منحنى ذو عرض ثابت

في الهندسة ، يُعرف المنحنى ذو العرض الثابت بأنه منحنى مغلق بسيط في المستوى ، يكون عرضه (المسافة بين الخطوط الداعمة المتوازية ) متساوياً في جميع الاتجاهات. يُطلق على الشكل المحصور بمنحنى ذي عرض ثابت اسم الجسم ذي العرض الثابت أو الشكل المداري ، وهو الاسم الذي أطلقه ليونارد أويلر على هذه الأشكال . ^{[ 1 ]} من الأمثلة الشائعة الدائرة ومثلث رولو . يمكن أيضاً إنشاء هذه المنحنيات باستخدام أقواس دائرية مركزها نقاط تقاطع مجموعة من الخطوط ، كما هو الحال في المنحنيات الملتفة لبعض المنحنيات، أو عن طريق تقاطع دوائر مركزها منحنى جزئي.

كل جسم ذي عرض ثابت هو مجموعة محدبة ، يتقاطع أي خط مع حدودها مرتين على الأكثر، وإذا تقاطع الخط عموديًا، فإنه يتقاطع عند نقطتي التقاطع، ويفصل بينهما عرض الجسم. وبحسب نظرية باربييه ، فإن محيط الجسم يساوي π مضروبًا في عرضه، لكن مساحته تعتمد على شكله، حيث يمتلك مثلث رولو أصغر مساحة ممكنة لعرضه، بينما تمتلك الدائرة أكبر مساحة. كل مجموعة شاملة لجسم ذي عرض ثابت تتضمن أزواجًا من النقاط التي تفصل بينها مسافة أكبر من عرضه، وكل منحنى ذي عرض ثابت يتضمن ست نقاط على الأقل ذات انحناء شديد. مع أن مثلث رولو ليس أملسًا، إلا أنه يمكن دائمًا تقريب المنحنيات ذات العرض الثابت بدقة عالية جدًا بواسطة منحنيات ملساء لها نفس العرض الثابت.

يمكن استخدام الأسطوانات ذات المقطع العرضي الثابت كبكرات لدعم سطح مستوٍ. ومن التطبيقات الأخرى للمنحنيات ذات العرض الثابت تصميم أشكال العملات المعدنية ، حيث تُعدّ مضلعات رولو المنتظمة خيارًا شائعًا. إن إمكانية وجود منحنيات ذات عرض ثابت في أشكال أخرى غير الدوائر تجعل التحقق من استدارة الجسم أكثر تعقيدًا .

تم تعميم المنحنيات ذات العرض الثابت بعدة طرق لتشمل أبعادًا أعلى وهندسة غير إقليدية .

يُعرَّف العرض، والعرض الثابت، بدلالة الخطوط الداعمة للمنحنيات؛ وهي الخطوط التي تلامس المنحنى دون أن تتقاطع معه. لكل منحنى مضغوط في المستوى خطان داعمان في أي اتجاه، ويقع المنحنى بينهما. المسافة الإقليدية بين هذين الخطين هي عرض المنحنى في ذلك الاتجاه، ويكون للمنحنى عرض ثابت إذا كانت هذه المسافة متساوية لجميع اتجاهات الخطوط. يمكن تعريف عرض مجموعة محدبة محدودة بنفس طريقة تعريف عرض المنحنيات، وذلك بالمسافة بين أزواج الخطوط المتوازية التي تلامس المجموعة دون أن تتقاطع معها، وتُعتبر المجموعة المحدبة جسمًا ذا عرض ثابت عندما تكون هذه المسافة غير صفرية ولا تعتمد على اتجاه الخطوط. لكل جسم ذي عرض ثابت منحنى ذو عرض ثابت كحدود له، ولكل منحنى ذي عرض ثابت جسم ذو عرض ثابت كغلاف محدب له . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

هناك طريقة أخرى مكافئة لتحديد عرض منحنى مضغوط أو مجموعة محدبة، وهي النظر إلى إسقاطه العمودي على خط مستقيم. في كلتا الحالتين، يكون الإسقاط عبارة عن قطعة مستقيمة ، طولها يساوي المسافة بين خطي الدعم العموديين على الخط المستقيم. لذا، يكون للمنحنى أو المجموعة المحدبة عرض ثابت عندما تكون جميع إسقاطاتها العمودية متساوية الطول. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تتميز الدوائر بعرض ثابت يساوي قطرها . أما المربعات، فلا تتميز بذلك: فالخطوط الداعمة الموازية لضلعين متقابلين من المربع تكون أقرب إلى بعضها من الخطوط الداعمة الموازية لقطره. وبشكل عام، لا يمكن لأي مضلع أن يكون له عرض ثابت. مع ذلك، توجد أشكال أخرى ذات عرض ثابت. ومن الأمثلة الشائعة مثلث رولو ، وهو تقاطع ثلاث دوائر، مركز كل منها نقطة تقاطع الدائرتين الأخريين. ^{[ 2 ]} يتكون منحنى حدوده من ثلاثة أقواس من هذه الدوائر، تلتقي بزوايا 120 درجة، لذا فهو ليس أملسًا ، وفي الواقع، تُعد هذه الزوايا هي الأشد حدةً لأي منحنى ذي عرض ثابت. ^{[ 3 ]}

قد تكون المنحنيات الأخرى ذات العرض الثابت ملساء ولكنها غير دائرية، بل ولا تحتوي حتى على أي أقواس دائرية في حدودها. على سبيل المثال، تشكل مجموعة أصفار متعددة الحدود أدناه منحنى جبريًا أملسًا غير دائري ذو عرض ثابت: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

درجتها ، وهي ثمانية، هي الحد الأدنى الممكن لدرجة متعددة الحدود التي تحدد منحنى غير دائري ذو عرض ثابت. ^{[ 5 ]}

كل مضلع منتظم ذي عدد فردي من الأضلاع يُنتج منحنىً ذا عرض ثابت، يُسمى مضلع رولو ، ويتكون من أقواس دائرية مركزها رؤوسه وتمر بالرأسين الأبعد عن المركز. على سبيل المثال، يُنتج هذا الشكل مثلث رولو من مثلث متساوي الأضلاع. كما تُنتج بعض المضلعات غير المنتظمة مضلعات رولو. ^{[ 6 ] [ 7 ]} في شكل مشابه، أطلق عليه مارتن غاردنر اسم "طريقة الخطوط المتقاطعة"، يتم ترتيب مجموعة من الخطوط في المستوى (لا يوجد خطان متوازيان، ولكن الترتيب عشوائي) في ترتيب دوري حسب ميول الخطوط. ثم تُوصل الخطوط بمنحنى يتكون من سلسلة من الأقواس الدائرية؛ كل قوس يربط خطين متتاليين بالترتيب المُرتب، ويكون مركزه عند تقاطعهما. يجب اختيار نصف قطر القوس الأول كبيرًا بما يكفي لجعل جميع الأقواس اللاحقة تنتهي على الجانب الصحيح من نقطة التقاطع التالية؛ ومع ذلك، فإن جميع أنصاف الأقطار الكبيرة بما يكفي تُجدي نفعًا. بالنسبة لخطين، يشكل هذا دائرة؛ وبالنسبة لثلاثة خطوط على أضلاع مثلث متساوي الأضلاع، بأصغر نصف قطر ممكن، يشكل مثلث رولو، وبالنسبة لخطوط مضلع نجمي منتظم ، يمكن أن يشكل مضلع رولو. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

قام ليونارد أويلر بإنشاء منحنيات ذات عرض ثابت من منحنيات ملتفة ذات عدد فردي من نقاط التفرد ، بحيث يكون لكل منحنى خط مماس واحد فقط في كل اتجاه (أي منحنيات القنفذ الإسقاطية ). ^{[ 1 ] [ 8 ]} تتمثل إحدى الطرق البديهية لوصف إنشاء المنحنى الملتف في لف قطعة مستقيمة حول هذا المنحنى، مع الحفاظ على مماسها للمنحنى دون انزلاقها عليه، حتى تعود إلى نقطة التماس الأصلية. يجب أن تكون القطعة المستقيمة طويلة بما يكفي للوصول إلى نقاط التفرد في المنحنى، بحيث يمكنها تجاوز كل نقطة إلى الجزء التالي من المنحنى، ويجب اختيار موضع بدايتها بعناية بحيث تكون في نهاية عملية اللف في نفس الموضع الذي بدأت منه. عندما يحدث ذلك، يكون المنحنى الناتج عن نهايتي القطعة المستقيمة منحنى ملتفًا يحيط بالمنحنى الأصلي دون أن يتقاطع معه، بعرض ثابت يساوي طول القطعة المستقيمة. ^{[ 9 ]} إذا كان المنحنى الأصلي أملسًا (باستثناء نقاط التفرد)، فسيكون المنحنى الناتج ذو العرض الثابت أملسًا أيضًا. ^{[ 1 ] [ 8 ]} مثال على منحنى ابتدائي ذي خصائص صحيحة لهذا الإنشاء هو منحنى الدلتا ، وتشكل المنحنيات الملتفة للدلتا التي تحيط به منحنيات ملساء ذات عرض ثابت، لا تحتوي على أي أقواس دائرية. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

تعتمد طريقة بناء أخرى على اختيار نصف منحنى ذي عرض ثابت، يفي بمتطلبات معينة، وتشكيل جسم ذي عرض ثابت يكون المنحنى المعطى جزءًا من حدوده. تبدأ هذه الطريقة بقوس محدب، تكون نهايتاه هما العرض المطلوب.${\displaystyle w}$يجب أن تتلامس النقطتان الطرفيتان مع خطوط الدعم المتوازية على مسافة معينة.${\displaystyle w}$بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون كل خط داعم يلامس نقطة أخرى من القوس مماسًا عند تلك النقطة لدائرة نصف قطرها${\displaystyle w}$يحتوي على القوس بأكمله؛ يمنع هذا الشرط أن يكون انحناء القوس أقل من انحناء الدائرة. يكون الجسم المكتمل ذو العرض الثابت هو تقاطع الأجزاء الداخلية لعائلة لانهائية من الدوائر، من نوعين: دوائر مماسية للخطوط الداعمة، ودوائر أخرى لها نفس نصف القطر متمركزة عند كل نقطة من القوس المعطى. هذا البناء عام: يمكن إنشاء جميع المنحنيات ذات العرض الثابت بهذه الطريقة. ^{[ 3 ]} وجد فيكتور بويزو ، عالم الرياضيات الفرنسي من القرن التاسع عشر، منحنيات ذات عرض ثابت تحتوي على أقواس إهليلجية ^{[ 12 ]} يمكن إنشاؤها بهذه الطريقة من نصف إهليلج . لتحقيق شرط الانحناء، يجب أن يكون نصف الإهليلج محدودًا بالمحور شبه الأكبر للإهليلج ، ويجب ألا تتجاوز لا مركزية الإهليلج${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$وبالمثل، يجب ألا يتجاوز نصف المحور الأكبر ضعف نصف المحور الأصغر. ^{[ 6 ]}

بفرض وجود جسمين متساويي العرض، فإن مجموعهما وفقًا لمبدأ مينكوفسكي يُشكّل جسمًا آخر متساوي العرض. ^{[ 13 ]} ويُنتج تعميم مجاميع مينكوفسكي لمجاميع دوال الدعم للأشكال الهندسية المنحنية (القنافذ) منحنىً متساوي العرض من مجموع شكل هندسي إسقاطي (قنفذ) ودائرة، كلما كانت النتيجة منحنىً محدبًا. ويمكن تحليل جميع المنحنيات متساوية العرض إلى مجموع أشكال هندسية منحنية (قنافذ) بهذه الطريقة. ^{[ 14 ]}

يمكن لمنحنى ذي عرض ثابت أن يدور بين خطين متوازيين يفصل بينهما عرضه، مع بقائه ملامسًا لهذين الخطين في جميع الأوقات، حيث يعملان كخطوط داعمة للمنحنى أثناء دورانه. وبالمثل، يمكن لمنحنى ذي عرض ثابت أن يدور داخل معين أو مربع، حيث يفصل بين كل ضلعين متقابلين عرضه وتقع أضلاعهما على خطوط داعمة متوازية. ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 3 ]} لا يمكن لكل منحنى ذي عرض ثابت أن يدور داخل سداسي منتظم بنفس الطريقة، لأن خطوطه الداعمة قد تُشكّل سداسيات غير منتظمة مختلفة مع اختلاف الدوران، بدلًا من تشكيل سداسي منتظم دائمًا. ومع ذلك، يمكن إحاطة كل منحنى ذي عرض ثابت بسداسي منتظم واحد على الأقل، حيث تقع أضلاعه المتقابلة على خطوط داعمة متوازية. ^{[ 15 ]}

يكون للمنحنى عرض ثابت إذا وفقط إذا كان، لكل زوج من الخطوط الداعمة المتوازية، يمس هذين الخطين عند نقاط تساوي المسافة بينهما. وهذا يعني تحديدًا أنه لا يمكن أن يلامس كل خط داعم إلا عند نقطة واحدة. وبصورة مكافئة، يتقاطع كل خط يقطع المنحنى عموديًا معه عند نقطتين فقط، والمسافة بينهما تساوي عرض المنحنى. لذلك، يجب أن يكون المنحنى ذو العرض الثابت محدبًا، لأن كل منحنى مغلق بسيط غير محدب له خط داعم يلامسه عند نقطتين أو أكثر. ^{[ 3 ] [ 8 ]} تُعد المنحنيات ذات العرض الثابت أمثلة على المنحنيات المتوازية ذاتيًا، وهي منحنيات ترسمها نقطتا نهاية قطعة مستقيمة تتحرك بحيث تتحرك كلتا النقطتين عموديًا على القطعة المستقيمة. ومع ذلك، توجد منحنيات أخرى متوازية ذاتيًا، مثل اللولب اللانهائي المتكون من منحنى التفاف الدائرة، والتي لا يكون لها عرض ثابت. ^{[ 16 ]}

تنص نظرية باربييه على أن محيط أي منحنى ذي عرض ثابت يساوي العرض مضروبًا في${\displaystyle \pi }$كحالة خاصة، تتفق هذه الصيغة مع الصيغة القياسية${\displaystyle \pi d}$بالنسبة لمحيط دائرة بمعلومية قطرها. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وبحسب متباينة المحيط المتساوي ونظرية باربييه، فإن للدائرة أكبر مساحة بين أي منحنى ذي عرض ثابت مُعطى. وتنص نظرية بلاشكه-ليبيغ على أن مثلث رولو له أصغر مساحة بين أي منحنى محدب ذي عرض ثابت مُعطى. ^{[ 19 ]} كل مجموعة جزئية فعلية لجسم ذي عرض ثابت لها قطر أكبر تمامًا، وكل مجموعة إقليدية بهذه الخاصية هي جسم ذو عرض ثابت. وعلى وجه الخصوص، لا يمكن أن يكون جسم ذو عرض ثابت مجموعة جزئية من جسم آخر له نفس العرض الثابت. ^{[ 20 ] [ 21 ]} يمكن تقريب أي منحنى ذي عرض ثابت بدقة تامة بواسطة منحنى دائري مجزأ أو بواسطة منحنى تحليلي له نفس العرض الثابت. ^{[ 22 ]}

ترتبط المناطق المحصورة بمنحنى ذي عرض ثابت وبمنحنى ويغنر الكاوي الخاص به (موضع منتصفات الأوتار التي تربط أزواج النقاط على المنحنى بخطوط مماسية متوازية) بالعلاقة ^{[ 23 ].}$${\displaystyle A={\frac {\pi w^{2}}{4}}-2\left|A^{*}(W)\right|.}$$

رأس المنحنى الأملس هو النقطة التي يكون عندها انحناؤه في أقصى قيمة محلية أو أدنى قيمة محلية؛ بالنسبة للقوس الدائري، جميع النقاط رؤوس، لكن المنحنيات غير الدائرية قد يكون لها مجموعة منفصلة محدودة من الرؤوس. بالنسبة للمنحنى غير الأملس، يمكن اعتبار النقاط التي يكون عندها غير أملس رؤوسًا ذات انحناء لانهائي. بالنسبة لمنحنى ذي عرض ثابت، يقترن كل رأس ذي انحناء أدنى محليًا برأس ذي انحناء أعلى محليًا، مقابل له على قطر المنحنى، ويجب أن يكون هناك ستة رؤوس على الأقل. وهذا يتناقض مع نظرية الرؤوس الأربعة ، التي تنص على أن كل منحنى أملس مغلق بسيط في المستوى له أربعة رؤوس على الأقل. بعض المنحنيات، مثل القطع الناقص، لها أربعة رؤوس بالضبط، لكن هذا غير ممكن بالنسبة لمنحنى ذي عرض ثابت. ^{[ 14 ] [ 24 ]} نظرًا لأن القيم الصغرى المحلية للانحناء تقابل القيم العظمى المحلية للانحناء، فإن المنحنيات الوحيدة ذات العرض الثابت والتناظر المركزي هي الدوائر، التي يكون انحناؤها متساويًا عند جميع النقاط. ^{[ 13 ]} بالنسبة لكل منحنى ذي عرض ثابت، تكون أصغر دائرة محيطة بالمنحنى وأكبر دائرة يحتويها متحدة المركز، ومتوسط ​​قطريهما هو عرض المنحنى. تلامس هاتان الدائرتان المنحنى في ثلاث نقاط متقابلة على الأقل، ولكن هذه النقاط ليست بالضرورة رؤوسًا. ^{[ 13 ]}

يكون للجسم المحدب عرض ثابت إذا وفقط إذا كان مجموع مينكوفسكي للجسم ودورانه بزاوية 180 درجة عبارة عن قرص دائري؛ وفي هذه الحالة، يكون عرض الجسم هو نصف قطر القرص. ^{[ 13 ] [ 15 ]}

بسبب قدرة المنحنيات ذات العرض الثابت على التدحرج بين الخطوط المتوازية، يمكن لأي أسطوانة ذات مقطع عرضي منحني ذي عرض ثابت أن تعمل كـ "بكرة" ، تدعم سطحًا مستويًا وتحافظ على استوائه أثناء تدحرجها على أي سطح مستوٍ. مع ذلك، يتحرك مركز البكرة لأعلى ولأسفل أثناء تدحرجها، لذا فإن هذا التصميم لا يصلح للعجلات بهذا الشكل المثبتة على محاور ثابتة. ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 3 ]}

تتخذ بعض العملات المعدنية أشكالًا غير دائرية ذات عرض ثابت. فعلى سبيل المثال ، تُعدّ عملات 20 بنسًا و 50 بنسًا البريطانية سباعية الأضلاع وفقًا لنموذج رولو، بينما تُعدّ عملة اللوني الكندية ذات أحد عشر ضلعًا وفقًا لنموذج رولو أيضًا. ^{[ 25 ]} تُمكّن هذه الأشكال آلات عدّ العملات الآلية من التعرّف على هذه العملات من خلال عرضها، بغض النظر عن اتجاه العملة داخل الآلة. ^{[ 2 ] [ 6 ]} من جهة أخرى، لا يُعدّ اختبار العرض كافيًا لتحديد استدارة الجسم ، لأنّ هذه الاختبارات لا تستطيع التمييز بين الدوائر والمنحنيات الأخرى ذات العرض الثابت. ^{[ 2 ] [ 6 ]} ولعلّ إغفال هذه الحقيقة قد ساهم في كارثة مكوك الفضاء تشالنجر ، إذ تمّ اختبار استدارة أجزاء الصاروخ في تلك العملية بقياس العرض فقط، وقد تُسبّب الأشكال غير الدائرية إجهادات عالية بشكل غير عادي، والتي يُحتمل أن تكون أحد العوامل المُسبّبة للكارثة. ^{[ 26 ]}

يمكن تعميم منحنيات العرض الثابت لتشمل بعض المنحنيات غير المحدبة، وهي المنحنيات التي لها خطان مماسان في كل اتجاه، مع تساوي المسافة بين هذين الخطين بغض النظر عن اتجاههما. وكحالة حدية، تُسمى منحنيات القنفذ الإسقاطية (المنحنيات ذات خط مماس واحد في كل اتجاه) أيضًا "منحنيات العرض الصفري". ^{[ 27 ]}

إحدى طرق تعميم هذه المفاهيم إلى ثلاثة أبعاد هي من خلال الأسطح ذات العرض الثابت . لا يمتلك نظير مثلث رولو ثلاثي الأبعاد، وهو رباعي الأوجه رولو ، عرضًا ثابتًا، ولكن تغييرات طفيفة عليه تُنتج أجسام مايسنر التي تتميز بعرض ثابت. ^{[ 2 ] [ 13 ]} ويمكن أيضًا تعميم منحنيات العرض الثابت لتشمل أجسام السطوع الثابت ، وهي أشكال ثلاثية الأبعاد تتساوى مساحة جميع إسقاطاتها ثنائية الأبعاد؛ وتخضع هذه الأشكال لتعميم لنظرية باربييه. ^{[ 13 ]} وهناك فئة أخرى من التعميمات ثلاثية الأبعاد، وهي منحنيات الفضاء ذات العرض الثابت، والتي تُعرَّف بخاصية أن كل مستوى يقطع المنحنى عموديًا يتقاطع معه في نقطة واحدة أخرى فقط، حيث يكون أيضًا عموديًا، وأن جميع أزواج النقاط التي تتقاطع مع مستويات عمودية تكون على نفس المسافة. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}

تمت دراسة المنحنيات والأجسام ذات العرض الثابت أيضًا في الهندسة غير الإقليدية ^{[ 32 ]} وفي فضاءات المتجهات المعيارية غير الإقليدية . ^{[ 20 ]}

• متوسط ​​العرض ، وهو عرض المنحنى الذي يتم حسابه على جميع الاتجاهات الممكنة
• منحنى زيندلر ، وهو منحنى تكون فيه جميع الأوتار التي تنصف محيطه متساوية الطول

• تطبيق تفاعلي مؤرشف بتاريخ 23-11-2015 في Wayback Machine بواسطة مايكل بورشيردز يعرض شكلاً غير منتظم ذو عرض ثابت (يمكنك تغييره) تم إنشاؤه باستخدام GeoGebra .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "منحنى ذو عرض ثابت" . عالم الرياضيات .
• مولد، ستيف. "الأشكال والمجسمات ذات العرض الثابت" . نمبرفايل . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 نوفمبر 2013 .
• أشكال ذات عرض ثابت عند قطع العقدة