تحسين المتجهات

يُعدّ تحسين المتجهات فرعًا من فروع التحسين الرياضي، حيث تُحسَّن مسائل التحسين ذات دوال الهدف المتجهة وفقًا لترتيب جزئي مُعطى ، مع مراعاة قيود مُحددة. وتُعتبر مسألة التحسين متعددة الأهداف حالة خاصة من مسألة تحسين المتجهات: إذ يكون فضاء الهدف هو الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد المحدودة، والمرتب جزئيًا وفقًا لترتيب "أقل من أو يساوي" لكل عنصر.

من الناحية الرياضية، يمكن كتابة مسألة تحسين المتجهات على النحو التالي:

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

أين${\displaystyle f:X\to Z}$بالنسبة لفضاء متجهي مرتب جزئياً${\displaystyle Z}$يتم إحداث الترتيب الجزئي بواسطة مخروط${\displaystyle C\subseteq Z}$.${\displaystyle X}$هي مجموعة عشوائية و${\displaystyle S\subseteq X}$تُسمى المجموعة الممكنة.

توجد مفاهيم مختلفة للحد الأدنى، من بينها:

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$تكون نقطة فعالة بشكل ضعيف (نقطة دنيا ضعيفة) إذا كان لكل${\displaystyle x\in S}$يمتلك المرء${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$تعتبر نقطة فعالة (نقطة تصغير) إذا كان لكل${\displaystyle x\in S}$يمتلك المرء${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$.
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$تُعتبر نقطة فعالة بشكل صحيح (نقطة تصغير مناسبة) إذا${\displaystyle {\bar {x}}}$هي نقطة فعالة بشكل ضعيف بالنسبة لمخروط محدب مغلق مدبب${\displaystyle {\tilde {C}}}$أين${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$.

كل مُصغِّر صحيح هو مُصغِّر. وكل مُصغِّر هو مُصغِّر ضعيف. ^{[ 1 ]}

لا تقتصر مفاهيم الحلول الحديثة على مفاهيم الحد الأدنى فحسب، بل تأخذ في الاعتبار أيضًا تحقيق الحد الأدنى . ^{[ 2 ]}

• خوارزمية بنسون لمسائل تحسين المتجهات الخطية . ^{[ 2 ]}

يمكن كتابة أي مسألة تحسين متعددة الأهداف على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

أين${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$و${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$هو الجزء غير السالب من${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$وبالتالي فإن نقاط باريتو الفعالة هي التي تقلل من قيمة مشكلة تحسين المتجهات هذه .