عددية المتصل

في نظرية المجموعات ، عدد الأعداد المتصلة هو عدد الأعداد أو "حجم" مجموعة الأعداد الحقيقية ، والتي تسمى أحيانًا المتصل . وهو عدد أصلي لا نهائي ويرمز له بـ (الحرف الصغير Fraktur " c ") أو ^[1] $\mathbb {R}$ ${\mathbf {\mathfrak {c}}}$ ${\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}$

الأعداد الحقيقية أكثر عددًا من الأعداد الطبيعية . علاوة على ذلك، لها نفس عدد عناصر مجموعة القوى . رمزيًا، إذا تم الإشارة إلى عدد عناصر المتصل بـ ، فإن عدد عناصر المتصل هو $\mathbb {R}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\aleph _{0}$

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.

وقد أثبت جورج كانتور ذلك في برهانه على عدم قابلية العد في عام 1874، وهو جزء من دراسته الرائدة لللانهايات المختلفة. وقد تم توضيح المتباينة لاحقًا بشكل أكثر بساطة في حجته القطرية في عام 1891. وقد عرّف كانتور عدد العناصر من حيث الدوال الثنائية : فمجموعتان لهما نفس عدد العناصر إذا، وفقط إذا، كانت هناك دالة ثنائية بينهما.

بين أي عددين حقيقيين a < b ، بغض النظر عن مدى قربهما من بعضهما البعض، يوجد دائمًا عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية الأخرى، وقد أظهر كانتور أن عددها يساوي تلك الموجودة في المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى، فإن الفترة المفتوحة ( a ، b ) متساوية مع ، وكذلك مع العديد من المجموعات اللانهائية الأخرى، مثل أي فضاء إقليدي ذي n بعد (انظر منحنى ملء الفضاء ). أي، $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$

|(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.

أصغر عدد أساسي لانهائي هو ( ألف-صفر ). وثاني أصغر عدد أساسي هو ( ألف-واحد ). فرضية الاستمرارية ، التي تؤكد أنه لا توجد مجموعات يكون عدد عناصرها بدقة بين و ، تعني أن . ^[2] إن صحة أو زيف هذه الفرضية غير قابلة للحسم ولا يمكن إثباتها ضمن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل المستخدمة على نطاق واسع مع بديهية الاختيار (ZFC). $\aleph _{0}$ $\aleph _{1}$ $\aleph _{0}$ ${\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

ملكيات

عدم القدرة على العد

قدم جورج كانتور مفهوم عدد العناصر لمقارنة أحجام المجموعات اللانهائية. وقد أظهر بشكل مشهور أن مجموعة الأعداد الحقيقية لا نهائية بشكل لا حصر له . أي أنها أكبر بشكل صارم من عدد عناصر الأعداد الطبيعية ، : ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{0}$

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

في الممارسة العملية، يعني هذا أن هناك أعدادًا حقيقية أكثر من الأعداد الصحيحة. أثبت كانتور هذه العبارة بعدة طرق مختلفة. لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، راجع أول دليل لعدم قابلية العد لكانتور وحجة كانتور القطرية .

المساواة الأساسية

يمكن استخدام أحد أشكال حجة كانتور القطرية لإثبات نظرية كانتور ، والتي تنص على أن عدد أي مجموعة أقل تمامًا من عدد مجموعة قوتها . أي، (وبالتالي فإن مجموعة قوى الأعداد الطبيعية غير قابلة للعد). ^[3] في الواقع، عدد ، بحكم التعريف ، يساوي . يمكن إظهار ذلك من خلال توفير تعيينات فردية في كلا الاتجاهين بين مجموعات فرعية من مجموعة لا نهائية قابلة للعد والأعداد الحقيقية، وتطبيق نظرية كانتور-برنشتاين-شرودر التي تنص على أن مجموعتين لهما تعيينات فردية في كلا الاتجاهين لهما نفس عدد الأعداد. ^[4]^[5] في اتجاه واحد، يمكن مساواة الأعداد الحقيقية بقطع ديدكيند ، أو مجموعات من الأعداد النسبية، ^[4] أو مع توسعاتها الثنائية . ^[5] في الاتجاه الآخر، فإن التوسعات الثنائية للأرقام في الفاصل نصف المفتوح ، والتي يُنظر إليها كمجموعات من المواضع حيث يكون التوسع واحدًا، تعطي تقريبًا تعيينًا واحدًا لواحد من مجموعات فرعية من مجموعة قابلة للعد (مجموعة المواضع في التوسعات) إلى أرقام حقيقية، لكنها تفشل في أن تكون واحدًا لواحد للأرقام ذات التوسعات الثنائية المنتهية، والتي يمكن تمثيلها أيضًا بتوسع غير منتهٍ ينتهي بتسلسل متكرر من 1. يمكن تحويل هذا إلى تعيين واحد لواحد عن طريق إضافة واحد إلى التوسعات المتكررة غير المنتهية 1، وتعيينها في . ^[5] وبالتالي، نستنتج أن ^[4]^[5] $|A|<2^{|A|}$ $\wp (\mathbb {N} )$ $\mathbb {N}$ $\wp (\mathbb {N} )$ $2^{\aleph _{0}}$ ${\mathfrak {c}}$ $[0,1)$ $[1,2)$

{\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.

يمكن إثبات المساواة الأساسية باستخدام الحساب الأساسي : ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$

{\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.

وباستخدام قواعد الحساب الأساسي، يمكننا أيضًا إظهار أن

{\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}

حيث n هو أي عدد أساسي منتهٍ ≥ 2 و

{\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}

أين هو عدد مجموعة القوى لـ R ، و . $2^{\mathfrak {c}}$ $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$

تفسير بديل لـ 𝔠 = 2^{أ _‎0}

كل عدد حقيقي له على الأقل توسع عشري لانهائي واحد . على سبيل المثال،

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3.14159....

(وهذا صحيح حتى في حالة تكرار التوسع، كما في المثالين الأولين.)

في أي حالة معينة، يكون عدد الأماكن العشرية قابلاً للعد حيث يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الطبيعية . وهذا يجعل من المعقول التحدث عن، على سبيل المثال، المكان العشري الأول أو المائة أو المليون من π. ونظرًا لأن الأعداد الطبيعية لها عدد أساسي، فإن كل عدد حقيقي يحتوي على أرقام في توسعه. $\mathbb {N}$ $\aleph _{0},$ $\aleph _{0}$

نظرًا لأنه يمكن تقسيم كل عدد حقيقي إلى جزء صحيح وكسر عشري، نحصل على:

{\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}

حيث استخدمنا حقيقة أن

\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,

من ناحية أخرى، إذا قمنا بالتخطيط واعتبار الكسور العشرية التي تحتوي فقط على 3 أو 7 جزءًا فقط من الأعداد الحقيقية، فسنحصل على $2=\{0,1\}$ $\{3,7\}$

2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,

وهكذا

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.

أرقام بيث

يتم تحديد تسلسل أرقام بيث من خلال الإعداد و . وكذلك رقم بيث الثاني، بيث-ون : $\beth _{0}=\aleph _{0}$ $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ ${\mathfrak {c}}$

{\mathfrak {c}}=\beth _{1}.

الرقم الثالث من بيث، بيث-اثنين ، هو عددية مجموعة القوى (أي مجموعة كل المجموعات الفرعية للخط الحقيقي ): $\mathbb {R}$

2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.

فرضية الاستمرارية

تزعم فرضية الاستمرارية أن هو أيضًا رقم الألف الثاني ، . ^[2] بعبارة أخرى، تنص فرضية الاستمرارية على أنه لا توجد مجموعة تقع أعدادها بدقة بين و ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{1}$ $A$ $\aleph _{0}$ ${\mathfrak {c}}$

\nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.

من المعروف الآن أن هذا البيان مستقل عن بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع بديهية الاختيار (ZFC)، كما أظهر كورت جودل وبول كوهين . ^[6]^[7]^[8] أي أن كلًا من الفرضية ونفيها متسقان مع هذه البديهيات. في الواقع، لكل عدد طبيعي غير صفري n ، فإن المساواة = مستقلة عن ZFC (الحالة هي فرضية الاستمرارية). وينطبق الشيء نفسه على معظم الألف الأخرى، على الرغم من أنه في بعض الحالات، يمكن استبعاد المساواة بواسطة نظرية كونيغ على أساس النهائية المشتركة (على سبيل المثال ). على وجه الخصوص، يمكن أن يكون إما أو ، حيث هو الترتيب غير المعدود الأول ، لذلك يمكن أن يكون إما عددًا أساسيًا خليفة أو عددًا أساسيًا محدودًا ، وإما عددًا أساسيًا منتظمًا أو عددًا أساسيًا مفردًا . ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{n}$ $n=1$ ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{1}$ $\aleph _{\omega _{1}}$ $\omega _{1}$

المجموعات ذات عدد العناصر المتصل

هناك عدد كبير جدًا من المجموعات التي يتم دراستها في الرياضيات لها عدد أساسي يساوي . ومن الأمثلة الشائعة ما يلي: ${\mathfrak {c}}$

الارقام الحقيقية $\mathbb {R}$
أي فاصل مغلق أو مفتوح ( غير متحلل ) في (مثل الفاصل الزمني الوحدوي ) $\mathbb {R}$ $[0,1]$
الأعداد غير النسبية
الأرقام المتعالية
مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية لا نهائية قابلة للعد (خصص لكل صيغة رقم غودل الخاص بها ). لذا فإن عدد الأعداد الجبرية الحقيقية هو . علاوة على ذلك، فإن الأعداد الجبرية الحقيقية والأعداد المتعالية الحقيقية هي مجموعات منفصلة اتحادها هو . وبالتالي، بما أن عدد الأعداد هو ، فإن عدد الأعداد المتعالية الحقيقية هو . وتتبع نتيجة مماثلة للأعداد المتعالية المركبة، بمجرد أن نثبت أن . $\aleph _{0}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}$ $\left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}$
مجموعة كانتور
الفضاء الإقليدي ^[9] $\mathbb {R} ^{n}$
الأعداد المركبة $\mathbb {C}$

وفقًا لدليل كانتور لعددية الفضاء الإقليدي، ^[9] . بحكم التعريف، يمكن التعبير عن أي بشكل فريد بالنسبة لبعض . وبالتالي، فإننا نحدد التطابق $\left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}$ $c\in \mathbb {C}$ $a+bi$ $a,b\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}$
مجموعة القوى للأعداد الطبيعية ( مجموعة كل المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية) ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$
مجموعة متواليات الأعداد الصحيحة (أي كل الدوال ، والتي يشار إليها غالبًا بـ ) $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$
مجموعة متواليات الأعداد الحقيقية، $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
مجموعة كل الدوال المستمرة من إلى $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
الطوبولوجيا الإقليدية على (أي مجموعة كل المجموعات المفتوحة في ) $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
جبر سيجما بوريل على ( أي مجموعة كل مجموعات بوريل في ). $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

المجموعات ذات العدد الأكبر

تتضمن المجموعات التي تحتوي على عدد أكبر من : ${\mathfrak {c}}$

مجموعة كل المجموعات الجزئية لـ (أي مجموعة القوى ) $\mathbb {R}$ ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$
المجموعة 2 ^R من الدوال المؤشرية المحددة على مجموعات فرعية من الأعداد الحقيقية (المجموعة متماثلة مع - تختار الدالة المؤشرية عناصر كل مجموعة فرعية لتضمينها) $2^{\mathbb {R} }$ ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$
مجموعة كل الوظائف من إلى $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
جبر سيبيج سيجما لـ ، أي مجموعة كل مجموعات سيبيج القابلة للقياس في . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
مجموعة كل الدوال القابلة للتكامل مع ليبيج من إلى $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
مجموعة كل الدوال القابلة للقياس وفقًا لـ Lebesgue من إلى $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
ضغطات ستون -تشيك لـ ، ، و $\mathbb {N}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
مجموعة كل التماثلات التلقائية للمجال (المنفصل) للأعداد المركبة.

كل هذه لها عدد ( بيث تو ) $2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}$

انظر أيضا

السمات الأساسية للاستمرارية

مراجع

^ "عدد غير محدود | الرياضيات". موسوعة بريتانيكا . تم استرجاعه في 12 أغسطس 2020 .
^ ab Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-08-12 .
^ "نظرية كانتور". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
^ abc Stillwell, John (2002). "مشكلة الاستمرارية". American Mathematical Monthly . 109 (3): 286–297. doi :10.1080/00029890.2002.11919865. JSTOR 2695360. MR 1903582.
^ abcd Johnson, DL (1998). "الأعداد الأساسية". الفصل 6: الأعداد الأساسية . عناصر المنطق عبر الأعداد والمجموعات. سلسلة الرياضيات الجامعية لسبرينغر. سبرينغر لندن. ص. 113-130. doi :10.1007/978-1-4471-0603-6_6. ISBN 9781447106036.
^ جودل، كورت (1940-12-31). اتساق فرضية الاستمرارية. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635.
^ Cohen, Paul J. (ديسمبر 1963). "استقلال فرضية الاستمرارية". وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 50 (6): 1143-1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557 .
^ Cohen, Paul J. (January 1964). "The Independence of the Continuum Hypothesis, Ii". Proceedings of the National Academy of Sciences . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073 /pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424. PMC 300611. PMID 16591132.
^ هل تفاجأ كانتور؟، فرناندو كيو. جوفيا ، المجلة الرياضية الأمريكية ، مارس 2011.

فهرس

بول هالموس ، نظرية المجموعات الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة D. Van Nostrand، 1960. أعيد طبعه بواسطة Springer-Verlag، New York، 1974. ISBN 0-387-90092-6 (طبعة Springer-Verlag).
جيش، توماس ، 2003. نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2 .
كونين، كينيث ، 1980. نظرية المجموعات: مقدمة لإثباتات الاستقلال . إلسفير. ISBN 0-444-86839-9 .

تتضمن هذه المقالة مواد من cardinality of the continuum على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة/المرخصة بالمثل .

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] "عدد غير محدود | الرياضيات". موسوعة بريتانيكا . تم استرجاعه في 12 أغسطس 2020 .

[:0-2] Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2020-08-12 .

[3] "نظرية كانتور". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].

[stillwell-4] Stillwell, John (2002). "مشكلة الاستمرارية". American Mathematical Monthly . 109 (3): 286–297. doi :10.1080/00029890.2002.11919865. JSTOR 2695360. MR 1903582.

[johnson-5] Johnson, DL (1998). "الأعداد الأساسية". الفصل 6: الأعداد الأساسية . عناصر المنطق عبر الأعداد والمجموعات. سلسلة الرياضيات الجامعية لسبرينغر. سبرينغر لندن. ص. 113-130. doi :10.1007/978-1-4471-0603-6_6. ISBN 9781447106036.

[6] جودل، كورت (1940-12-31). اتساق فرضية الاستمرارية. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635.

[7] Cohen, Paul J. (ديسمبر 1963). "استقلال فرضية الاستمرارية". وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 50 (6): 1143-1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557 .

[8] Cohen, Paul J. (January 1964). "The Independence of the Continuum Hypothesis, Ii". Proceedings of the National Academy of Sciences . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073 /pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424. PMC 300611. PMID 16591132.

[Gouvea-9] هل تفاجأ كانتور؟، فرناندو كيو. جوفيا ، المجلة الرياضية الأمريكية ، مارس 2011.

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗