نموذج مشبع

في المنطق الرياضي ، وتحديدًا في نظرية النماذج الفرعية ، يُعرف النموذج المشبع بأنه النموذج الذي يحقق أكبر عدد ممكن من الأنواع الكاملة التي يمكن توقعها بشكل معقول بالنظر إلى حجمه. على سبيل المثال، نموذج القوة الفائقة للأعداد الحقيقية الفائقة هو${\displaystyle \aleph _{1}}$مشبعة، بمعنى أن كل تسلسل متداخل تنازلي من المجموعات الداخلية له تقاطع غير فارغ. ^{[ 1 ]}

ليكن κ عددًا أصليًا محدودًا أو غير محدود ، وليكن M نموذجًا في لغة من الدرجة الأولى . يُقال عن M أنه مشبع بـ κ إذا كان، لكل مجموعة جزئية A ⊆ M ذات عدد أصلي أقل من κ ، يحقق النموذج M جميع الأنواع الكاملة على A. ويُقال عن النموذج M أنه مشبع إذا كان مشبعًا بـ | M |، حيث | M | يرمز إلى عدد أصلي M. أي أنه يحقق جميع الأنواع الكاملة على مجموعات من المعاملات ذات حجم أقل من | M |. ووفقًا لبعض المؤلفين، يُقال عن النموذج M أنه مشبع عدديًا إذا كان${\displaystyle \aleph _{1}}$مشبعة؛ أي أنها تحقق جميع الأنواع الكاملة على مجموعات قابلة للعد من المعاملات. ^{[ 2 ]} ووفقًا لآخرين، فهي مشبعة عدديًا إذا كانت قابلة للعد ومشبعة. ^{[ 3 ]}

إن المفهوم الذي يبدو بديهيًا - وهو أن جميع الأنواع الكاملة للغة مُتحققة - يتضح أنه ضعيف للغاية (ويُطلق عليه اسم التشبع الضعيف ، وهو نفسه التشبع الأحادي). يكمن الاختلاف في أن العديد من البنى تحتوي على عناصر غير قابلة للتعريف (على سبيل المثال، أي عنصر متسامٍ في R ، بحكم تعريف الكلمة، غير قابل للتعريف في لغة الحقول ). ومع ذلك، فإنها لا تزال تُشكل جزءًا من البنية، لذلك نحتاج إلى أنواع لوصف العلاقات معها. وبالتالي، نسمح بمجموعات من المعاملات من البنية في تعريفنا للأنواع. تُمكّننا هذه الحجة من مناقشة سمات مُحددة للنموذج قد نغفل عنها لولا ذلك - على سبيل المثال، يمكن التعبير عن حدٍّ على متتالية متزايدة مُحددة c _{_n} بتحقيق النوع { x ≥ c _{_n}  : n ∈ ω }، الذي يستخدم عددًا قابلًا للعد من المعاملات. إذا كانت المتتالية غير قابلة للتعريف، فلا يمكن وصف هذه الحقيقة المتعلقة بالبنية باستخدام اللغة الأساسية، لذلك قد لا تُقيّد بنية مُشبعة ضعيفًا المتتالية، بينما تُقيّدها بنية مُشبعة _{أحاديًا} من النوع ℵ .

السبب وراء اشتراطنا فقط لمجموعات المعاملات الأصغر تمامًا من النموذج واضحٌ تمامًا: فبدون هذا القيد، لا يوجد نموذج لانهائي مشبع. لنفترض نموذجًا M ، والنوع { x ≠ m  : m ∈ M }. كل مجموعة جزئية منتهية من هذا النوع موجودة في النموذج (اللانهائي) M ، لذا فهي متسقة مع M بحكم خاصية التراص ، ولكنها غير موجودة فيه بالضرورة. أي تعريف غير مُرضٍ عالميًا عديم الفائدة؛ ومن هنا يأتي هذا القيد.

توجد نماذج مشبعة لبعض النظريات والكميات:

• ( Q , <) - مجموعة الأعداد النسبية بترتيبها المعتاد - مشبعة. وبشكل بديهي، يعود ذلك إلى أن أي نوع يتوافق مع النظرية يُستنتج من نوع الترتيب؛ أي أن ترتيب المتغيرات يُخبرنا بكل ما يمكن معرفته عن دورها في البنية.
• ( R , <) - مجموعة الأعداد الحقيقية بترتيبها المعتاد - ليست مشبعة. على سبيل المثال، خذ النوع (في متغير واحد x ) الذي يحتوي على الصيغة${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$لكل عدد طبيعي n ، بالإضافة إلى الصيغة${\displaystyle \textstyle {x<0}}$يستخدم هذا النوع ω معلمات مختلفة عن R. كل مجموعة جزئية منتهية من هذا النوع مُحققة على R بواسطة عدد حقيقي x ، لذا، بحكم التراص، يتوافق النوع مع البنية، ولكنه غير مُحقق، لأن ذلك سيؤدي إلى حد أعلى للمتتالية −1/ n أقل من 0 (أصغر حد أعلى لها). بالتالي، فإن ( R , <) ليس مشبعًا بـ ω- ₁ ، وليس مشبعًا. مع ذلك، فهو مشبع بـ ω-، لنفس السبب تقريبًا الذي يجعل Q مشبعًا - كل نوع منتهٍ يُعطى بواسطة نوع الترتيب، والذي إذا كان متسقًا، فإنه مُحقق دائمًا، بسبب كثافة الترتيب.
• تكون المجموعة المرتبة كليًا الكثيفة بدون نقاط نهاية مجموعة η _α إذا وفقط إذا كانت مشبعة ℵ _{α .}
• إن الرسم البياني العشوائي القابل للعد ، والذي يكون فيه الرمز غير المنطقي الوحيد هو علاقة وجود الحافة، يكون مشبعًا أيضًا، لأن أي نوع كامل معزول (ضمني) بواسطة الرسم البياني الفرعي المحدود الذي يتكون من المتغيرات والمعلمات المستخدمة لتحديد النوع.

يمكن إثبات أن كلاً من نظرية Q ونظرية الرسم البياني العشوائي القابل للعد فئويتان من النوع ω باستخدام طريقة التناوب . ويمكن تعميم ذلك على النحو التالي: النموذج الفريد للعدد κ لنظرية قابلة للعد من النوع κ مشبع.

مع ذلك، فإنّ القول بأنّ لكل نموذج امتدادًا أوليًا مشبعًا غير قابل للإثبات في نظرية ZFC . في الواقع، يُكافئ هذا القول وجود فئة حقيقية من الأعداد الأصلية κ بحيث يكون κ ^{< κ} = κ . وتُكافئ هذه المتطابقة الأخيرة κ = λ ⁺ = 2 ^λ لبعض λ ، أو أن κ غير قابل للوصول إليه بقوة .  

مفهوم النموذج المشبع هو مفهوم مزدوج لمفهوم النموذج الأولي على النحو التالي: ليكن T نظرية قابلة للعد في لغة من الدرجة الأولى (أي مجموعة من الجمل المتسقة فيما بينها في تلك اللغة)، وليكن P نموذجًا أوليًا لـ T. عندئذٍ، يقبل P تضمينًا أوليًا في أي نموذج آخر لـ T. المفهوم المكافئ للنماذج المشبعة هو أن أي نموذج "صغير نسبيًا" لـ T يمكن تضمينه أوليًا في نموذج مشبع، حيث تعني "صغير نسبيًا" أن عدد عناصره لا يتجاوز عدد عناصر النموذج الذي سيتم تضمينه فيه. أي نموذج مشبع يكون متجانسًا أيضًا . مع ذلك، بينما يوجد نموذج أولي فريد للنظريات القابلة للعد، فإن النماذج المشبعة تكون بالضرورة خاصة بعدد عناصر معين. في ظل افتراضات معينة في نظرية المجموعات، توجد نماذج مشبعة (وإن كانت ذات عدد عناصر كبير جدًا) لأي نظرية. بالنسبة للنظريات المستقرة λ ، توجد نماذج مشبعة بعدد عناصر λ .

• تشانغ، سي سي ؛ كيسلر، إتش جيه. نظرية النماذج. الطبعة الثالثة. دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، 73. دار نشر نورث هولاند، أمستردام، 1990. 650 صفحة + 16 صفحة تمهيدية. ISBN 0-444-88054-2
• ر. غولدبلات (1998). محاضرات في الأعداد الفائقة الحقيقية. مقدمة في التحليل غير القياسي. سبرينغر.
• ماركر، ديفيد (2002). نظرية النماذج: مقدمة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98760-6
• بويزات، برونو؛ (ترجمة: كلاين، موسى) (2000)، دورة في نظرية النماذج ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98655-3
• ساكس، جيرالد إي. (1972)، نظرية النموذج المشبع ، دبليو إيه بنجامين، إنك، ريدينغ، ماساتشوستس، MR 0398817