رأس (منحنى)

في هندسة المنحنيات المستوية ، تُعرَّف الرأس بأنها النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى للانحناء صفرًا. ^{[ 1 ]} وعادةً ما تكون هذه النقطة قيمة عظمى أو صغرى محلية للانحناء، ^{[ 2 ]} ويُعرّف بعض الباحثين الرأس بأنه قيمة قصوى محلية للانحناء. ^{[ 3 ]} ومع ذلك، قد تظهر حالات خاصة أخرى، على سبيل المثال عندما تكون المشتقة الثانية صفرًا أيضًا، أو عندما يكون الانحناء ثابتًا. أما بالنسبة للمنحنيات الفضائية ، فالرأس هو النقطة التي ينعدم عندها الالتواء .

للقطع الزائد رأسان، أحدهما على كل فرع؛ وهما أقرب نقطتين تقعان على فرعين متقابلين من القطع الزائد، ويقعان على المحور الرئيسي. أما القطع المكافئ، فله رأس وحيد يقع على محور التناظر، ويكون على شكل معادلة تربيعية من الشكل التالي:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$

يمكن إيجادها بإكمال المربع أو بالتفاضل . ^{[ 2 ]} في القطع الناقص ، يقع رأسان من رؤوسه الأربعة على المحور الأكبر ورأسان على المحور الأصغر. ^{[ 4 ]}

بالنسبة للدائرة ، التي لها انحناء ثابت، فإن كل نقطة هي رأس.

الرؤوس هي نقاط يكون للمنحنى عندها اتصال رباعي النقاط مع الدائرة المماسية . ^{[ 5 ] [ 6 ]} في المقابل، عادةً ما يكون للمنحنى نقاط اتصال ثلاثية النقاط فقط مع دائرته المماسية. عادةً ما يكون لمنحنى التطور رأس مدبب عندما يكون للمنحنى رأس؛ ^{[ 6 ]} قد تظهر حالات شاذة أخرى، أكثر انحطاطًا وعدم استقرار، عند رؤوس ذات رتبة أعلى، حيث يكون للدائرة المماسية اتصال من رتبة أعلى من الرابعة. ^{[ 5 ]} على الرغم من أن المنحنى العام الواحد لن يحتوي على أي رؤوس ذات رتبة أعلى، إلا أنها ستظهر عادةً ضمن عائلة منحنيات ذات مُعامل واحد، عند المنحنى في العائلة الذي يندمج فيه رأسان عاديان لتشكيل رأس ذي رتبة أعلى ثم يتلاشيان.

مجموعة التناظر لمنحنى لها نقاط نهاية عند الرؤوس المقابلة للرؤوس، والمحور المتوسط ، وهو مجموعة فرعية من مجموعة التناظر ، له أيضًا نقاط نهاية في الرؤوس.

وفقًا لنظرية الرؤوس الأربعة الكلاسيكية ، يجب أن يحتوي كل منحنى بسيط مغلق مستوٍ أملس على أربعة رؤوس على الأقل. ^{[ 7 ]} ومن الحقائق الأكثر عمومية أن كل منحنى بسيط مغلق في الفضاء يقع على حدود جسم محدب، أو حتى يحد قرصًا محدبًا محليًا، يجب أن يحتوي على أربعة رؤوس. ^{[ 8 ]} ويجب أن يحتوي كل منحنى ذو عرض ثابت على ستة رؤوس على الأقل. ^{[ 9 ]}

إذا كان المنحنى المستوي متناظرًا ثنائيًا ، فسيكون له رأس عند النقطة أو النقاط التي يتقاطع عندها محور التناظر مع المنحنى. وبالتالي، فإن مفهوم رأس المنحنى يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الرأس البصري ، أي النقطة التي يتقاطع عندها المحور البصري مع سطح العدسة .

• أغوستون، ماكس ك. (2005)، رسومات الحاسوب والنمذجة الهندسية: الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 9781852338176.
• كريزر، ماركوس؛ تيكسيرا، رالف. باليسترو، فيتور (2018)، “دوائر مغلقة في مستوى معياري”، Monatshefte für Mathematik ، 185 (1): 43–60 ، أرخايف : 1608.01651 ، دوى : 10.1007 / s00605-017-1030-5 ، السيد 3745700 ، S2CID 254062096  .
• فوكس، د.ب .؛ تاباشنيكوف، سيرج (2007)، موسوعة الرياضيات: ثلاثون محاضرة في الرياضيات الكلاسيكية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 9780821843161
• غومي، محمد (2015)، التواء الحدود والأغطية المحدبة للأسطح المحدبة محليًا ، arXiv : 1501.07626 ، Bibcode : 2015arXiv150107626G
• جيبسون، سي جي (2001)، الهندسة الأولية للمنحنيات القابلة للتفاضل: مقدمة لطلاب المرحلة الجامعية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 9780521011075.
• مارتينيز-مور، إيف (1996)، "ملاحظة حول نظرية كرة التنس"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 103 (4): 338-340 ، doi : 10.2307/2975192 ، JSTOR 2975192 ، MR 1383672  .
• سيديخ، ف.د. (1994)، "أربعة رؤوس لمنحنى فضائي محدب"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 26 (2): 177-180 ، doi : 10.1112/blms/26.2.177