مجموعة مرتبة جزئياً

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، وخاصةً في نظرية الترتيب ، يُعرف الترتيب الجزئي لمجموعة ما بأنه ترتيبٌ بحيث يسبق أحد العنصرين الآخر في بعض أزواج العناصر. ويُستخدم مصطلح "جزئي" للدلالة على أنه ليس بالضرورة أن يكون كل زوج من العناصر قابلاً للمقارنة؛ أي أنه قد توجد أزواج لا يسبق فيها أي عنصر الآخر. وبذلك، تُعمم الترتيبات الجزئية الترتيبات الكلية ، التي يكون فيها كل زوج قابلاً للمقارنة.

بصورة رسمية، الترتيب الجزئي هو علاقة ثنائية متجانسة انعكاسية ، ومتناظرة عكسيًا ، ومتعدية . المجموعة المرتبة جزئيًا (أو مجموعة مرتبة اختصارًا) هي زوج مرتب${\displaystyle P=(X,\leq )}$يتكون من مجموعة${\displaystyle X}$(تسمى مجموعة الأرض )${\displaystyle P}$) وترتيب جزئي${\displaystyle \leq }$على${\displaystyle X}$عندما يكون المعنى واضحًا من السياق ولا يوجد غموض بشأن الترتيب الجزئي، فإن المجموعة${\displaystyle X}$يُطلق عليها أحيانًا اسم مجموعة مرتبة.

يشير مصطلح الترتيب الجزئي عادةً إلى علاقات الترتيب الجزئي الانعكاسية، والتي يُشار إليها في هذه المقالة بالترتيب الجزئي غير الصارم . مع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين هذا المصطلح للإشارة إلى النوع الشائع الآخر من علاقات الترتيب الجزئي، وهو علاقات الترتيب الجزئي غير الانعكاسية، والتي تُسمى أيضًا بالترتيب الجزئي الصارم. يمكن وضع الترتيب الجزئي الصارم وغير الصارم في تناظر أحادي ، بحيث يكون لكل ترتيب جزئي صارم ترتيب جزئي غير صارم مُقابل فريد، والعكس صحيح.

تناظر علاقات الترتيب الجزئي الصارمة وغير الصارمة

الأوامر الجزئية الصارمة وغير الصارمة على مجموعة${\displaystyle P}$ترتبط ارتباطًا وثيقًا. ترتيب جزئي غير صارم${\displaystyle \leq }$يمكن تحويلها إلى ترتيب جزئي صارم عن طريق إزالة جميع العلاقات من الشكل${\displaystyle a\leq a;}$أي أن الترتيب الجزئي الصارم هو المجموعة${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}}$أين${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$هل علاقة الهوية على${\displaystyle P\times P}$و${\displaystyle \;\setminus \;}$يرمز إلى طرح المجموعات . وعلى العكس من ذلك، فإن الترتيب الجزئي الصارم < على${\displaystyle P}$يمكن تحويلها إلى ترتيب جزئي غير صارم عن طريق ضم جميع العلاقات من ذلك الشكل؛ أي،${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$هو ترتيب جزئي غير صارم. وبالتالي، إذا${\displaystyle \leq }$إذا كان ترتيبًا جزئيًا غير صارم، فإن الترتيب الجزئي الصارم المقابل < هو النواة غير الانعكاسية المعطاة بواسطة $${\displaystyle a<b{\text{ if }}a\leq b{\text{ and }}a\neq b.}$$ وعلى العكس من ذلك، إذا كان < ترتيبًا جزئيًا صارمًا، فإن الترتيب الجزئي غير الصارم المقابل له${\displaystyle \leq }$هل الإغلاق الانعكاسي هو ما يلي: $${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}a<b{\text{ or }}a=b.}$$

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle P}$وعلاقة ترتيب جزئي، وعادةً ما تكون علاقة ترتيب جزئي غير صارم${\displaystyle \leq }$، يمكننا بشكل فريد توسيع ترميزنا لتعريف أربع علاقات ترتيب جزئي${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle <,}$${\displaystyle \geq ,}$و${\displaystyle >}$، أين${\displaystyle \leq }$هي علاقة ترتيب جزئي غير صارمة على${\displaystyle P}$،${\displaystyle <}$هي علاقة الترتيب الجزئي الصارم المرتبطة على${\displaystyle P}$( النواة غير الانعكاسية لـ${\displaystyle \leq }$)${\displaystyle \geq }$هو ثنائي${\displaystyle \leq }$، و${\displaystyle >}$هو ثنائي${\displaystyle <}$بالمعنى الدقيق، يشير مصطلح المجموعة المرتبة جزئياً إلى مجموعة تحتوي على جميع هذه العلاقات مُعرَّفة بشكل مناسب. ولكن عملياً، يكفي النظر في علاقة واحدة فقط.${\displaystyle (P,\leq )}$أو${\displaystyle (P,<)}$أو، في حالات نادرة، العلاقات غير الصارمة والصريحة معًا،${\displaystyle (P,\leq ,<)}$[ ^{5 ]​}

يُستخدم مصطلح " المجموعة المرتبة" أحيانًا كاختصار للمجموعة المرتبة جزئيًا ، شريطة أن يكون واضحًا من السياق أنه لا يُقصد أي نوع آخر من الترتيب. وعلى وجه الخصوص، يمكن الإشارة إلى المجموعات المرتبة كليًا باسم "المجموعات المرتبة"، لا سيما في المجالات التي تكون فيها هذه البنى أكثر شيوعًا من المجموعات المرتبة جزئيًا. ويستخدم بعض المؤلفين رموزًا مختلفة عن تلك المستخدمة في مصطلح "المجموعة المرتبة".${\displaystyle \leq }$مثل${\displaystyle \sqsubseteq }$^{[ 6 ]} أو${\displaystyle \preceq }$^{[ 7 ]} للتمييز بين الطلبات الجزئية والطلبات الكاملة.

عند الإشارة إلى الطلبات الجزئية،${\displaystyle \leq }$لا ينبغي اعتبارها مكملة لـ${\displaystyle >}$العلاقة${\displaystyle >}$هو عكس النواة غير الانعكاسية لـ${\displaystyle \leq }$، وهو دائمًا مجموعة جزئية من متممة${\displaystyle \leq }$، لكن${\displaystyle >}$يساوي مكمل${\displaystyle \leq }$إذا، وفقط إذا ،${\displaystyle \leq }$هو أمر كامل. ^{[ أ ]}

ثمة طريقة أخرى لتعريف الترتيب الجزئي، موجودة في علوم الحاسوب ، وهي من خلال مفهوم المقارنة . تحديدًا، بالنظر إلى${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ and }}>}$كما سبق تعريفه، يمكن ملاحظة أن عنصرين x و y قد يكونان في أي من العلاقات الأربع المتنافية مع بعضهما البعض: إما x < y ، أو x = y ، أو x > y ، أو x و y غير قابلين للمقارنة . ويمكن تمثيل ذلك بدالة.${\displaystyle {\text{compare}}:P\times P\to \{<,>,=,\vert \}}$تُعيد هذه الدالة أحد أربعة رموز عند إدخال عنصرين. ^{[ 8 ] [ 9 ]} هذا التعريف مُكافئ لترتيب جزئي على مجموعة جزئية ، حيث تُعتبر المساواة علاقة تكافؤ مُحددة وليست مساواة بين مجموعتين. ^{[ 10 ]}

يُعرّف واليس مفهوماً أكثر عمومية لعلاقة الترتيب الجزئي بأنها أي علاقة متجانسة متعدية وغير متناظرة . ويشمل ذلك كلاً من الترتيب الجزئي الانعكاسي وغير الانعكاسي كأنواع فرعية. ^{[ 1 ]}

يمكن تصور مجموعة جزئية مرتبة منتهية من خلال مخطط هاس الخاص بها . ^{[ 11 ]} على وجه التحديد، بأخذ علاقة ترتيب جزئي صارمة${\displaystyle (P,<)}$يمكن إنشاء رسم بياني موجه غير دوري (DAG) عن طريق أخذ كل عنصر من${\displaystyle P}$أن تكون عقدة وكل عنصر من${\displaystyle <}$ليكون حافة. ​​الاختزال المتعدي لهذا الرسم البياني الموجه غير الدوري ^{[ ب ]} هو مخطط هاس. وبالمثل، يمكن عكس هذه العملية لإنشاء ترتيبات جزئية صارمة من بعض الرسوم البيانية الموجهة غير الدورية. في المقابل، يحتوي الرسم البياني المرتبط بترتيب جزئي غير صارم على حلقات ذاتية عند كل عقدة، وبالتالي فهو ليس رسمًا بيانيًا موجهًا غير دوري؛ عندما يُقال إن ترتيبًا غير صارم مُصوَّر بواسطة مخطط هاس، فإنه في الواقع يُظهر الترتيب الصارم المقابل.

تتضمن الأمثلة القياسية للمجموعات الجزئية المرتبة التي تظهر في الرياضيات ما يلي:

• الأعداد الحقيقية ، أو بشكل عام أي مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا، مرتبة وفقًا لعلاقة أصغر من أو يساوي ≤، هي ترتيب جزئي.
• حول الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$العلاقة المعتادة " أصغر من " < هي ترتيب جزئي صارم. وينطبق الشيء نفسه على العلاقة المعتادة " أكبر من " >.${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• بحسب التعريف، كل ترتيب ضعيف صارم هو ترتيب جزئي صارم.
• مجموعة المجموعات الجزئية لمجموعة معينة ( مجموعة القوى الخاصة بها ) مرتبة حسب الاحتواء (انظر الشكل  1). وبالمثل، مجموعة المتتاليات مرتبة حسب المتتالية الجزئية ، ومجموعة السلاسل مرتبة حسب السلسلة الجزئية .
• مجموعة الأعداد الطبيعية المزودة بعلاقة قابلية القسمة . (انظر الشكل  3 والشكل  6)
• مجموعة رؤوس الرسم البياني الموجه غير الدوري مرتبة حسب إمكانية الوصول .
• مجموعة الفضاءات الجزئية لفضاء متجه مرتبة حسب الاحتواء.
• بالنسبة لمجموعة مرتبة جزئياً P ، فإن فضاء التسلسلات الذي يحتوي على جميع تسلسلات العناصر من P ، حيث يسبق التسلسل a التسلسل b إذا كان كل عنصر في a يسبق العنصر المقابل له في b . بصورة رسمية،${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$أي ترتيب حسب المكونات .
• بالنسبة لمجموعة X ومجموعة مرتبة جزئيًا P ، فإن فضاء الدوال الذي يحتوي على جميع الدوال من X إلى P ، حيث f ≤ g إذا وفقط إذا كان f ( x ) ≤ g ( x ) لجميع${\displaystyle x\in X.}$
• السياج ، مجموعة مرتبة جزئيًا تُعرَّف بتسلسل متناوب من علاقات الترتيب أ < ب > ج < د ...
• مجموعة الأحداث في النسبية الخاصة ، وفي معظم الحالات ^في النسبية العامة ^{، حيث} يكون X ≤ Y لحدثين X و Y إذا وفقط إذا كان Y يقع في مخروط الضوء المستقبلي لـ X. ويمكن أن يتأثر الحدث Y بشكل سببي بالحدث X فقط إذا كان X ≤ Y.

من الأمثلة الشائعة على المجموعات المرتبة جزئياً مجموعة من الأشخاص مرتبة حسب النسب . بعض الأزواج من الأشخاص تربطهم علاقة الجدّ والذرية، بينما أزواج أخرى لا يمكن مقارنتها، فلا أحد منهم من نسل الآخر.

الطلبات على حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المطلوبة جزئيًا

الشكل 4أ: الترتيب المعجمي${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

الشكل 4ب: ترتيب المنتج${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

الشكل 4ج: الإغلاق الانعكاسي لترتيب المنتج المباشر الصارم على${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} .}$يتم تمييز العناصر التي تغطيها (3، 3) والعناصر التي تغطي (3، 3) باللون الأخضر والأحمر على التوالي.

بترتيب تزايد القوة، أي تناقص مجموعات الأزواج، فإن ثلاثة من الترتيبات الجزئية الممكنة على حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين مرتبتين جزئياً هي (انظر الشكل  4):

• الترتيب المعجمي : ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا كان أ < ج أو ( أ = ج و ب ≤ د )؛ 
• ترتيب المنتج : (  أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا كان أ ≤ ج و ب ≤ د ؛
• الإغلاق الانعكاسي للضرب المباشر للترتيبات الصارمة المقابلة: ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا ( أ < ج و ب < د ) أو ( أ = ج و ب = د ). 

يمكن تعريف الثلاثة جميعها بشكل مماثل بالنسبة للضرب الديكارتي لأكثر من مجموعتين.

عند تطبيقها على فضاءات المتجهات المرتبة على نفس الحقل ، تكون النتيجة في كل حالة أيضًا فضاء متجهات مرتب.

انظر أيضًا إلى الطلبات على حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المرتبة بالكامل .

تستخدم الأمثلة مجموعة جزئية مرتبة${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )}$تتكون من مجموعة جميع المجموعات الجزئية لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر${\displaystyle \{x,y,z\},}$مرتبة حسب تضمين المجموعة (انظر الشكل  1).

• تكون العلاقة بين a و b عندما تكون a ≤ b . هذا لا يعني بالضرورة أن b مرتبطة بـ a أيضًا ، لأن العلاقة لا يشترط أن تكون متناظرة . على سبيل المثال،${\displaystyle \{x\}}$يرتبط بـ${\displaystyle \{x,y\},}$ولكن ليس العكس.
• تكون المتغيران a و b قابلين للمقارنة إذا كان a ≤ b أو b ≤ a . وإلا فهما غير قابلين للمقارنة . على سبيل المثال،${\displaystyle \{x\}}$و${\displaystyle \{x,y,z\}}$وهي قابلة للمقارنة، بينما${\displaystyle \{x\}}$و${\displaystyle \{y\}}$ليست كذلك.
• الترتيب الكلي أو الترتيب الخطي هو ترتيب جزئي يكون فيه كل زوج من العناصر قابلاً للمقارنة، أي أنه ينطبق عليه مبدأ التقسيم الثلاثي . على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية بترتيبها القياسي.
• السلسلة هي مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا. على سبيل المثال ،${\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}}$هي سلسلة.
• السلسلة المضادة هي مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا لا يمكن فيها مقارنة أي عنصرين مختلفين. على سبيل المثال، مجموعة العناصر الفردية${\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}$
• يُقال إن العنصر a أصغر تمامًا من العنصر b إذا كان a ≤ b و${\displaystyle a\neq b.}$على سبيل المثال،${\displaystyle \{x\}}$أقل من ذلك بكثير${\displaystyle \{x,y\}.}$
• يُقال إن العنصر a مغطى بعنصر آخر b ، ويُكتب a ⋖ b (أو a < b )، إذا كان a أصغر تمامًا من b ولا يوجد عنصر ثالث c يقع بينهما؛ رسميًا: إذا كان كل من a ≤ b و${\displaystyle a\neq b}$تكون صحيحة، ويكون a ≤ c ≤ b خاطئًا لكل c مع${\displaystyle a\neq c\neq b.}$باستخدام الترتيب الصارم <، يمكن إعادة صياغة العلاقة a ⋖ b بشكل مكافئ على النحو التالي: " a < b ولكن ليس a < c < b لأي قيمة لـ c ". على سبيل المثال،${\displaystyle \{x\}}$مشمول بـ${\displaystyle \{x,z\},}$لكنها غير مشمولة بـ${\displaystyle \{x,y,z\}.}$

أقصى

توجد عدة مفاهيم للعنصر "الأكبر" و"الأصغر" في المجموعة المرتبة جزئياً${\displaystyle P,}$على وجه الخصوص:

• أكبر عنصر وأصغر عنصر: عنصر${\displaystyle g\in P}$يُعدّ هذا العنصر الأهم إذا${\displaystyle a\leq g}$لكل عنصر${\displaystyle a\in P.}$عنصر${\displaystyle m\in P}$هو أصغر عنصر إذا${\displaystyle m\leq a}$لكل عنصر${\displaystyle a\in P.}$لا يمكن أن تحتوي المجموعة المرتبة جزئيًا إلا على عنصر واحد أكبر أو أصغر. في مثالنا الحالي، المجموعة${\displaystyle \{x,y,z\}}$هو العنصر الأعظم، و${\displaystyle \{\,\}}$هو الأقل.
• العناصر القصوى والعناصر الدنيا: عنصر${\displaystyle g\in P}$يكون العنصر أقصى إذا لم يكن هناك عنصر${\displaystyle a\in P}$بحيث${\displaystyle a>g.}$وبالمثل، عنصر${\displaystyle m\in P}$يكون العنصر الأدنى إذا لم يكن هناك عنصر${\displaystyle a\in P}$بحيث${\displaystyle a<m.}$إذا احتوت مجموعة جزئية مرتبة على عنصر أعظم، فلا بد أن يكون هذا العنصر هو العنصر الأعظم الوحيد، وإلا فقد يكون هناك أكثر من عنصر أعظم، وينطبق الأمر نفسه على العناصر الأصغر والعناصر الدنيا. في مثالنا الجاري،${\displaystyle \{x,y,z\}}$و${\displaystyle \{\,\}}$هما العنصران الأقصى والأدنى. وبإزالة هذين العنصرين، يتبقى 3 عناصر قصوى و3 عناصر دنيا (انظر الشكل  5).
• الحدود العليا والسفلى : بالنسبة لمجموعة جزئية A من P ، يكون العنصر x في P حدًا أعلى لـ A إذا كان a  ≤ x ، وذلك لكل عنصر a في A. وبالتحديد، ليس بالضرورة أن يكون x في A ليكون حدًا أعلى لـ A. وبالمثل، يكون العنصر x في P حدًا أدنى لـ A إذا كان a ≥ x ، وذلك لكل عنصر a في A. أكبر عنصر في P هو حد أعلى لـ P نفسها، وأصغر عنصر هو حد أدنى لـ P. في مثالنا، المجموعة   ${\displaystyle \{x,y\}}$يمثل حدًا أعلى لمجموعة العناصر${\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}$

كمثال آخر، لننظر إلى الأعداد الصحيحة الموجبة، مرتبة حسب قابلية القسمة: 1 هو أصغر عنصر، لأنه يقسم جميع العناصر الأخرى؛ من ناحية أخرى، لا تحتوي هذه المجموعة المرتبة جزئيًا على أكبر عنصر. هذه المجموعة المرتبة جزئيًا لا تحتوي حتى على أي عناصر عظمى، لأن أي عدد g يقسم، على سبيل المثال، 2g ، وهو عدد مختلف عنه، لذا فإن g ليس عنصرًا عظمى. إذا استُبعد العدد 1، مع الإبقاء على قابلية القسمة كترتيب للعناصر الأكبر من 1، فإن المجموعة المرتبة جزئيًا الناتجة لا تحتوي على أصغر عنصر، ولكن أي عدد أولي هو عنصر أدنى لها. في هذه المجموعة المرتبة جزئيًا، 60 هو حد أعلى (وإن لم يكن حدًا أعلى أصغر) للمجموعة الجزئية${\displaystyle \{2,3,5,10\},}$والتي ليس لها حد أدنى (لأن 1 ليس ضمن المجموعة المرتبة جزئيًا)؛ من ناحية أخرى، 2 هو حد أدنى لمجموعة جزئية من قوى 2، والتي ليس لها حد أعلى. إذا تم تضمين العدد 0، فسيكون هذا هو العنصر الأكبر، لأنه مضاعف لكل عدد صحيح (انظر الشكل  6).

الشكل 7أ: خريطة تحافظ على الترتيب، ولكنها لا تعكسه (لأن f ( u ) ≼ f ( v )) ، ولكن ليس u${\displaystyle \leq }$خامساً)

الشكل 7ب: تماثل الترتيب بين قواسم العدد 120 (مرتبة جزئياً حسب قابلية القسمة) والمجموعات الفرعية المغلقة بالقواسم {2، 3، 4، 5، 8} (مرتبة جزئياً حسب احتواء المجموعة).

بفرض وجود مجموعتين مرتبتين جزئيًا ( S ، ≤) و ( T ، ≼) ، دالة${\displaystyle f:S\to T}$يُطلق عليه اسم حافظ الترتيب ، أو رتيب ، أو متساوي النغمة ، إذا كان لكل${\displaystyle x,y\in S,}$${\displaystyle x\leq y}$يستلزم ذلك أن f ( x ) ≼ f ( y ) . إذا كانت ( U , ≲) أيضًا مجموعة مرتبة جزئيًا، وكلاهما${\displaystyle f:S\to T}$و${\displaystyle g:T\to U}$تحافظ على الترتيب، تركيبها${\displaystyle g\circ f:S\to U}$كما أنها تحافظ على الترتيب. دالة${\displaystyle f:S\to T}$يُطلق عليه اسم "انعكاس الترتيب" إذا كان لكل${\displaystyle x,y\in S,}$f ( x ) ≼ f ( y ) يستلزم${\displaystyle x\leq y.}$ إذا كانت الدالة f تحافظ على الترتيب وتعكسه في آنٍ واحد، فإنها تُسمى تضمينًا مرتبًا للمجموعة ( S , ≤) في المجموعة ( T , ≼) . في الحالة الأخيرة، تكون f بالضرورة أحادية ، لأن${\displaystyle f(x)=f(y)}$يشير إلى${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$وبدوره${\displaystyle x=y}$وفقًا لخاصية التناظر العكسي لـ${\displaystyle \leq .}$إذا وُجد تمثيل ترتيبي بين مجموعتين جزئيتين S و T ، يُقال إنه يمكن تضمين S في T.${\displaystyle f:S\to T}$إذا كانت الدالة تقابلية ، تُسمى تماثلًا ترتيبيًا ، ويُقال إن الترتيبين الجزئيين ( S , ≤) و ( T , ≼) متماثلان . تتشابه مخططات هاس للترتيبات المتماثلة بنيويًا (انظر الشكل  7أ). ويمكن إثبات أنه إذا كانت الدوال الحافظة للترتيب${\displaystyle f:S\to T}$و${\displaystyle g:T\to U}$يوجد بحيث${\displaystyle g\circ f}$و${\displaystyle f\circ g}$ينتج عنه دالة التطابق على S و T على التوالي، ثم يكون S و T متماثلين ترتيبيًا. ^{[ 15 ]}

على سبيل المثال، عملية رسم الخرائط${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$يمكن تعريف مجموعة الأعداد الطبيعية (المرتبة حسب قابلية القسمة) إلى مجموعة قوى الأعداد الطبيعية (المرتبة حسب احتواء المجموعة) بأخذ كل عدد إلى مجموعة قواسمه الأولية . وهي تحافظ على الترتيب: إذا كان x يقسم y ، فإن كل قاسم أولي لـ x هو أيضًا قاسم أولي لـ y . ومع ذلك، فهي ليست أحادية (لأنها تُسقط كلاً من 12 و6 على y).${\displaystyle \{2,3\}}$ولا تعكس الترتيب (لأن 12 لا يقسم 6). بدلاً من ذلك، فإن أخذ كل عدد إلى مجموعة قواسمه الأولية يُعرّف خريطة${\displaystyle g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$أي أنه يحافظ على الترتيب، ويعكسه، وبالتالي فهو تضمين للترتيب. وهو ليس تماثلاً ترتيبياً (لأنه، على سبيل المثال، لا يُسقط أي عدد على المجموعة).${\displaystyle \{4\}}$)، ولكن يمكن جعله كذلك عن طريق تقييد نطاقه المشترك إلى${\displaystyle g(\mathbb {N} ).}$يوضح الشكل  7ب مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {N} }$وصورتها المتماثلة تحت g . يمكن تعميم بناء مثل هذا التماثل الترتيبي في مجموعة قوى إلى فئة واسعة من الترتيبات الجزئية، تسمى الشبكات التوزيعية ؛ انظر نظرية تمثيل بيركوف .

يُعطي التسلسل A001035 في OEIS عدد الترتيبات الجزئية على مجموعة من n عنصرًا مُصنفًا:

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

عدد الأوامر الجزئية الصارمة هو نفسه عدد الأوامر الجزئية.

إذا تم إجراء العد حتى التماثل فقط، فسيتم الحصول على التسلسل 1، 1، 2، 5، 16، 63، 318، ... (التسلسل A000112 في OEIS ) .

وضعية${\displaystyle P^{*}=(X^{*},\leq ^{*})}$يُطلق عليه اسم مجموعة جزئية مرتبة من مجموعة مرتبة أخرى${\displaystyle P=(X,\leq )}$بشرط أن${\displaystyle X^{*}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$و${\displaystyle \leq ^{*}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \leq }$الشرط الأخير يعادل الشرط الذي ينص على أنه لأي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle X^{*}}$(وبالتالي أيضًا في${\displaystyle X}$)، لو${\displaystyle x\leq ^{*}y}$ثم${\displaystyle x\leq y}$.

لو${\displaystyle P^{*}}$هي مجموعة جزئية من${\displaystyle P}$وعلاوة على ذلك، للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle X^{*}}$، حينما${\displaystyle x\leq y}$لدينا أيضًا${\displaystyle x\leq ^{*}y}$ثم نتصل${\displaystyle P^{*}}$مجموعة جزئية من${\displaystyle P}$ناتج عن${\displaystyle X^{*}}$واكتب${\displaystyle P^{*}=P[X^{*}]}$.

طلب جزئي${\displaystyle \leq ^{*}}$على مجموعة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم امتداد لترتيب جزئي آخر${\displaystyle \leq }$على${\displaystyle X}$بشرط أن يكون ذلك لجميع العناصر${\displaystyle x,y\in X,}$حينما${\displaystyle x\leq y,}$وينطبق الأمر نفسه على${\displaystyle x\leq ^{*}y.}$الامتداد الخطي هو امتداد يكون أيضًا ترتيبًا خطيًا (أي كليًا). كمثال كلاسيكي، يُعد الترتيب المعجمي للمجموعات المرتبة كليًا امتدادًا خطيًا لترتيبها الناتج عن الضرب. يمكن تمديد أي ترتيب جزئي إلى ترتيب كلي ( مبدأ تمديد الترتيب ). ^{[ 16 ]}

في علوم الحاسوب ، تسمى الخوارزميات المستخدمة لإيجاد الامتدادات الخطية للترتيبات الجزئية (الممثلة بترتيبات الوصول للرسوم البيانية الموجهة غير الدورية ) بالفرز الطوبولوجي .

يمكن اعتبار كل مجموعة مرتبة جزئياً (وكل مجموعة مرتبة مسبقاً ) بمثابة فئة حيث، بالنسبة للأشياء${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$يوجد على الأكثر تشاكل واحد من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y.}$بصورة أكثر وضوحًا، ليكن hom( x , y ) = {( x , y )} إذا كان x ≤ y (وإلا فالمجموعة فارغة ) و${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z).}$تُسمى هذه الفئات أحيانًا بالفئات الرقيقة .

تكون المجموعات المرتبة جزئيًا متكافئة إذا وفقط إذا كانت متماثلة . في المجموعة المرتبة جزئيًا، يكون أصغر عنصر، إن وُجد، عنصرًا ابتدائيًا ، وأكبر عنصر، إن وُجد، عنصرًا نهائيًا . كذلك، كل مجموعة مرتبة جزئيًا متكافئة مع مجموعة مرتبة جزئيًا. وأخيرًا، كل فئة فرعية من مجموعة مرتبة جزئيًا تكون مغلقة بالتماثل .

لو${\displaystyle P}$إذا كانت مجموعة مرتبة جزئيًا وقد أُعطيت أيضًا بنية فضاء طوبولوجي ، فمن المعتاد افتراض أن${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$هي مجموعة فرعية مغلقة من فضاء المنتج الطوبولوجي${\displaystyle P\times P.}$في ظل هذا الافتراض، تكون علاقات الترتيب الجزئي جيدة السلوك عند الحدود بمعنى أنه إذا${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a,}$و${\displaystyle \lim _{i\to \infty }b_{i}=b,}$وللجميع${\displaystyle i,}$${\displaystyle a_{i}\leq b_{i},}$ثم${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 17 ]}

المجموعة المحدبة في مجموعة جزئية مرتبة P هي مجموعة جزئية I من P تتميز بالخاصية التالية: لأي x و y في I وأي z في P ، إذا كان x ≤ z ≤ y ، فإن z ينتمي أيضًا إلى I. يُعمم هذا التعريف تعريف فترات الأعداد الحقيقية . عند احتمال حدوث لبس مع المجموعات المحدبة في الهندسة ، يُستخدم مصطلح "محدبة رتبة " بدلًا من "محدبة".

الشبكة الفرعية المحدبة للشبكة L هي شبكة فرعية من L وهي أيضًا مجموعة محدبة من L. يمكن تمثيل كل شبكة فرعية محدبة غير فارغة بشكل فريد كتقاطع مرشح ومثالي من L.

الفترة في مجموعة جزئية مرتبة جزئياً P هي مجموعة جزئية يمكن تعريفها باستخدام رمز الفترة:

• بالنسبة لـ a ≤ b ، فإن الفترة المغلقة [ a , b ] هي مجموعة العناصر x التي تحقق a ≤ x ≤ b (أي a ≤ x و x ≤ b ). وهي تحتوي على الأقل على العنصرين a و b .
• باستخدام العلاقة الصارمة المناظرة "<"، فإن الفترة المفتوحة ( a , b ) هي مجموعة العناصر x التي تحقق الشرط a < x < b (أي a < x و x < b ). قد تكون الفترة المفتوحة فارغة حتى لو كان a < b . على سبيل المثال، الفترة المفتوحة (0, 1) على مجموعة الأعداد الصحيحة فارغة لأنه لا يوجد عدد صحيح x يحقق الشرط 0 < x < 1 .
• يتم تعريف الفترات نصف المفتوحة [ a , b ) و ( a , b ) بشكل مماثل.

عندما لا يتحقق الشرط a ≤ b ، تكون جميع هذه الفترات فارغة. كل فترة هي مجموعة محدبة، لكن العكس غير صحيح؛ على سبيل المثال، في المجموعة المرتبة جزئيًا لقواسم العدد 120، مرتبة حسب قابلية القسمة (انظر الشكل  7ب)، تكون المجموعة {1، 2، 4، 5، 8} محدبة، ولكنها ليست فترة.

تكون الفترة I محدودة إذا وُجدت عناصر${\displaystyle a,b\in P}$بحيث يكون I ⊆ [ a , b ] . كل فترة يمكن تمثيلها بصيغة الفترة تكون محدودة، ولكن العكس غير صحيح. على سبيل المثال، لنفترض أن P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. المجموعة الجزئية (1, 2) هي فترة محدودة، ولكن ليس لها حد أدنى أو حد أعلى في P ، لذا لا يمكن كتابتها بصيغة الفترة باستخدام عناصر P.  

تُسمى المجموعة المرتبة جزئيًا منتهية محليًا إذا كانت كل فترة محدودة فيها منتهية. على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة منتهية محليًا في ظل ترتيبها الطبيعي. الترتيب المعجمي على حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ليست مجموعة محدودة محليًا، لأن (1، 2) ≤ (1، 3) ≤ (1، 4) ≤ (1، 5) ≤ ... ≤ (2، 1) . باستخدام ترميز الفترة، يمكن إعادة صياغة الخاصية " a مغطاة بـ b " بشكل مكافئ على النحو التالي:${\displaystyle [a,b]=\{a,b\}.}$

لا ينبغي الخلط بين مفهوم الفاصل الزمني في الترتيب الجزئي وبين فئة الترتيبات الجزئية الخاصة المعروفة باسم ترتيبات الفترات .

الوسائط المتعلقة بمخططات هاس على ويكيميديا ​​كومنز ؛ كل منها يعرض مثالاً على الترتيب الجزئي