التفاعل (الإحصاءات)

يُعدّ تحليل التباين (ANOVA) أحد أبسط الأمثلة على التفاعلات المحتملة . لنفترض وجود عاملين ثنائيين A و B. على سبيل المثال، قد يُشير هذان العاملان إلى ما إذا كان المريض قد خضع لأحد علاجين، سواءً بشكل منفرد أو مُجتمع. يُمكننا حينها دراسة متوسط ​​استجابة المريض للعلاج (مثل مستوى الأعراض بعد العلاج)، كدالة لمزيج العلاج المُستخدم. يُبيّن الجدول التالي أحد الاحتمالات:

في هذا المثال، لا يوجد تفاعل بين العلاجين ، إذ أن تأثيرهما تراكمي. والسبب في ذلك هو أن الفرق في متوسط ​​الاستجابة بين الأفراد الذين تلقوا العلاج (أ) والذين لم يتلقوه هو -2 ، سواءً تم إعطاء العلاج ( ب) أم لا ( -2 = 4 - 6) ( -2 = 5 - 7 ). لاحظ أنه يترتب على ذلك تلقائيًا أن الفرق في متوسط ​​الاستجابة بين الأفراد الذين تلقوا العلاج (ب) والذين لم يتلقوه هو نفسه سواءً تم إعطاء العلاج (أ) أم لا (7 - 6 = 5 - 4).              

في المقابل، إذا لوحظت الاستجابات المتوسطة التالية

ثمّة تفاعل بين العلاجات ، إذ لا تتراكم آثارها. بافتراض أن زيادة عدد الحالات تدل على استجابة أفضل، فإن العلاج ( ب) في هذه الحالة يكون مفيدًا في المتوسط ​​إذا لم يتلقَّ المريض العلاج (أ) ، ولكنه يكون ضارًا في المتوسط ​​إذا أُعطيَ مع العلاج (أ) . أما العلاج (أ) فهو مفيد في المتوسط ​​بغض النظر عن إعطاء العلاج (ب) من عدمه، ولكنه يكون أكثر فائدة، سواءً من حيث القيمة المطلقة أو النسبية، إذا أُعطيَ بمفرده بدلًا من إعطائه مع العلاج (ب) . وتُذكر ملاحظات مماثلة لهذا المثال تحديدًا في القسم التالي.

في العديد من التطبيقات، من المفيد التمييز بين التفاعلات النوعية والكمية. ^{[ 4 ]} التفاعل الكمي بين المتغيرين A و B هو حالة يعتمد فيها مقدار تأثير B على قيمة A ، بينما يظل اتجاه تأثير B ثابتًا لجميع قيم A. أما التفاعل النوعي بين A و B فيشير إلى حالة يمكن فيها أن يعتمد كل من مقدار واتجاه تأثير كل متغير على قيمة المتغير الآخر.

يُظهر جدول المتوسطات على اليسار، أدناه، تفاعلاً كمياً ؛ فالعلاج (أ) مفيد سواءً أُعطيَ العلاج (ب) أم لا ، لكن الفائدة تكون أكبر عند عدم إعطاء (ب) (أي عند إعطاء ( أ) وحده). أما جدول المتوسطات على اليمين فيُظهر تفاعلاً نوعياً؛ إذ يكون (أ) ضاراً عند إعطاء (ب) ، ولكنه مفيد عند عدم إعطاء (ب) . تجدر الإشارة إلى أن التفسير نفسه ينطبق إذا نظرنا إلى فائدة ( ب) بناءً على إعطاء (أ) من عدمه.

يعتمد التمييز بين التفاعلات النوعية والكمية على ترتيب المتغيرات (في المقابل، تبقى خاصية الإضافة ثابتة بغض النظر عن ترتيب المتغيرات). في الجدول التالي، إذا ركزنا على تأثير العلاج ( أ) ، فسنجد تفاعلاً كمياً ، حيث سيؤدي إعطاء العلاج (أ) إلى تحسين النتيجة في المتوسط ​​بغض النظر عما إذا كان العلاج (ب) يُعطى بالفعل أم لا (مع أن الفائدة تكون أكبر إذا أُعطي العلاج (أ ) وحده). أما إذا ركزنا على تأثير العلاج (ب) ، فسنجد تفاعلاً نوعياً ، حيث سيؤدي إعطاء العلاج (ب) لمريض يتلقى بالفعل العلاج (أ) إلى تفاقم الحالة (في المتوسط)، بينما سيؤدي إعطاء العلاج (ب) لمريض لا يتلقى العلاج (أ) إلى تحسين النتيجة في المتوسط.

في أبسط صورها، تنص فرضية جمع تأثيرات وحدة المعالجة على أن الاستجابة المرصودة y_{_ij} من الوحدة التجريبية i عند تلقيها المعالجة j يمكن كتابتها على شكل مجموع y _{_ij}  = y _{_i} + t_{_j}. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} وتعني هذه الفرضية أن لكل معالجة نفس التأثير الجمعي على كل وحدة تجريبية. وبما أن أي وحدة تجريبية معينة لا يمكنها الخضوع إلا لمعالجة واحدة، فإن فرضية جمع تأثيرات وحدة المعالجة هي فرضية غير قابلة للتفنيد المباشر، وفقًا لكوكس وكيمبثورن.   

مع ذلك، يمكن دحض العديد من نتائج خاصية جمع المعاملات في الوحدة. ففي التجارب العشوائية، يفترض مبدأ جمع المعاملات أن التباين ثابت لجميع المعاملات. وبالتالي، بالعكس، فإن الشرط الضروري لخاصية جمع المعاملات في الوحدة هو ثبات التباين.

خاصية جمع المعاملات الوحدوية ليست ثابتة عند تغيير المقياس، لذا غالبًا ما يستخدم الإحصائيون التحويلات لتحقيق هذه الخاصية. إذا كان من المتوقع أن يتبع المتغير التابع عائلةً بارامتريةً من التوزيعات الاحتمالية، فقد يحدد الإحصائي (في بروتوكول التجربة أو الدراسة الرصدية) تحويل الاستجابات لتحقيق استقرار التباين. ^{[ 8 ]} في كثير من الحالات، قد يحدد الإحصائي تطبيق التحويلات اللوغاريتمية على الاستجابات، التي يُعتقد أنها تتبع نموذجًا ضربيًا. ^{[ 6 ] [ 9 ]}

تم توضيح افتراض إضافة المعالجة الوحدوية في التصميم التجريبي من قبل كيمبثورن وكوكس . ويشبه استخدام كيمبثورن لإضافة المعالجة الوحدوية والعشوائية التحليل القائم على التصميم لأخذ عينات المسح السكاني المحدود.

في السنوات الأخيرة، شاع استخدام مصطلحات دونالد روبين، التي تعتمد على الافتراضات المضادة للواقع. لنفترض أننا نقارن مجموعتين من الأشخاص فيما يتعلق بصفة معينة y . على سبيل المثال، قد تتكون المجموعة الأولى من أشخاص يتلقون علاجًا قياسيًا لحالة طبية، بينما تتكون المجموعة الثانية من أشخاص يتلقون علاجًا جديدًا ذي تأثير غير معروف. من منظور "الافتراض المضاد للواقع"، يمكننا اعتبار فرد ذي قيمة y لهذه الصفة إذا كان ينتمي إلى المجموعة الأولى، وقيمة τ ( y ) لهذه الصفة إذا كان ينتمي إلى المجموعة الثانية. يفترض مبدأ "جمعية العلاج الواحد" أن τ ( y ) = τ ، أي أن "تأثير العلاج" لا يعتمد على y . بما أنه لا يمكننا ملاحظة كل من y و τ( y ) لفرد معين، فإن هذا الافتراض غير قابل للاختبار على المستوى الفردي. مع ذلك، _{فإن خاصية} جمع المعالجة الوحدوية تعني أن دالتي التوزيع التراكمي F1 و F2 للمجموعتين تحققان المعادلة _F2 ( y ) = F1 ₍ y − τ ) ، طالما أن توزيع الأفراد على المجموعتين 1 و2 مستقل عن جميع العوامل الأخرى المؤثرة على y (أي لا توجد عوامل مربكة ). ويمكن اعتبار عدم خاصية جمع المعالجة الوحدوية شكلاً من أشكال التفاعل بين _{توزيع المعالجة (مثلاً إلى المجموعتين 1 أو 2) وقيمة} y الأساسية، أو القيمة قبل المعالجة .      

أحيانًا تكون المتغيرات المتفاعلة متغيرات تصنيفية وليست أعدادًا حقيقية، وفي هذه الحالة، يمكن التعامل مع الدراسة كمسألة تحليل تباين . على سبيل المثال، قد يُصنَّف أفراد مجتمع ما حسب الدين والمهنة. إذا رغبنا في التنبؤ بطول شخص ما بناءً على دينه ومهنته فقط، فإن نموذجًا جمعيًا بسيطًا ، أي نموذجًا بدون تفاعل، سيضيف إلى متوسط ​​الطول الإجمالي تعديلًا خاصًا بدين معين وآخر خاصًا بمهنة معينة. أما النموذج التفاعلي، على عكس النموذج الجمعي ، فيمكنه إضافة تعديل إضافي لـ"التفاعل" بين ذلك الدين وتلك المهنة. قد يدفع هذا المثال إلى التساؤل عما إذا كان مصطلح " التفاعل " في هذا السياق دقيقًا أم لا.

إحصائيًا، يُختبر وجود تفاعل بين المتغيرات الفئوية عادةً باستخدام تحليل التباين (ANOVA). أما إذا كان أحد المتغيرات أو أكثر متصلًا، فيُختبر عادةً باستخدام الانحدار المتعدد المُعدَّل. ^{[ 10 ]} يُسمى هذا النوع من الانحدار بالمتغير المُعدِّل، لأنه متغير يؤثر على قوة العلاقة بين متغيرين آخرين.

زعم جينيتشي تاغوتشي ^{[ 11 ]} أنه يمكن إزالة التفاعلات من النظام عن طريق الاختيار المناسب لمتغير الاستجابة والتحويل. ومع ذلك، جادل جورج بوكس ​​وآخرون بأن هذا ليس هو الحال بشكل عام. ^{[ 12 ]}

بفرض وجود n من المتغيرات التنبؤية، فإن عدد الحدود في نموذج خطي يتضمن ثابتًا، وكل متغير تنبؤي، وكل تفاعل ممكن هو${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+\cdots +{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}$بما أن هذه الكمية تنمو بشكل أُسّي، فإنها سرعان ما تصبح كبيرة بشكل غير عملي. إحدى طرق الحد من حجم النموذج هي تقييد رتبة التفاعلات. على سبيل المثال، إذا سُمح فقط بالتفاعلات الثنائية، فإن عدد الحدود يصبح${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}=1+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}}$يوضح الجدول أدناه عدد المصطلحات لكل عدد من المتغيرات التنبؤية وأقصى رتبة للتفاعل.

إن النهج الأكثر عمومية لنمذجة تأثيرات التفاعل يتضمن الانحدار، بدءًا من النسخة الأولية المذكورة أعلاه:

${\displaystyle Y=c+ax_{1}+bx_{2}+d(x_{1}\times x_{2})+{\text{error}}\,}$

حيث مصطلح التفاعل${\displaystyle (x_{1}\times x_{2})}$يمكن تكوينها صراحةً بضرب متغيرين (أو أكثر)، أو ضمنيًا باستخدام الترميز العاملي في البرامج الإحصائية الحديثة مثل _{Stata .} قد يكون المكونان x1 و x2 قياسات أو متغيرات وهمية {0،1} بأي تركيبة. تُسمى التفاعلات التي تتضمن متغيرًا وهميًا مضروبًا في متغير قياس بمتغيرات وهمية للميل ، ^{[ 13 ]} لأنها تُقدّر وتختبر الفرق في الميل بين المجموعتين 0 و1.

عند استخدام متغيرات القياس في التفاعلات، يُفضّل غالبًا العمل بصيغ مُمركزة، حيث يُضبط متوسط ​​المتغير (أو أي قيمة مركزية أخرى مناسبة) على الصفر. يُسهّل التمركز تفسير التأثيرات الرئيسية في نماذج التفاعل، إذ يُقلّل من الارتباط الخطي المتعدد بين حد التفاعل والتأثيرات الرئيسية. ^{[ 14 ]} _على سبيل المثال، يُمثّل المعامل a في المعادلة أعلاه تأثير x1 عندما _يكون x2 مساويًا للصفر.

تُعدّ أساليب الانحدار في نمذجة التفاعلات عامة جدًا نظرًا لقدرتها على استيعاب متغيرات تنبؤية إضافية، والعديد من المواصفات أو استراتيجيات التقدير البديلة التي تتجاوز طريقة المربعات الصغرى العادية . ومن بين هذه الأساليب، النماذج القوية ، ونماذج الكميات ، ونماذج التأثيرات المختلطة ( متعددة المستويات )، بالإضافة إلى النمذجة الخطية المعممة التي تشمل نطاقًا واسعًا من المتغيرات التابعة الفئوية، أو المرتبة، أو المعدودة، أو المحدودة. يوضح الرسم البياني تفاعلًا بين التعليم والسياسة، مُستخلصًا من تحليل انحدار لوجستي مُرجّح احتماليًا لبيانات مسحية. ^{[ 15 ]}

لنفترض دراسة درجة حرارة أجسام أنواع مختلفة من الكائنات الحية عند درجات حرارة هواء مختلفة، مُقاسة بالدرجات الفهرنهايتية. البيانات موضحة في الجدول أدناه.

يمكن استخدام درجة حرارة الهواء أو نوع الكائن الحي كمحور س في مخطط التفاعل. أما العامل الثاني فيتم تمثيله بخطوط على مخطط التفاعل.

يوجد تفاعل بين العاملين (درجة حرارة الهواء ونوع الكائن الحي) في تأثيرهما على الاستجابة (درجة حرارة الجسم)، لأن تأثير درجة حرارة الهواء يعتمد على نوع الكائن الحي. ويظهر هذا التفاعل في الرسم البياني لأن الخطوط غير متوازية.

كمثال ثانٍ، لننظر في تجربة سريرية حول التفاعل بين شدة السكتة الدماغية وفعالية دواء ما على بقاء المريض على قيد الحياة. البيانات موضحة في الجدول أدناه.

في مخطط التفاعل، تتوازي خطوط مجموعتي السكتة الدماغية الخفيفة والمتوسطة، مما يشير إلى أن للدواء التأثير نفسه في كلتا المجموعتين، وبالتالي لا يوجد تفاعل بينهما. أما خط مجموعة السكتة الدماغية الشديدة فلا يوازي الخطوط الأخرى، مما يدل على وجود تفاعل بين شدة السكتة الدماغية وتأثير الدواء على البقاء على قيد الحياة. خط مجموعة السكتة الدماغية الشديدة مستقيم، مما يدل على عدم وجود فرق في معدل البقاء على قيد الحياة بين العلاج الدوائي والعلاج الوهمي لدى هؤلاء المرضى. في المقابل، تنحدر خطوط مجموعتي السكتة الدماغية الخفيفة والمتوسطة نحو اليمين، مما يدل على أن معدل البقاء على قيد الحياة لدى مجموعة العلاج الوهمي أقل من معدل البقاء على قيد الحياة لدى مجموعة العلاج الدوائي.

هل تتأثر جودة الكعك بدرجة حرارة الخبز ومدة الخبز في الفرن؟ يعرض الجدول بيانات لثماني دفعات من الكعك.

تُظهر البيانات أن أفضل إنتاجية للبسكويت الجيد تكون عند (أ) ارتفاع درجة الحرارة وقصر مدة الخبز في الفرن، أو (ب) انخفاض درجة الحرارة وطول مدة الخبز في الفرن. أما إذا تُرك البسكويت في الفرن لفترة طويلة عند درجة حرارة عالية، فسيحترق بعضه، وبالتالي تكون الإنتاجية منخفضة.

يتضح من الرسم البياني والبيانات أن الخطوط غير متوازية، مما يشير إلى وجود تفاعل. يمكن اختبار ذلك باستخدام تحليل التباين (ANOVA). لن يتضمن نموذج تحليل التباين الأول حد التفاعل، أي أنه يتجاهل التفاعل المحتمل. أما نموذج تحليل التباين الثاني، فسيتضمن حد التفاعل، أي أنه يُجري اختبار فرضية صريحًا للتفاعل.