوفر نظرة عامة لا يمكن تحقيقها باستخدام الطرق العالمية في حالة وجود عدد كبير من متغيرات الإدخال والإخراج. ^{[ 26 ]}

يتضمن تحليل الانحدار ، في سياق تحليل الحساسية، ملاءمة انحدار خطي لاستجابة النموذج واستخدام معاملات الانحدار المعيارية كمقاييس مباشرة للحساسية. ويُشترط أن يكون الانحدار خطيًا بالنسبة للبيانات (أي على مستوى فائق ، وبالتالي بدون حدود تربيعية، وما إلى ذلك، كمتغيرات مستقلة) لأنه بخلاف ذلك يصعب تفسير المعاملات المعيارية. لذا، تُعد هذه الطريقة الأنسب عندما تكون استجابة النموذج خطية بالفعل؛ ويمكن تأكيد الخطية، على سبيل المثال، إذا كان معامل التحديد كبيرًا. ومن مزايا تحليل الانحدار بساطته وانخفاض تكلفته الحسابية.

تُعدّ الطرق القائمة على التباين ^{[ 27 ]} فئةً من المناهج الاحتمالية التي تُحدّد كميًا عدم اليقين في المدخلات والمخرجات كمتغيرات عشوائية ، ممثلةً بتوزيعاتها الاحتمالية ، وتُحلّل تباين المخرجات إلى أجزاء تُعزى إلى متغيرات المدخلات ومجموعات المتغيرات. وبالتالي، تُقاس حساسية المخرجات لمتغير مدخلات ما بمقدار التباين في المخرجات الناتج عن تلك المدخلات.

يتم تحديد هذه الكمية وحسابها باستخدام مؤشرات سوبول : فهي تمثل نسبة التباين التي يفسرها مُدخل واحد أو مجموعة من المُدخلات. ويقيس هذا التعبير بشكل أساسي مساهمة${\displaystyle X_{i}}$وحده إلى عدم اليقين (التباين) في${\displaystyle Y}$(متوسط ​​على أساس الاختلافات في المتغيرات الأخرى)، ويعرف باسم مؤشر الحساسية من الدرجة الأولى أو مؤشر التأثير الرئيسي أو مؤشر سوبول الرئيسي أو مؤشر سوبول الرئيسي .

للحصول على مدخلات${\displaystyle X_{i}}$يُعرَّف مؤشر سوبول على النحو التالي:

$${\displaystyle S_{i}={\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{i}])}{V(Y)}}}$$أين${\displaystyle V(\cdot )}$و${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$يرمز إلى عاملي التباين والقيمة المتوقعة على التوالي.

والأهم من ذلك، مؤشر الحساسية من الدرجة الأولى لـ${\displaystyle X_{i}}$لا يقيس عدم اليقين الناجم عن التفاعلات${\displaystyle X_{i}}$له علاقة بالمتغيرات الأخرى. وهناك مقياس آخر، يُعرف باسم مؤشر التأثير الكلي ، يعطي التباين الكلي في${\displaystyle Y}$ناجم عن${\displaystyle X_{i}}$وتفاعلاتها مع أي من متغيرات الإدخال الأخرى. ويُعطى مؤشر التأثير الكلي على النحو التالي:$${\displaystyle S_{i}^{T}=1-{\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{\sim i}])}{V(Y)}}}$$أين${\displaystyle X_{\sim i}=(X_{1},...,X_{i-1},X_{i+1},...,X_{p})}$يشير إلى مجموعة جميع متغيرات الإدخال باستثناء${\displaystyle X_{i}}$.

تتيح الطرق القائمة على التباين استكشافًا شاملًا لمساحة المدخلات، مع مراعاة التفاعلات والاستجابات غير الخطية. ولهذه الأسباب، تُستخدم هذه الطرق على نطاق واسع عندما يكون حسابها ممكنًا. عادةً ما يتضمن هذا الحساب استخدام طرق مونت كارلو ، ولكن نظرًا لأن ذلك قد يتطلب آلاف عمليات تشغيل النموذج، يمكن استخدام طرق أخرى (مثل النماذج الفوقية) لتقليل التكلفة الحسابية عند الضرورة.

تُوسّع الطرق غير المعتمدة على العزوم التقنيات القائمة على التباين من خلال النظر في دالة كثافة الاحتمال أو دالة التوزيع التراكمي لمخرجات النموذج.${\displaystyle Y}$وبالتالي، فهي لا تشير إلى أي لحظة معينة من ${\displaystyle Y}$ومن هنا جاء الاسم.

مقاييس الحساسية المستقلة عن اللحظة لـ${\displaystyle X_{i}}$، المشار إليها هنا بـ${\displaystyle \xi _{i}}$يمكن تعريفها من خلال معادلة مشابهة للمؤشرات القائمة على التباين، حيث يتم استبدال التوقع الشرطي بالمسافة، كما يلي:${\displaystyle \xi _{i}=E[d(P_{Y},P_{Y|X_{i}})]}$، أين${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$هي مسافة إحصائية [مقياس أو تباعد] بين مقاييس الاحتمالية،${\displaystyle P_{Y}}$و${\displaystyle P_{Y|X_{i}}}$هي مقاييس الاحتمال الهامشي والشرطي لـ${\displaystyle Y}$[ ^{28 ]​}

لو${\displaystyle d()\geq 0}$إذا كانت المسافة هي ، فإن مقياس الحساسية العالمي المستقل عن العزم يحقق خاصية الاستقلال الصفري. هذه خاصية إحصائية مهمة تُعرف أيضًا باسم مسلمة ريني D. ^{[ 29 ]}

تشمل فئة مقاييس الحساسية غير المعتمدة على اللحظة مؤشرات مثل${\displaystyle \delta }$مقياس الأهمية، ^{[ 30 ]} معامل الارتباط الجديد لتشاتيرجي، ^{[ 31 ]} ارتباط واسرشتين لويزل ^{[ 32 ]} ومقاييس الحساسية القائمة على النواة لبار ورابيتز. ^{[ 33 ]}

يُعد مؤشر PAWN مقياسًا آخر لتحليل الحساسية العالمية، ضمن فئة المناهج غير المعتمدة على العزوم. ^{[ 34 ]} ويعتمد هذا المؤشر على دوال التوزيع التراكمي (CDFs) لتحديد أقصى مسافة بين توزيع المخرجات غير المشروط وتوزيع المخرجات المشروط (الذي يتم الحصول عليه عن طريق تغيير جميع معلمات الإدخال وتحديد${\displaystyle i}$(نتيجةً لذلك، المدخل رقم -th). يُحسب الفرق بين توزيع المخرجات غير المشروط والمشروط عادةً باستخدام اختبار كولموغوروف-سميرنوف (KS). ثم يُحسب مؤشر PAWN لمعلمة إدخال معينة من خلال حساب الإحصاءات الموجزة لجميع قيم KS.

من أبرز أوجه القصور في أساليب تحليل الحساسية السابقة أنها لا تأخذ في الاعتبار البنية المكانية المرتبة لسطح الاستجابة/مخرجات النموذج.${\displaystyle Y=f(X)}$في فضاء المعلمات. من خلال استخدام مفاهيم التباين الاتجاهي والتباين المشترك، يعالج تحليل التباين لأسطح الاستجابة (VARS) هذا الضعف من خلال التعرف على بنية ارتباط متصلة مكانيًا لقيم${\displaystyle Y}$وبالتالي أيضاً لقيم${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial x_{i}}}}$[ ^{35 ] [ 36 ]​}

بشكل أساسي، كلما زاد التباين، زاد عدم تجانس سطح الاستجابة على طول اتجاه/معامل معين، عند مقياس اضطراب محدد. وبناءً على ذلك، في إطار عمل VARS، يمكن اعتبار قيم التباين الاتجاهي لمقياس اضطراب معين بمثابة توضيح شامل لمعلومات الحساسية، من خلال ربط تحليل التباين بمفهومي الاتجاه ومقياس الاضطراب. ونتيجة لذلك، يأخذ إطار عمل VARS في الاعتبار أن الحساسية مفهوم يعتمد على المقياس، وبالتالي يتغلب على مشكلة المقياس في طرق تحليل الحساسية التقليدية. ^{[ 37 ]} والأهم من ذلك، أن VARS قادر على توفير تقديرات مستقرة نسبيًا وقوية إحصائيًا لحساسية المعامل بتكلفة حسابية أقل بكثير من الاستراتيجيات الأخرى (أكثر كفاءة بحوالي رتبتين من حيث الحجم). ^{[ 38 ]} والجدير بالذكر أنه قد ثبت وجود رابط نظري بين إطار عمل VARS والنهج القائمة على التباين والنهج القائمة على المشتقات.

يستخدم اختبار حساسية سعة فورييه (FAST) متسلسلة فورييه لتمثيل دالة متعددة المتغيرات (النموذج) في مجال التردد ، باستخدام متغير تردد واحد. وبالتالي، تصبح التكاملات اللازمة لحساب مؤشرات الحساسية أحادية المتغير، مما يؤدي إلى توفير في العمليات الحسابية.

تعتمد تأثيرات شابلي على قيم شابلي، وتمثل متوسط ​​المساهمة الحدية لعامل معين عبر جميع التوليفات الممكنة للعوامل. وترتبط هذه القيم بمؤشرات سوبول، حيث تقع قيمتها بين تأثير سوبول من الدرجة الأولى وتأثير الدرجة الكلية . ^{[ 39 ]}

يقوم المبدأ على إسقاط الدالة محل الاهتمام على أساس من كثيرات الحدود المتعامدة. ثم يتم التعبير عن مؤشرات سوبول تحليليًا بدلالة معاملات هذا التفكيك. ^{[ 40 ]}

النماذج الفوقية (المعروفة أيضًا باسم المحاكيات أو النماذج البديلة أو أسطح الاستجابة) هي مناهج لنمذجة البيانات / التعلم الآلي تتضمن بناء دالة رياضية بسيطة نسبيًا، تُعرف بالنموذج الفوقي ، تُقارب سلوك الإدخال/الإخراج للنموذج نفسه. ^{[ 41 ]} بعبارة أخرى، هو مفهوم "نمذجة نموذج" (ومن هنا جاء اسم "النموذج الفوقي"). الفكرة هي أنه على الرغم من أن نماذج الحاسوب قد تكون سلسلة معقدة للغاية من المعادلات التي قد تستغرق وقتًا طويلاً لحلها، إلا أنه يمكن دائمًا اعتبارها دالة لمدخلاتها.${\displaystyle Y=f(X)}$من خلال تشغيل النموذج عند عدد من النقاط في فضاء الإدخال، قد يكون من الممكن ملاءمة نماذج فوقية أبسط بكثير${\displaystyle {\hat {f}}(X)}$بحيث${\displaystyle {\hat {f}}(X)\approx f(X)}$ضمن هامش خطأ مقبول. ^{[ 42 ]} بعد ذلك، يمكن حساب مقاييس الحساسية من النموذج الفوقي (إما باستخدام طريقة مونت كارلو أو تحليليًا)، وهو ما سيتطلب تكلفة حسابية إضافية ضئيلة. والأهم من ذلك، أن عدد عمليات تشغيل النموذج المطلوبة لملاءمة النموذج الفوقي قد يكون أقل بكثير من عدد عمليات التشغيل المطلوبة لتقدير مقاييس الحساسية مباشرةً من النموذج. ^{[ 43 ]}

من الواضح أن جوهر منهج النموذج الفوقي هو إيجاد${\displaystyle {\hat {f}}(X)}$(النموذج الفوقي) الذي يمثل تقريبًا دقيقًا بما فيه الكفاية للنموذج${\displaystyle f(X)}$يتطلب ذلك الخطوات التالية،

1. يتم أخذ عينات من النموذج (تشغيله) عند عدد من النقاط في فضاء الإدخال الخاص به. وهذا يتطلب تصميم عينة.
2. اختيار نوع المحاكي (الدالة الرياضية) المراد استخدامه.
3. "تدريب" النموذج الفوقي باستخدام بيانات العينة من النموذج - وهذا يتضمن بشكل عام ضبط معلمات النموذج الفوقي حتى يحاكي النموذج الفوقي النموذج الحقيقي بأفضل شكل ممكن.

يمكن غالبًا إجراء عملية أخذ عينات من النموذج باستخدام متواليات ذات تباين منخفض ، مثل متوالية سوبول (نسبةً إلى عالم الرياضيات إيليا م. سوبول) أو أخذ عينات المكعب الفائق اللاتيني ، مع إمكانية استخدام التصاميم العشوائية أيضًا، ولكن مع انخفاض طفيف في الكفاءة. يرتبط اختيار نوع النموذج الفائق والتدريب ارتباطًا وثيقًا، إذ تعتمد طريقة التدريب على فئة النموذج الفائق. ومن أنواع النماذج الفائقة التي استُخدمت بنجاح في تحليل الحساسية ما يلي:

• العمليات الغاوسية ^{[ 43 ]} (المعروفة أيضًا باسم كريغينغ )، حيث يُفترض أن أي توليفة من نقاط الإخراج موزعة وفقًا لتوزيع غاوسي متعدد المتغيرات . وقد استُخدمت مؤخرًا العمليات الغاوسية "المتشعبة" للتعامل مع الاستجابات غير المتجانسة وغير المتصلة. ^{[ 44 ] [ 45 ]}
• الغابات العشوائية ، ^{[ 41 ]} حيث يتم تدريب عدد كبير من أشجار القرار ، ويتم حساب متوسط ​​النتيجة.
• تعزيز التدرج ، ^{[ 41 ]} حيث يتم استخدام سلسلة من الانحدارات البسيطة لترجيح نقاط البيانات لتقليل الخطأ بشكل متسلسل.
• توسعات الفوضى متعددة الحدود ، ^{[ 46 ]} التي تستخدم كثيرات الحدود المتعامدة لتقريب سطح الاستجابة.
• تُستخدم عادةً الدوال التكعيبية [ ^{47 ] بالتزامن} مع اقتطاعات تمثيل النموذج عالي الأبعاد (HDMR) (انظر أدناه).
• تُستخدم الشبكات البايزية المنفصلة [ ^{48 ] بالتزامن} مع النماذج التقليدية مثل النماذج الضوضائية. تستغل النماذج الضوضائية المعلومات المتعلقة بالاستقلال الشرطي بين المتغيرات لتقليل الأبعاد بشكل كبير.

يُثير استخدام المحاكي مشكلة في التعلّم الآلي ، والتي قد تكون صعبة إذا كانت استجابة النموذج غير خطية بشكل كبير . في جميع الأحوال، من المفيد التحقق من دقة المحاكي، على سبيل المثال باستخدام التحقق المتبادل .

يُعدّ تمثيل النموذج عالي الأبعاد (HDMR) [ ^{49 ] [ 50 ] (} وهو مصطلح يُنسب إلى هـ. رابيتز ^{[ 51 ]} ) في جوهره أسلوب محاكاة، يتضمن تحليل مخرجات الدالة إلى توليفة خطية من حدود الإدخال والتفاعلات ذات الأبعاد المتزايدة. يستغل أسلوب HDMR حقيقة أنه يمكن عادةً تقريب النموذج بدقة عالية بإهمال التفاعلات ذات الرتب العليا (الرتبة الثانية أو الثالثة وما فوق). بعد ذلك، يمكن تقريب كل حد من حدود السلسلة المقتطعة، على سبيل المثال، باستخدام كثيرات الحدود أو الدوال التجميعية (REFS)، ويُعبّر عن الاستجابة كمجموع التأثيرات الرئيسية والتفاعلات حتى رتبة الاقتطاع. من هذا المنظور، يمكن اعتبار نماذج HDMR بمثابة محاكيات تتجاهل التفاعلات ذات الرتب العليا؛ وتكمن ميزتها في قدرتها على محاكاة نماذج ذات أبعاد أعلى من المحاكيات كاملة الرتبة.

يعد تحليل الحساسية عبر ترشيح مونت كارلو ^{[ 52 ]} أيضًا نهجًا قائمًا على أخذ العينات، والذي يهدف إلى تحديد المناطق في فضاء عوامل الإدخال التي تتوافق مع قيم معينة (على سبيل المثال، عالية أو منخفضة) للمخرجات.